2021-2022学年重庆市实验中学高二上学期第二次阶段性测试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年重庆市实验中学高二上学期第二次阶段性测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市实验中学高二上学期第二次阶段性测试数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得抛物线的标准方程，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点坐标为.故选：A2．已知等差数列中，，则数列的前项之和为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据等差数列的性质由得，从而有 ，再根据等差数列的前项和公式可求出前8项和．【详解】由已知得，即，所以数列的前8项和．故选：C3．空间三点，，，则（       ）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．平面的一个法向量是 D．与夹角的余弦值【答案】C【分析】首先求出、、的坐标，再根据空间向量的坐标运算法则计算可得；【详解】解：空间中三点，，，所以，，，对于A：，与不是共线向量，故A错误；对于B，，的单位向量是，故B错误；对于C，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，故C正确．对于D，，，与夹角的余弦值是：，故D错误；故选：C．4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合，求出，进而可得弦所在直线的方程.【详解】由题意得，圆的圆心为，则，因点为圆的弦的中点，所以，故，即，因此弦所在直线的方程为：，即.故选：A.5．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由， ，又，解得，.故选：A.6．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】即，即故选：B7．若双曲线的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知，结合求解即可【详解】因为双曲线的渐近线的斜率大于，所以， 即，也即，所以，所以，所以，又因为双曲线得离心率，所以，双曲线离心率的取值范围是.故选：D8．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以抛物线的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】易得直线的方程为，与抛物线方程联立，得到线段AB的中垂线方程，求得M的坐标，进而得到A的坐标求解.【详解】如图所示：因为抛物线的准线，所以抛物线的方程为，焦点为，直线的方程为，联立，消去y得，设，则，，过M作线段AB的中垂线，垂足为D，因为，所以，则直线的方程为，即，由，焦点，即，由，得，所以，所以圆的面积为，故选：B二、多选题9．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　）A．直线与圆相交 B．若点到直线的距离为3，则点有2个C．的最小值是 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是【答案】BC【分析】利用圆心到直线的距离判断A选项；通过判断BC选项；通过勾股定理计算切线长判断D选项.【详解】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，故直线与圆相离，A错误；的最小值是5-4=1，最大值是5+4=9，故点到直线的距离为3时，点有2个，B正确，C正确；设点向圆引切线，，最小时，即最小，的最小值为圆心到直线的距离，此时，D错误.故选：BC.10．已知是等差数列，，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（       ）A． B．C．最小 D．时，的最大值为【答案】AB【分析】由求得，再依次判断各选项即可.【详解】设公差为，由得，解得，A正确；，B正确；由，知，又，可得，当或7时，取得最大值，C错误；，D错误.故选：AB.11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【分析】在选项A中，推导出，，从而直线平面；在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；在选项C中，可得异面直线与所成角的取值范围是；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则（       ）A．的取值范围是 B．直线与轴垂直C．若，则 D．的取值范围是【答案】BCD【分析】根据双曲线渐近线倾斜角判断A；利用双曲线定义及切线长性质判断B；根据平面几何知识确定后，根据直角三角形相似，求出判断C；求出的关系，及的范围，利用对勾函数判断出D.【详解】设与圆的切点分别为,如图，易知，横坐标相等，根据题意得由双曲线定义知，即 ，可得,设，则，解得 ，同理可得的横坐标也为，所以轴，故B正确；双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为 ，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，所以的取值范围是，故A错误；连接,由切线的性质可知,所以,,即 ，若，解得 ，轴，，, , 故C正确；对于D，， ， ,，又 ，，的取值范围是，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：根据圆的切线的性质及双曲线的定义，推导出圆与圆相切于x轴上同一点是解题的关键，同时利用平面几何的性质推导出是解题的难点，属于难题.三、填空题13．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为___________.【答案】【分析】根据题意，结合两直线平行斜率相等，求出，再根据两平行直线之间的距离公式，即可求解.【详解】由直线与直线平行，易得，因此直线，直线，所以直线与之间的距离.故答案为：.14．已知，若，则实数为_______.【答案】【分析】根据空间向量的线性运算与垂直条件列方程求解【详解】，又，得解得：故答案为：15．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.【答案】【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点为，，则，则设圆的圆心为，则坐标为则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.又当时，，当且仅当时取得等号；故.故答案为：.16．已知双曲线的左､右顶点分别为，，右焦点为F，P为C上一点，且轴，过点的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点N，直线与y轴交于点H，若(为坐标原点)，则C的离心率为___________.【答案】【分析】根据三角形相似列出比例关系，转化求解双曲线的离心率即可.【详解】∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，即离心率.故答案为：四、解答题17．如图所示，已知直三棱柱，，，，、分别是所在棱上的中点．(1)求证：；(2)求异面直线、所成的角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法确定直线的位置关系；（2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，即(2)由题意得B(0，1，0)，，∴＝(0，1，2)，·∴.，故所求异面直线、所成的角的余弦值18．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切．(1)求圆的标准方程;(2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可；（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.【详解】(1)设圆M的标准方程为：则圆心M到直线的距离为由题意得，解得或舍去.所以，所以圆M的方程为．(2)设直线l的方程为则圆心M到直线l的距离为，因为，解得，则直线的方程为．19．已知数列，，数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列中的最大项.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将代入中进行化简，然后利用等差数列定义得出结论即可.（2）求出数列，利用函数单调性求解.【详解】(1)因为，.所以当时，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列..(2)由（1）知，.则时，,设函数易知在上为减函数所以当时，取得最大值.20．如图，是圆柱底面圆的直径，点､是的两个三等分点，､为圆柱的母线.（1）求证：平面；（2）设，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）通过得出平面和得出平面，即可证明；（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量关系即可求得.【详解】（1）证明：连结，∵点､是的两个三等分点，∴，∴平面；又､均为圆柱的母线，∴，∴平面，又，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）连结，∵是圆的直径，∴，又为圆柱的母线，故､､两两垂直，如图建立空间直角坐标系，由条件，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，显然平面的法向量，∴，故所求二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21．已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）       （2）证明见解析【分析】(1) 设,根据条件可得，即，代入抛物线方程，即可求出答案.(2) 设的方程为：，,由方程联立可得，根据，可得，从而得答案.【详解】（1）设，根据抛物线的定义可得 又轴于点，则，所以 ，则所以，由在抛物线上，，解得所以抛物线的方程为（2）证明：点在抛物线上.设的方程为：， 由 得 所以，整理得 将代入得，即.所以直线恒过定点【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线过定点问题，属于中档题.22．已知圆和点，动圆经过点，且与圆内切.（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；（2）设点关于点的对称点为，直线与轨迹交于、两点，若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可确定圆的圆心与半径，然后根据题意得出，最后根据椭圆的定义即可得出结果；（2）本题首先可根据题意得出以及直线的方程，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理得出、，再然后根据的面积为得出，则，最后根据得出，通过计算即可得出结果.【详解】（1），圆心，半径，因为动圆经过点，且与圆内切，所以，即，的轨迹为以点与点为焦点、为长轴长的椭圆，故圆心的轨迹的方程为.（2）因为点关于点的对称点为，所以，因为，所以点不在轴上，直线的斜率不为，则直线的方程为，联立，整理得，，设，，则，，因为是的中点，、、三点共线，的面积为，所以，，由直线过点易知，，故，即，，令，则，，，故，，.【点睛】关键点点睛：本题考查动点轨迹方程的求法以及直线与椭圆相交的相关问题的求解，考查椭圆定义以及韦达定理的灵活应用，考查椭圆的焦点三角形的相关性质，能否根据题意得出是解决本题的关键，考查计算能力，体现了化归与转化思想，是难题.