2022恩施州高三上学期第一次教学质量监测考试数学试题含答案

恩施州2022届高三年级第一次教学质量监测考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在出答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知，则复数的虚部是（    ）

A. B. C.1 D.

3.已知等差数列满足，，则数列的前7项和为（    ）

A.6 B.9 C.12 D.14

4.甲、乙、丙三人计划参加学校趣味运动会中的陀螺、蹴球、高脚竞速三个比赛项目，由于时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲、乙、丙三人恰好参加同一个比赛项目的概率为（    ）

A. B. C. D.

5.已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B．必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

6.双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过点的直线交双曲线于另一点，当时满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7.圆内接四边形中，，是圆的直径，则（    ）

A.12 B. C.20 D.

8.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）（参考数据：，，）

A.4分钟 B.5分钟 C.6分钟 D.7分钟

二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若，则有（    ）

A.  B.

C.  D.

10.已知函数，则以下说法正确的是（    ）

A.是偶函数

B.在上单调递增

C.当时，

D.方程有且只有两个实根

11.已知函数，则以下叙述正确的是（    ）

A.若，则（）

B.的最小正周期为

C.在上单调递减

D.的图像关于（）对称

12.在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ）

A.当时，平面

B.当时，存在唯一点使得与直线的夹角为

C.当时，长度的最小值为

D.当时，与平面所成的角不可能为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的系数为______.

14.若对任意的实数，函数的值都取，，中的最小值，则的最大值为_______.

15.设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______.

16.一块边长为4的正方形纸板，如图所示，是的中点，现将该纸板沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体的外接球的体积为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知为数列的前项和，且，数列满足.

（1）求，

（2）若，求数列的前项和.

18.（12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，.

（1）求；

（2）若，求的中线的最小值.

19.（12分）

如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（1）求证平面；

（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面?若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由.

20.（12分）

已知抛物线（）的顶点为，直线与拋物线的交点（异于点）到点的距离为，

（1）求的标准方程；

（2）过点作斜率为（）的直线与交于点（异于点），直线关于直线对称的直线与交于点（异于点），求证：直线过定点.

21.（12分）

某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立.

（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；

（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组".该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值.

22.（12分）

已知函数.

（1）判断的单调性；

（2）设方程的两个根为，，求证：.

恩施州2022届高三年级第一次教学质量监测考试

数学试卷参考答案

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

13. 14.4 15. 16.

四、解答题

17.解答

（1），，…………2分

，；…………4分

（2），…………5分

当时，.…………6分

当时，①

②

两式相减得…………8分

，

即.又当时也满足上式

则数列的前项和为…………10分

18.解答

（1）由题意得

…………2分

，……4分

则；…………6分

（2）由题意，则……7分

…………10分

则，即的中线的最小值为.…………12分

19.解答

（1）证明：平面，所以，又，，所以面，

又，所以面，面，.

又，为的中点，所以，，所以平面.…………4分

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，，.…………5分

则.

设（），所以，点坐标为.

设平面的法向量为，则，，

即，…………8分

可取，…………10分

由（1）可知为平面的一个法向量，

若平面平面，则，

解得.即时平面平面……12分

（若学生取（），还需说明当时，平面平面，显然不垂直）

20.解答

（1）可求得交点坐标为，所以，，

抛物线的标准方程为…………4分

（2）证明：设，，

将代入抛物线方程得，

所以，.………………6分

设直线，同理，，

因为与直线关于直线对称，

由图形对称性，计算可得.……8分

所以，，

又，……10分

所以直线的方程为，

化简有，所以恒过定.…………12分

21.解答

（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，.则

，.…………2分

由题意的取值可能为0，1，2.则

，

，

.…………5分

那么的分布列为：

.…………6分

（2）由题意，小组中2人答对的概率为，3人答对的概率为，…………8分

则.……9分

，…………（10分）

令得，，，

所以在上，单调递增，在上，单调递减.…………11分

故时，最大.…………12分

22.解答

（1），，那么，，

所以在单调递减，在单调递增.…………2分

（2）令，，

则，在单调递减，单调递增，又，不妨设…………4分

先证明.只要证明，即只要证明.

因为

令，，则

…………6分

在单调递减，所以.

从而必有…………8分

下面证明.

因为，，所以，

又，所以，

…………10分

令，，，

令，，在上单调递增，在上单调递减，

故.

综上，.…………12分