2022四川省邻水实验学校高三上学期入学考试数学（理）试题含答案

这是一份2022四川省邻水实验学校高三上学期入学考试数学（理）试题含答案，共11页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学理科试题
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，集合B＝{x|≤4}，则A∩B＝（　　）
A．[1，+∞） B．[﹣2，+∞）
C．(﹣∞，﹣3] D．(﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）
2．设复数z满足z•i＝﹣1+i，则＝（　　）
A．1 B． C． D．
3．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a≥4 B．a>4 C．a≥1 D．a>1
4．给出下列命题：①f(x)＝lg(x－3)＋是函数；②函数y＝f(x)的图象与y轴最多有一个交点；③f(x)＝与g(x)＝x表示同一个函数。其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知函数f（x）＝log3x，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再将所得的函
数图象上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后将所得的图象上的点的纵坐标伸
长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（　　）
A．g（x）＝3log3（x﹣1） B．g（x）＝log3（x﹣）
C．g（x）＝3log3（2x﹣1） D．g（x）＝3log3（2x﹣2）
6．已知函数f(x)＝log(x2－ax＋a)在上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B. C. D.
7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+sin（2x++φ）为奇函数，其中|φ|＜，则曲线y
＝f（x）在点(，f())处的切线方程为（　　）
A．4x﹣y+﹣＝0 B．2x﹣y+﹣＝0
C．2x﹣y+1﹣＝0 D．2x﹣y+1﹣＝0
8．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f′(x)ln x<－f(x)，则使得(x2－1)f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
9．在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）
A．8π B．π C．6π D．2π
10．已知函数f(x)＝x2＋mx＋2，x∈R，若方程f(x)＋|x2－1|＝2在(0,2)上有两个不等实根，则实数m的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在[0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于x∈[1,2]恒成立，则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D．[0,1]
12．已知双曲线C:＝1（a＞0，b＞0），圆E:(x﹣4)2+y2＝1，若双曲线C的渐近线上存在点P，过点P作直线l，l与圆E交于A，B两点，满足，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）
A．[，+∞） B．（1，] C．（1，] D．[，+∞）
二、填空题（每小题5分）.
13．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________。
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________。
15．已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与直线y＝1只有一个公共点，则实数a的取值范围是________。
16．已知数列{an}是以为首项，以为公差的等差数列，则数列{1+tanan+1tanan}前2021项和为　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的函数解析式
（Ⅱ）在△ABC中，角A为三角形内角且f（A）＝1，D在边BC上，
AD是∠BAC的角平分线，AB＝1，AC＝3，求AD的长度．


18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD
＝，AC与BD交于点O，点M在线段PA上，且PM＝3MA．
（Ⅰ）证明：OM∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．



19．2020年新冠来袭！我国迅速应对，彰显“中国速度”．5月武汉进行全民筛查新冠“大会
战”，首个将“混检”用于大型筛查的城市，从而很大程度上提高了检测的速度，同时也降低
了成本．“混检”就是例如将采集的5支拭子集合于1个采集管中进行核酸检测，如果呈阳性
再逐个检测，直到能确定阳性拭子为止；如果呈阴性则说明这5个样本都不携带病毒，也称
为“5合1混”检测技术；后来有些城市采用“10合1混”检测技术．现采集了7支拭子，已知
其中有1支拭子是阳性，需要通过检测来确定哪一个拭子呈阳性．下面有两种检测方法：
方案一：逐个检测，直到能确定阳性拭子为止；
方案二：采用“5合1混”检测技术，若检测为阴性，则在另外2支拭子中任取1支检测．
（Ⅰ）ξ表示依方案一所需检测次数，求ξ的分布列和期望．
（Ⅱ）求依方案一所需检测次数不少于依方案二所需检测次数的概率．


20．已知椭圆B：＝1，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l1，l2
与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N．
（Ⅰ）若直线OM的斜率为，求直线l1的方程；
（Ⅱ）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点．


21．已知函数f(x)＝ex＋x－e－1(e为自然对数的底数)。
（Ⅰ）若f(x)≥ax－e对x∈R恒成立，求实数a的值；
（Ⅱ）若存在不相等的实数x1，x2，满足f(x1)＋f(x2)＝0，证明：x1＋x2<2。


选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原
点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求的值．


[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x+1|+|x+|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+b+c＝m，证明：．











参考答案
题号
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答案
A
B
B
B
C
B
B
D
C
C
A
B

13. (-4,0] 14.18 15.(-1,1] 16.-2-2
17．解：（Ⅰ）根据函数f（x）的图象，可得A＝2，×＝﹣，
∴ω＝2．
再结合五点法作图可得，2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．
（Ⅱ）在△ABC中，角A为三角形内角且f（A）＝2sin（2A+）＝1，
由A为三角形内角得2A+＝，即A＝，
∵AD是∠BAC的角平分线，AB＝1，AC＝3，
∴，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝，
解得BC＝，
由余弦定理得cosB＝＝﹣，
故sinB＝，
∵sin∠ADB＝sin（）＝＝，
△ABD中，由正弦定理得，
∴AD＝．
18．（Ⅰ）证明：因为PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，AC与BD交于点O，
所以AO＝＝＝，OC＝BC•sin60°＝2sin60°＝，OC＝3AO，
又因为PM＝3MA，所以，于是OM∥PC，
又因为PC⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，所以OM∥平面PBC；
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为PM＝3MA，PA＝2，所以AM＝PA•＝，又因为PA⊥底面ABCD，
所以M（0，﹣，），＝（1，﹣，），＝（2，0，0），（1，，0），
设平面BDM和平面CDM的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令z＝2，＝（0，，2），
，令v＝，＝（﹣3，，8），
所以二面角B﹣MD﹣C的余弦值为＝＝．

19．解：（Ⅰ）方案一中检测次数ξ的可能取值为1，2，3，4，5，6，
当ξ＝1，2，3，4，5时，P＝；
当ξ＝6时，P＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P






ξ的数学期望为E（ξ）＝1×＝2×+3×+4×+5×+6×＝；
（Ⅱ）方案二中化验次数X的可能取值为2，3，4，5，
所以P（X＝2）＝+＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，
方案一所检测的次数不少于方案二的概率为：
P＝P（ξ＝2）P（X＝2）+P（ξ＝3）[P（X＝2）+P（X＝3）]+P（ξ＝4）[P（X＝2）+P（X＝3）+P（X＝4）]+P（ξ＝5）+P（ξ＝6）＝．
20．解：（Ⅰ）设直线AP的方程为x＝ty+3（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（3+t2）y2+6ty＝0，
所以y1+y2＝，
所以yM＝＝，
xM＝tyM+3＝，
所以M（，），
因为kOM＝﹣，
所以＝﹣，解得t＝1，
所以直线l1的方程为x﹣y﹣3＝0．
（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），﹣3＜x0＜3，
则M（，），N（，﹣），
由OM⊥ON，有kOM•kON＝﹣1，
所以•＝﹣1，
所以﹣＝﹣1，
因为+＝1，
所以x0＝﹣，
所以直线AB的方程为x＝﹣．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，
联立椭圆的方程得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣9＝0，
所以△＝12（9k2﹣m2+3）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由x1+x2＝，x1x2＝，
由kOM•kON＝﹣1，可得＝﹣1，
即（1+k2）x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9＝0，
所以（1+k2）•+（km+3）•+m2+9＝0，
所以9k2﹣9km+2m2＝0，
即（3k﹣2m）（3k﹣m）＝0，
当m＝3k时，直线AB过椭圆的左顶点，不满足题意，
当m＝k时，直线AB过定点（﹣，0），且满足△＝12（9k2﹣m2+3）＞0，
综上所述，直线AB过定点（﹣，0）．
21.解　(1)令g(x)＝f(x)－(ax－e)＝ex＋(1－a)x－1，
则g′(x)＝ex＋1－a。
由题意，知g(x)≥0对x∈R恒成立，等价于g(x)min≥0。
当a≤1时，g′(x)≥0，则g(x)＝ex＋(1－a)x－1在R上单调递增，
因为g(－1)＝－(1－a)－1<0，
所以a≤1不符合题意。
当a>1时，若x∈(－∞，ln(a－1))，
则g′(x)<0，若x∈(ln(a－1)，＋∞)，则g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(ln(a－1))＝a－2＋(1－a)·ln(a－1)。
记h(a)＝a－2＋(1－a)ln(a－1)(a>1)，
则h′(a)＝－ln(a－1)。
易知h(a)在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以h(a)max＝h(2)＝0，
即a－2＋(1－a)ln(a－1)≤0。
而g(x)min＝a－2＋(1－a)ln(a－1)≥0，
所以a－2＋(1－a)ln(a－1)＝0，解得a＝2。
(2)证明：证法一：因为f(x1)＋f(x2)＝0，
所以ex1＋ex2＋x1＋x2＝2(e＋1)。
因为ex1＋ex2≥2e，x1≠x2，
所以ex1＋ex2>2e。
令x1＋x2＝t，则2e＋t－2e－2<0。
记m(t)＝2e＋t－2e－2，则m′(t)＝e＋1>0，
所以m(t)在R上单调递增。
又m(2)＝0,2e＋t－2e－2<0，
所以m(t) 所以t<2，即x1＋x2<2。
证法二：不妨设x10，
所以f(x)为增函数。
要证x1＋x2<2，即要证x2<2－x1，
即要证f(x2) 因为f(x1)＋f(x2)＝0，
所以要证f(x1)＋f(2－x1)>0。
记h(x)＝f(x)＋f(2－x)＝ex＋e2－x－2e，
则h′(x)＝。
当x<1时，h′(x)<0；当x>1时，h′(x)>0，
所以h(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0，
从而h(x)＝f(x)＋f(2－x)≥0，又x1 所以f(x1)＋f(2－x1)>0，即x1＋x2<2。
22．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为t＝，代入x＝4t2
﹣1，得到直角坐标方程为y2＝4x+4．
根据，转换为极坐标方程为ρ2sin2θ＝4ρcosθ+4．
曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．
（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程为，代入ρ2sin2θ＝4ρcosθ+4得到，
所以，ρ1ρ2＝﹣16，
所以．
23．（Ⅰ）解：
当x≤﹣，f（x）单调递减；当﹣＜x，f（x）单调递增；
所以函数f（x）的最小值为1．
（Ⅱ）证明：由于a+b+c＝1，
所以，
即，当且仅当a＝，b＝c＝时取等号．