2022兰州一中高三上学期第一次月考（10月）数学（理）试题PDF版含答案

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兰州一中2021-2022-1学期高三年级10月份月考试题数  学 (理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】D2．命题“，都有”的否定是（    ）A．“，都有” B．“，都有”C．“，都有”               D．“，都有” 【答案】C3．设，，则（    ）A．且 B．且 C．且    D．且【答案】A4．已知函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C5．欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（    ）A．第四象限           B．第三象限           C．第二象限        D．第一象限【答案】A6．函数的图象为（　　）A． B．C． D．【答案】B7．从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（    ）A． B． C． D．以上全不对【答案】B8．函数的零点所在的一个区间是（    ）A．              B．                 C．         D．【答案】C9．在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D10．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B11．在ABC中，，，且，，则点P的轨迹一定通过ABC的（    ）A．重心                 B．内心               C．外心          D．垂心【答案】A12．已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取_______名学生．【答案】2414．已知函数在[1，2]上为增函数，求实数的取值范围__________.【答案】15．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则       .【答案】116. 函数的对称中心是___________.【答案】三、解答题（共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，每道试题各12分.第22、23为选考题，10分，考生根据要求选一道作答.）17．（本小题12分）函数的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）已知数列满足，且是与的等差中项，求的通项公式.解析：（Ⅰ）由图象可知A＝2，，从而ω＝2. 又当时，函数f(x)取得最大值，故(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，∴，（Ⅱ）由已知数列中有：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以.18．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点.（1）求证：平面BCD；（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值【解析】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以，因为，所以平面BCD；（2）因为平面ABC，平面ABC，所以，所以两两垂直，所以以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则,因为点E，F分别是AB，AD的中点,所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，直线AD与平面CEF所成角为，则 ，所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为19．（本小题12分）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．【解析】（1）依题意消去得，即，①当时，显然方程只有一个解，满足条件；②当时，，解得，综上可得：当或时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线：，所以其焦点为，设，，所以直线方程为，则，消去得 ，则，所以所以  20．（本小题12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为，设“这4个人恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝C·. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C＝.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C·＋C＝，所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ 的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是ξ024P∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.21．（本小题12分）已知函数．（1）若函数的图象在处的切线过点，求实数的值；（2），，，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，所以，，所以函数的图象在处的切线为，由切线过点，代入得，，解得. （2）不妨设，若，则即，令，则在递减，∴即在上恒成立，设，则，再设，函数单调递增，∴，∴，在上单调递减，∴，∴的取值范围是.22．（本小题10分）已知斜率为1的直线过点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为A，.（1）求曲线的直角坐标方程：（2）求的值.【解析】（1）因为，所以因为，代入可得曲线的直角坐标方程为：（2）直线的参数方程为（t为参数），将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得，整理可得，设点A、B所对应的参数分别为，所以，所以23．（本小题10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【解析】（1）由题可得，因为，所以或或，即，或，或，所以，或，所以不等式的解集为．（2）因为存在，使得，所以，由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，由函数的图象可知，所以，所以实数的取值范围为．