山东省菏泽市牡丹区2022年中考一模数学试题及答案

这是一份山东省菏泽市牡丹区2022年中考一模数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 中考一模数学试题
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．-1
2．近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．冬奥会于2022年2月4日在中国北京、张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．函数 中自变量x的取值范围是（　　）
A． B． 或
C． D． 且
5．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若，，则∠ACB的度数为（　　）

A．105° B．100° C．95° D．90°
6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线 的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）
A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AO：AD的值为（　　）

A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
8．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
9．把多项式9m2﹣36n2分解因式的结果是　 　．
10．若关于x的分式方程 的解为正数，则a的取值范围　 　．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E.若弧DE的长为为 π，则阴影部分的面积为 　 　.（保留π）

12．定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，的图象交AB于点N， S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为　 　.

14．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与点B，C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N，连接OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON=OM；③ON⊥OM；④若AB=2，则S△OMN的最小值是1；⑤AN2+CM2=MN2．其中正确结论是 　 　．（只填序号）

三、解答题
15．计算：
16．先化简，再求值： ，其中a的值从不等式组 的解集中选取一个合适的整数.
17．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点.

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝ ，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积.
18．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：的山坡向上行走米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．

19．为响应政府发出的创建文明城市的号召，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用800元购买A种花卉与用1200元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多1.5元．
（1）求A、B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A、B两种花卉共8000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
20．如图一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝ （x＞0）相交于点C（2，m）.

（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积.
21．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有　 　名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　 　度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．
23．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．

（1）当sinB＝时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．
24．如图，抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．

（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将 ABC沿BC所在直线折叠，得到 DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP， BPQ的面积记为S1， ABQ的面积记为S2，求 的值最大时点P的坐标．

答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵整数和分数统称为有理数，
∴和是有理数；
∵，
∴是有理数；
故答案为：A．

【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：0.00000011=，
故答案为：B．

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意.
故答案为：B.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】解： ，

解得： 且
故答案为：
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】∵MN是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=50°=∠B+∠DCB，∠ACD=180°-50°-50°=80°，
∴∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=80°+25°=105°，
故答案为：A．

【分析】由垂直平分线的性质得出DB=DC，∠B=∠DCB，再得出∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，代入求解即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：


，
可得顶点坐标为（-1，-6），
根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3），
所以错误的只有甲和丁.
故答案为：D.

【分析】根据题目中的解答过程可以分别进行解答，从而得到谁负责的自己的一步出现错误即可得出答案。
7．【答案】B
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，
∴ ＝ ，AC∥DF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ .
故答案为：B.
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥EF，

∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，
∴EH＝2，DH＝EF＝2，
当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴y＝ ，
∵ ，
∴该部分图象开口向上，
当1＜x＜2时，如图，

设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M，
则S重叠＝S△GMC'﹣S△GNB'，
设B'K＝a，则NK＝2a，
∵GC'＝x，B'C'＝1，
∴GB'＝x﹣1，
∵△GKN是等腰直角三角形，
∴GK＝NK，
∴x﹣1＋a＝2a，
∴a＝x﹣1，
∴NK＝2x﹣2，
∴ ，
∵ ，
∴S重叠＝ ﹣（x2﹣2x＋1）＝ ，
∵ ，
∴该部分图象开口向下，
当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC，是固定值，
∴该部分图象是平行x轴的线段，
故答案为：B．

【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0 9．【答案】9（m﹣2n）（m+2n）
【解析】【解答】解：原式＝9（m2﹣4n2）＝9（m﹣2n）（m+2n），
故答案为：9（m﹣2n）（m+2n）．

【分析】先提取公因式9，再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】a＜1且a≠−1
【解析】【解答】解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴x＞0，即 ，
解得：a＜1，
当x−1＝0时，x＝1是增根，
∴ ，即a≠−1，
∴a＜1且a≠−1，
故答案为：a＜1且a≠−1．
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数得出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后再根据有增根的情况进一步求解即可．
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OE，

∵以CD为直径的⊙与AB相切于点E，
∴OE⊥BE.
设∠EOD＝n°，
∵OD＝ CD＝1，弧DE的长为 π，
∴ ＝ π.
∴∠EOD＝60°.
∴∠B＝30°，∠COE＝120°.
∴OB＝2OE＝2，BE＝ ，AB＝2AC，
∵AC＝AE，
∴AC＝BE＝ .
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE
＝ × ×3﹣ ﹣ ×1× ＝ ﹣ .
故答案是： ﹣ .
【分析】连接OE，根据弧长公式得出∠EOD＝60°，得出∠B＝30°，∠COE＝120°，从而得出BE，BC，AC的长，再根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE列式进行计算，即可得出答案.
12．【答案】-2
【解析】【解答】解：∵是“凤凰”方程，
∴，即，
∵有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：-2

【分析】根据“凤凰”方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列出方程求出m的值即可。
13．【答案】3
【解析】【解答】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到tan∠DOE=，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到tan∠COM=，由OC=AB=4，可求得MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标（﹣8，1），可知BN=4﹣1=3．
故答案为：3．

【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到tan∠DOE的值，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB、OA的值，在Rt△OCM中利用正切定义得到tan∠COM的值，由OC=AB=4，可求MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，再确定N点坐标，即可得出BN的长。
14．【答案】①②③⑤
【解析】【解答】解：①∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
在△CNB和△DMC中，
，
∴△CNB≌△DMC（ASA），
故①符合题意；
②∵△CNB≌△DMC，
∴CM=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
在△OCM和△OBN中，
，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，
故②符合题意；
③∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM=∠BON，
∴∠BOM+∠COM=∠BOM+∠BON，即∠NOM=∠BOC=90°，
∴ON⊥OM；
故③符合题意；
④∵AB=2，
∴S正方形ABCD=4，
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积S=，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是，
故④不符合题意；
⑤∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，
故⑤符合题意；
∴本题正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．

【分析】①由正方形的性质得出CD=BC，∠BCD=90°，证出∠BCN=∠CDM，由ASA即可得出结论；②由全等三角形的性质得出CM=BN，由正方形的性质得出∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，由SAS证得即可得出结论；③由△OCM≌△OBN，得出∠COM=∠BON，则∠NOM=∠BOC=90°，即可得出结论；④由AB=2，得出S正方形ABCD=4，由△OCM≌△OBN，得出四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小；⑤由AB=BC，CM=BN，由勾股定理即可得出结论。
15．【答案】解：



【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时突然特殊角的三角函数值和化简绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可.
16．【答案】解：原式



∵不等式组
解不等式①得：a≥-1
解不等式②得：
∴不等式组的解集为
由分式的意义可知 且 且 ，所以
∴原式=
【解析】【分析】先对括号里进行通分，去括号后对分子分母进行分解因式后约分即可化简，解不等式组，选取合适的数时要注意保证分式的化简有意义.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中， ，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝ BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2× ＝2 .
【解析】【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可.
18．【答案】解：延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，如图所示：

则四边形DFEG是矩形，
∴DG=EF，DF=GE，
在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，
∴CE=BE=100（米），
在Rt△CDF中，DF：CF=1：2，
∴CF=2DF，
∵DF2+CF2=EF2，
∴DF2+（2DF）2=（10）2，
解得：DF=10（米），
∴CF=20（米），
∴DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，
在Rt△ADG中，tan∠ADG==tan30°=，
∴AG=DG=×120=120（米），
∴AB=AG+GE-BE=120+10-100=30（米），
答：铁塔AB的高度为30米．
【解析】【分析】延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，由锐角三角函数定义得出CE的值，再由坡度的定义和勾股定理求出DF、CF的值，则得出DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，再由锐角三角函数定义求出AG的长，即可得解。
19．【答案】（1）解：设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+1.5）元，
根据题意，得：

解这个方程，得：x=3，
经检验，x=3是原方程的解，并符合题意，
此时，x+1.5=3+1.5=4.5（元），
∴A种花卉每盆3元，B种花卉每盆4.5元；
（2）解：设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，
由题意，得：w=3t+4.5（8000-t）=-1.5t+36000，
∵t≤（8000-t），
解得：t≤3000，
∵w是t的一次函数，-1.5＜0，
∴w随t的增大而减小，
∴当t=3000时，w最小，
wmin=-1.5×3000+36000=31500（元），
∴购买A种花卉3000盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是31500元．
【解析】【分析】（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+1.5）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，根据题意列出函数解析式w=3t+4.5（8000-t）=-1.5t+36000，再利用一次函数的性质求解即可。
20．【答案】（1）解：∵一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0），
∴﹣2k1+3＝0，解得k1＝ ，
∴一次函数为：y＝ x+3，
∵一次函数y＝ x+3的图象经过点C（2，m）.
∴m＝ ×2+3＝6，
∴C点坐标为（2，6），
∵反比例函数y＝ （x＞0）经过点C，
∴k2＝2×6＝12，
∴反比例函数为：y＝
（2）解：作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F，

∴CE∥PF，
∴△PFD∽△CED，
∴ ，
∵PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6），
∴PD：CD＝1：3，CE＝6，
∴ ＝ ，
∴PF＝2，
∴P点的纵坐标为2，
把y＝2代入y2＝ 求得x＝6，
∴P（6，2），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
把C（2，6），P（6，2）代入得 ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0，则x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝14，
∴S△COP＝S△COD﹣S△POD＝ ×8×6﹣ ＝16
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数的解析式求出k1的值，从而求出一次函数的解析式，再将点C（2，m）代入一次函数的解析式求出m的值，得出点C的坐标，最后将点C的坐标代入反比例函数的解析式求出k2的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）证明△PFD∽△CED，根据相似三角形对应边成比例得出则 ，结合PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6）求出PF的长，进而得出点P的坐标，利用待定系数法求出直线CD的解析式，再求出点D的坐标，最后利用S△COP＝S△COD﹣S△POD，即可求解.
21．【答案】（1）50；72
（2）解：B类人数是：50－10－8－20=12名，补全条形统计图如图所示：

（3）解： 名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）解：所有可能的情况如下表所示：

由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率 ．
【解析】【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%=50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 ；
故答案为：50，72；
【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
22．【答案】（1）解：如图，连接BD，

∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAF＝∠BDE＝90°，
∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠F＝∠EDF，
∴DE＝EF＝6，
∵CE＝4，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD＝ ，
∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴BD，
∴⊙O的半径＝．
【解析】【分析】（1）先判断出BD是直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得出∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得出DE＝EF＝6，根据勾股定理得出CD＝ ，根据相似三角形的性质即可得出结论。
23．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝ ，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，

∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵， ，
∴ ，
∴△ACD∽△ABE，
∴，
又∵Rt△ABC中，＝2，
∴＝2，
即BE＝2CD；
（2）解：∵sinB＝，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，

当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF﹣EF＝4，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵，，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，

当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF+EF＝8，
又∵△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝4，
综上所述，线段CD的长为2或4．
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠B的度数，进而求出∠A的度数，①先判断EH＝CD，再用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论；②由△ABC和△ADE都是直角三角形，得出∠CAD＝∠BAE，即可得出结论；
（2）将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：①根据勾股定理得，AB＝10，在Rt△ABF中，利用勾股定理得出BF的值，得出BE＝BF﹣EF＝4，最后判断出△ACD∽△ABE，即可得出结论；②同①的方法即可得出结论。
24．【答案】（1）解：∵抛物线 过A（1，0），C（0，﹣2），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
设 AC 所在直线的表达式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴AC 所在直线的表达式为 ；
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是∶
∵抛物线的表达式是 ，
∴令y＝0，则 ，
解得 ， ，
∴点B坐标为（－4，0）．
， ，
∴ ．
又
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴将△ABC沿 BC折叠，点 A 的对应点D一定在直线AC上．
如下图，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DE y轴，垂足为点E．

又∵ ，
∴ ，
∴DE＝OA＝1，
∴点D的横坐标为－1，
∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴点D不在抛物线的对称轴上；
（3）设过点 B，C的直线表达式为 ，
∵点C 坐标是（0，－2），点B 坐标是（－4，0），
∴过点 B，C的直线表达式为 ．
过点 A 作x 轴的垂线交BC的延长线于点M，
则点M坐标为 ，
如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，

设点P 坐标为 ，则点N坐标为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵若分别以PQ，AQ为底计算△BPQ与△BAQ的面积，则△BPQ与△BAQ的面积的比为 ，
即 ．
∴ ，
∵ ，
∴当m＝－2时， 的最大值为 ，
将m＝－2代入 ，得 ，
∴当 取得最大值时，点P坐标为（－2，－3）．
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 抛物线的表达式为 ，最后计算求解即可；
（2）先求出 点B坐标为（－4，0） ，再求出 ，最后证明三角形全等求解即可；
（3）先求出 点M坐标为 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。