2021-2022学年山西省临汾市尧都区山西师范大学实验中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省临汾市尧都区山西师范大学实验中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．北京大兴国际机场是一座跨地域､超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道､西二跑道､东一跑道､北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为（       ）

A．16 B．12 C．9 D．8

【答案】B

【分析】根据题意利用排列即可解决.

【详解】从四条不同的跑道中，选两条分别供两架不同飞机使用， 有种不同的安排方法.

故选：B

2．抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（       ）

A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z

C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z

【答案】D

【分析】根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.

【详解】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为

第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为

故的取值范围是

故选：D.

3．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用条件概率的概率公式计算可得；

【详解】解：由条件概率的计算公式，可得：

故选：B

4．年月日，国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．“双减”政策指出，要全面压减作业总量和时长，某校在“双减”前学生完成作业时长为随机变量，的期望为，标准差为，在“双减”后，该校学生完成作业的时长，的期望为，标准差为，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】利用期望和方差的性质可得结果.

【详解】由期望和方差的性质可得，

，.

故选：A.

5．若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（　　）

A．16种 B．18种 C．37种 D．40种

【答案】C

【分析】法1：应用分类计数法分别求三个人中只有一个人去丽江、三个人中有两个人去丽江、三个人都去丽江的选择方法数，加总即可；法2：将三个人去四个景点的选择方法数减去没有人去丽江的选择方法数即可.

【详解】法1（直接法）：

满足题意的不同的选择方法有以下三类:

三个人中只有一个人去丽江，有(种) 选择方法；

三个人中有两个人去丽江，有(种) 选择方法；

三个人都去丽江，有种选择方法；

综上，共有(种)不同的选择方法.

法2（排除法）：

三个人去四个景点，有(种) 选择方法；

没有人去丽江，有(种) 选择方法；

综上，共有(种)不同的选择方法.   

故选：C

6．在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（       ）

A．-960 B．960 C．1120 D．1680

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出幂指数n，再利用二项式系数的性质求解作答.

【详解】因的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则有，解得，

即的展开式共有9项，于是得展开式的第5项的二项式系数最大，，

所以展开式中二项式系数最大的项的系数为1120.

故选：C

7．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（       ）种

A．144 B．192 C．216 D．324

【答案】C

【分析】先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3、4、5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得.

【详解】①先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；

②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；

③再排3个曲艺节目，共种排法；

∴由分步乘法记数原理有种排法．

故选：C．

8．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（       ）

A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38

【答案】A

【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，

“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，

根据题意得：，，，

则.

故选：A.

9．从，，，，这组数据中，随机取出三个不同的数，用表示取出的数字的最小数，则随机变量的数学期望（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设知的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求、、，进而求期望即可.

【详解】由题意知：的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，

当时，取法有种，即；

当时，取法有种，即；

当时，取法有种，即；

∴.

故选：A.

10．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.

【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.

故选：C

11．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设小明的得分为，则的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到得分的分布列，从而求出数学期望；

【详解】解：设小明的得分为，则的可能取值为、、、，

所以，，

，；

所以小明得分的分布列为：

所以小明答完这3道题的得分期望为，

故选：C.

12．已知的展开式中的系数为80，则m的值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【分析】根据题意可得，利用二项式展开式的通项公式求出的项的系数，进而得出结果.

【详解】，

在的展开式中，由，

令，得r无解，即的展开式没有的项；

在的展开式中，由，

令，解得r=3，

即的展开式中的项的系数为，

又的展开式中的系数为80，

所以，解得.

故选：A.

13．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为

A．600 B．812 C．1200 D．1632

【答案】C

【解析】根据特殊元素优先安排的原则，分两类，一天2科，另一天4科或每天各3科.

一天2科，另一天4科的情况：先安排数学、物理，再安排另外4科，先分组再分配，一组1科，一组3科，最后给两个大组分别全排列．每天各3科的情况同理．最后把两种情况相加即可．

【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.

①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，

第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；

第三步，完成各科作业，有种方法，

所以共有种.

②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，

第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；

第二步，安排另4科每组2科，有种方法；

第三步，完成各科作业，有种方法，

所以共有种，

综上，共有种.故选C.

【点睛】本题考查分类计数原理，特殊元素优先安排的原则，分类不重不漏，属于基础题．

14．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有

A．22种 B．24种 C．25种 D．27种

【答案】D

【详解】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的，共有种组合，利用分类计数原理能得到结果.

详解：由题意知正方形（边长为个单位）的周长是，

抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，

列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，

共有种组合，

前种组合，每种情况可以排列出种结果，

共有种结果；

各有种结果，共有种结果，

根据分类计数原理知共有种结果，故选D.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

二、填空题

15．已知随机变量X的概率分布为，则实数______．

【答案】

【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.

【详解】依题意，，

由分布列的性质得，解得，

所以实数.

故答案为：

16．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下图是，当时展开式的二项式系数表示形式．按这个规律，第9行第8个数为________．

【答案】36

【分析】由“杨辉三角”归纳出结论．

【详解】由“杨辉三角”知其第9行第8个数．

故答案为：36

17．将四个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有______种(结果用数字表示).

【答案】

【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球， 分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；

【详解】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，

分2步进行分析：

①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；

②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；

则没有空盒的放法有种；

故答案为：

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

18．同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，设事件A表示“蓝色骰子掷出的点数为3或6”，事件B表示“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”，则______.

【答案】

【分析】结合条件概型求得正确答案.

【详解】，

同时抛掷红、蓝两枚均匀的骰子，基本事件有种，

“蓝色骰子掷出的点数为3或6”且“红、蓝两枚骰子掷出的点数之和大于8”的事件为：

（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝）、（红，蓝），共种，

所以，

所以.

故答案为：

19．已知的展开式中含的系数为60，则的展开式中的常数项为_______.

【答案】

【分析】首先写出二项式展开式的通项，令，解得，代入求出，即可得到展开式的通项，从而求出其常数项；

【详解】解：由展开式的通项公式为，

令，解得，

所以，解得或（舍）；

由展开式的通项公式为，

令，解得，

所以的展开式中的常数项为.

故答案为：

20．某地有A，B，C，D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A，B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B，C，D中直接受A感染的人数X的数学期望为_______．

【答案】

【分析】由题意分析得可取的值为1、2、3，用“” 、2、表示被直接感染的人数．四个人的传染情形共有6种，传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．“”表示传染，没有传染给、：“”表示传染给、，没有传染给，或传染给、，没有传染给：“”表示传染给、、．由此能求出结果．

【详解】解：由题意分析得可取的值为1、2、3，用“” 、2、表示被直接感染的人数．

四个人的传染情形共有6种：，

，，，，．

每种情况发生的可能性都相等，所以传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．

“”表示传染，没有传染给、

“”表示传染给、，没有传染给，或传染给、，没有传染给

“”表示传染给、、．

于是有，

，

．

可取的值为1、2、3，其中，，，

分布列为：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力．

三、解答题

21．已知.求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分别令、可求得、的值，即可求得的值；

（2）分别令、，将所得两式作差可求得的值；

（3）分析可知当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求代数式的值.

【详解】(1)解：令，则，令，则，①

因此，.

(2)解：令可得，②

①②可得.

(3)解：的展开式通项为，则，

其中且，

当为偶数时，；当为奇数时，.

所以，.

22．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

【答案】(1)3人，2人，2人；

(2)①答案见解析；②．

【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

（2）①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，随机变量X的分布列为

②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；

事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，

则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，

故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．

23．某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？

(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；

(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；

(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）先将9人按分组，再将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.

（2）利用平均分配直接列式计算作答.

（3）将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.

【详解】(1)将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的调查方式有.

(2)从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的调查方式有.

(3)把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，

从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，

将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的调查方式有.

24．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，

（1）求这两种方案检测次数相同的概率；

（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.

【答案】（1）；（2）乙方案，理由见解析.

【分析】设甲方案检测的次数，记乙方案检测的次数，

（1）记两种方案检测的次数相同为事件A，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解；

（2）分别求得随机变量和的期望，结合期望的大小，即可求解.

【详解】由题意可设甲方案检测的次数是X，

则，记乙方案检测的次数是，则，

（1）记两种方案检测的次数相同为事件A，

则，

所以两种方案检测的次数相同的概率为.

（2）由，

所以，

，则，

因为，所以采用乙方案.

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.