2021-2022学年云南省昭通市永善、绥江县高二3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年云南省昭通市永善、绥江县高二3月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式直接求解，然后由集合的运算可得.

【详解】因为，，所以.

故选：C

2．复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】判断复数在复平面上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.

【详解】由，得，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选:D．

3．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可设，且，根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，非零向量，满足，

可设，且

因为，可得，解得，

则，

又因为，所以，所以与的夹角为.

故选：A.

4．函数在上的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值可判断

【详解】因为

所以函数为奇函数，故排除选项C，D；

因为在上，，所以排除选项B．

故选：A．

5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.

【详解】如图，设关于直线对称的点为，

则有 ，可得，可得，

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，

此时，

故选：D.

6．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，

再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.

【详解】解：由，，成等差数列，

得：，

设的公比为，则，

解得：或，

又单调递减，

 ，

，

解得：，

数列的通项公式为：，

.

故选：C．

7．甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲､乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：

则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（       ）A．0.44 B．0.40 C．0.36              D．0.32

【答案】D

【分析】先求出甲购买A种医用口罩和乙购买B种医用口罩的概率，然后利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.

【详解】由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为0.4，乙购买B种医用口罩的概率为0.4，

所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为

.

故选：D.

8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为(       )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角可得，结合和余弦定理可得cosA和，根据三角形面积公式可得面积.

【详解】∵，

结合正弦定理可得，

可得，∵，

结合余弦定理，可得，

∴A为锐角，且，从而求得，

∴的面积为．

故选：C.

二、多选题

9．已知曲线，则（       ）

A．若，，则曲线C表示椭圆

B．若，则曲线C表示双曲线

C．若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为

D．若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率

【答案】BC

【分析】利用曲线的方程逐项分析即得.

【详解】对于A，若，，当时，则曲线C表示圆，故A错误；

对于B，若，当时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，当时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，所以若，则曲线C表示双曲线，故B正确；

对于C，若，，则，，

所以曲线C表示双曲线，方程为，

令，得，即，故其渐近线方程为，故C正确；

对于D，若，，则曲线C方程为，即，

因为，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故D错误.

故选：BC.

10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（       ）

A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种

B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种

C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种

D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

【答案】BC

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.

【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；

对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；

对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；

对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.

故选：BC

11．如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（       ）

A．

B．平面

C．点在上运动时，三棱锥的体积为定值

D．点在上运动时，始终与平面平行

【答案】ACD

【分析】依题意可得，，即可得到平面，即可判断A；

根据正四棱柱的性质可得不一定成立，即可判断B，易知平面，即可判断C，由面面平行的判定定理得到平面平面，由平面，即可得到平面，即可得证；

【详解】解：对于选项A，由条件得，，，平面，所以平面．又因为平面，所以，故选项A正确；

对于选项B，由于正四棱柱的侧面不一定是正方形，所以不一定成立，所以平面不一定成立，故选项B错误；

对于选项C，易知平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确；

对于选项D，由于，，所以平面，且，平面，且，所以平面平面，点在上运动时，平面，所以平面，故选项D正确．

故选：ACD．

12．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（       ）

A． B．Sigmoid函数是单调减函数

C．函数的最大值是 D．

【答案】ACD

【分析】求出给定函数的导数，再逐项分析、计算并判断作答.

【详解】由函数求导得：，

对于A，，A正确；

对于B，，，则Sigmoid函数是单调增函数，B不正确；

对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确；

对于D，因，则，D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.

三、填空题

13．已知，则的最小值为__________.

【答案】3

【分析】将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值.

【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：3.

14．已知，则______.

【答案】

【分析】利用同角三角函数的关系，将原式变形为，然后代值求解即可

【详解】因为，

所以

，

故答案为：

15．已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为____________．

【答案】

【分析】取的中点，连接、，根据面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，首先求出外接圆的圆心，即可设球心为，则，即可得到方程，求出，从而得到外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得；

【详解】解：取的中点，连接、，因为，为等边三角形，所以，，又侧面底面，侧面底面，所以底面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，则外接圆的圆心为，设球心为，则，所以，解得，所以，所以外接球的表面积；

故答案为：

16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．

【答案】

【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．

【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，

由椭圆和双曲线的定义可得，解得，

在三角形中，，

由余弦定理可得，，

即有，可得，即为，

由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.

故答案为：．

四、解答题

17．从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65   分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）求第七组的频率；

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；

（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

【答案】（1）0.08；（2）102；（3）．

【解析】（1）根据频率之和为1即可求出；

（2）根据频率分布直方图直接列式即可计算；

（3）可得第六组3人，第八组2人，随机抽取2名，列出所有基本事件，再求出分差的绝对值小于10分包含的基本事件，即可求出概率.

【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：

．

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：，

（3）样本成绩属于第六组的有人，设为A，B，C，样本成绩属于第八

组的有人，设为a，b，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，共10种，

他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有

，，，，共4种，

∴他们的分差的绝对值小于10分的概率．

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b-a)cosC=ccosA.

(1)求角C的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求的值，结合，可求的值；

（2）利用余弦定理化角为边可求的值，结合已知利用三角形的面积公式即可计算得解．

【详解】(1)解：因为，

由正弦定理可得，

即，

因为，

故，

因为，

故；

(2)解：因为，

，

整理可得，可得，

又，

所以．

19．如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.

(1)证明：平面PAD；

(2)若平面PAD，，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PD中点F，连接EF，AF，先证明,从而得证.

（2）由平面PAD，可得，取CD中点O，连接PO，BO，证明平面ABCD，，从而以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)取PD中点F，连接EF，AF

则且

又且

所以且

由四边形ABEF是平行四边形，则

又平面，平面

所以平面PAD

(2)因为平面PAD∴

又∵，，∴

取CD中点O，连接PO，BO

∵平面CDP∴，又∵∴平面ABCD

又∵，∴

以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系

则，，，

∴，

设为平面PAB的一个法向量.

则令则

显然为平面PAD的一个法向量

设为二面角的平面角，则

所以

所以二面角的正弦值

20．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前n项和为，，__________；设数的前n项和为，．

注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设数列的首项为，公差为d，根据所选条件结合等差数列的通项公式及前项和公式得到方程组，解得、，即可求出的通项公式，由，根据，求出的通项公式；

（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可.

【详解】(1)解：设数列的首项为，公差为d，

若选①，得，则，

所以数列的通项公式为．

选②得，则，

所以数列的通项公式为．

选③得，则，

所以数列的通项公式为．

因为，所以当时，，则．

当时，，则，

所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以．

(2)解：因为，

所以数列的前n项和①，

②，

①②得

∴ ，

则．

21．已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.

(1)求的标准方程；

(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)为定值，定值为1

【分析】（1）由椭圆的对称性可得在椭圆上，再由椭圆的定义可得到两个焦点的距离之和为可得的值，再由离心率可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；

（2）设的坐标，进而可得的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，求出直线的方程，令可得横坐标的表达式，将两根之和及两根之积代入可得直线恒过定点，求出两个三角形的面积之比，可得为定值.

【详解】(1)解：因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，

又椭圆的离心率，所以，

可得，

所以椭圆的方程为：；

(2)解：为定值，且定值为1，

证明如下：设 ，则，

联立，整理可得：，

则，

直线的方程为：，

令，可得

；

所以当变化时直线与轴交于定点，

所以，

即为定值，且定值为.

22．设函数．

(1)若曲线在点处的切线方程为，求；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；

（2）对分类讨论，求出的单调区间.

【详解】(1)由于切点在切线上，所以，函数通过点

又，根据导数几何意义，

；

(2)由可知

当时，则；

当时，则；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，单调递增区间为，单调递减区间为.