2022年广东省汕头市潮南区中考数学模拟试卷（含解析）

2022年广东省汕头市潮南区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在实数，，，中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 若，满足，则

A.  B.  C.  D.

6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是

A. 且 B.
C. 且 D.

7. 如图，点、、是上的三点，且四边形是平行四边形，交于点，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 如图，已知▱的面积为，点在边上从左向右运动不含端点，设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

9. 如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点有下列结论：；；；其中正确的是

A.  B.  C.  D.

10. “分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故，解得，，根据以上方法，化简的结果是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 新型冠状病毒也叫，该病毒比细胞小得多，大小约为纳米，即为米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据米用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：______．
13. 若，则等于______．
14. 如图，矩形的顶点，在坐标轴上，点的坐标是，点在上，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则等于______．
     

15. 如图所示，若用半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则这个圆锥的底面半径是______．
    
    
     

16. 请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：
    二次项的系数为负数；
    一个实数根为的整数部分，另一个实数根为，则这个一元二次方程可以是______任意写一个符合条件的即可
17. 如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 求不等式组的整数解．
19. 为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动该校随机抽取部分学生，四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解决下列问题：
    此次共调查了______ 名学生；
    扇形统计图中类所对应的扇形圆心角的大小为______ 度；
    请通过计算补全条形统计图；
    该校共有名学生估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人？
20. 如图，已知，．
    请用尺规作图，在边上找一点，使；不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，若，，求的值．
21. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点点是对角线的中点，连接，如果，，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    延长交于点，求的值．

22. 月日为“世界读书日”每年的这一天，各地都会举办各种宣传活动我市某书店为迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

陈经理查看计划书时发现：类图书的销售价是类图书销售价的倍，若顾客同样用元购买图书，能购买类图书数量比类图书的数量少本，求、两类图书的销售价；
为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：类图书每本按原销售价降低元销售，类图书价格不变，那么该书店应如何进货才能获得最大利润？

23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，，分别在轴、轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点．
    填空：的值为______；
    连接，求证：∽；
    在线段上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出此时的长．

24. 如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．
    求证：是的切线；
    若，的半径为，求阴影部分的面积；
    连结，在的条件下，求的长．

25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为；线段的垂直平分线交抛物线于点、，点、横坐标分别为、且满足．
    

求抛物线的解析式；
设点是直线上一动点，当点在什么位置上时，的周长最小？求出此时点的坐标及周长的最小值；
如图，线段上的一点，过点作直线轴于，交抛物线于，且；点是直线上一个动点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的点坐标写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由于负数小于，小于正数，
又，
，
故选：．
首先根据负数小于，小于正数，然后判断和的大小即可得到结果．
本题考查实数大小的比较，利用不等式的性质比较实数的大小是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，，，选项可以拼成一个正方体，而选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，
故选：．
根据正方体展开图的种形式对各小题分析判断即可得解．
本题考查了几何体的展开图．熟记展开图的种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”即不能出现同一行有多于个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况判断也可．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．先根据 ， ，求得 ，再根据平行线的性质，求得 的度数．
【解答】
解：如图，

， ，
，
，
．
故选 D ．   

5.【答案】

【解析】解：，，
，，
，，
，



．
故选：．
根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，代入代数式求值即可得出答案．
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到 ，根据圆周角定理计算即可．
【解答】
解：连接 ，

四边形 是平行四边形，
，又 ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
由圆周角定理得 ，
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：▱的面积为，
当时，；时，；
的底边边上的高不变，
是的一次函数，
故只有选项B符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，当点在处时即，的面积为，当点运动到时即，的面积为，因为的底边边上的高不变，所以是的一次函数，据此判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
故正确；
由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，
故正确；
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，平分，
，
，
，
故正确；
≌，
，
，
∽，
，
，
故正确，
综上，正确的结论是，
故选：．
由旋转的性质得≌，可得；由正方形的性质得，即，进而可得；先证明≌，可得，根据，平分可得进而可得；先证明∽，可得，即，故可求解．
本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键．
 

10.【答案】

【解析】解：



．
故选：．
直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．
此题主要考查了分母有理数，正确化简二次根式是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
把都改为底数为的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由得出整体代入即可．
此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形为矩形，点的坐标是，
，，，
设，则，
由折叠性质可得：
，，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，
，
故答案为：．
由点坐标和矩形的性质可得，，，设，则，由折叠性质可得，，，由勾股定理可得，则，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是利用折叠性质和勾股定理求出．
 

15.【答案】

【解析】解：设圆锥的底面半径为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据半径为，圆心角为的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设一元二次方程为，
二次项的系数为负数，
，
可取，
的整数部分为，
一个实数根为，另一个实数根为，
，，
，，
方程可以是，
故答案为：．
设一元二次方程为，根据二次项的系数为负数，可得，根据根与系数的关系可得和的值，即可确定方程．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，当、、三点一线且时，有最小值，设与圆的切点为，连接，
为圆的切线，
，
，，，
，
，
，且为中点，
为的中位线，
，
同理可得，
，
故答案为：．
当、、三点一线且时，有最小值，设与圆的切点为，连接，分别利用三角形中位线定理可求得和的长，则可求得的最小值．
本题主要考查切线的性质及直角三角形的判定，先确定出过圆心且时为最小值是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得，
不等式组的解集为：，
则该不等式的整数解为，，，．

【解析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间确定不等式的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
 

19.【答案】解：．

；

类的人数有：人，补全条形统计图如图所示：


人，
答：该校名学生中“很喜欢”的类的学生有人．

【解析】解：此次共调查的学生数是：人．
故答案为：．

类所对应的扇形圆心角的大小为：．
故答案为：；

、见答案．
从两个统计图可知，“、、”频数之和为人，占调查人数的，可求出调查人数；
用乘以“”所占的百分比即可；
求出“”的频数即可补全条形统计图；
求出“类”所占的百分比，即可求出总体人中最喜欢“类”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解和掌握两个统计图中的数量关系是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；

在中，，
，
，
设，则，
在中，，解得，
即的长为．

【解析】作的垂直平分线交于；
先利用余弦的定义求出，再利用勾股定理计算出，设，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

21.【答案】证明：，点为的中点，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：点是的中点，，

，，
设，则，
，
．

【解析】利用证明≌，得，从而证明，即可证明结论；
根据平行线分线段成比例定理可得，，设，则，则，即可得出答案．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形斜边上中线的性质等知识，用的代数式表示出和的长是解题的关键．
 

22.【答案】解：设类图书的标价为元，则类图书的标价为元，
根据题意可得，，
化简得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则类图书的标价为：元，
答：类图书的标价为元，类图书的标价为元；
设购进类图书本，则购进类图书本，利润为．
由题意得：，
解得：，

，
随的增大而增大
当时，利润最大．
，
所以当购进类图书本，购进类图书本，利润最大．

【解析】先设类图书的标价为元，则由题意可知类图书的标价为元，然后根据题意列出方程，求解即可．
先设购进类图书本，总利润为元，则购进类图书为本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出的取值范围，然后根据总利润总售价总成本，求出最佳的进货方案．
本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
 

23.【答案】

【解析】解：四边形为矩形，点的坐标为，
，，，
是旋转得到的，
即：≌，
，
∽，
，
，
，
点的坐标为，
的图象经过点，
，
故答案为：；
证明：点在上，
点的横坐标为，
对于，当，得，
点的坐标为，
，
，，，
，，
，，
，
，
∽．
解：设点，而点，点，
则，，
，
当时，，
解得，或舍去负值，
当时，同理可得：；
当时，同理可得：或舍去；
综上，的长为或或．
通过证明∽，可得，可求点坐标；
分别求出，，，的长，由相似三角形的判定定理可得结论；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式，列出等式，可求解．
本题是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
∽，
，
，的半径为，
，
，
如图，连接，

是的直径，，
，
，
∽，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
如图，过点作于点，连接，

在中，，，
，
．

【解析】根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到，根据等边对等角得到，则，即可判定，进而得到，据此即可得解；
连接，根据相似三角形的性质求出，，解直角三角形得到，则，，，再根据即可得解；
过点作于点，连接，解直角三角形得到，，则，再根据勾股定理求解即可．
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明∽求出是解题的关键．
 

25.【答案】解：由直线：，可得与轴交点为，与轴交点为，
是线段的垂直平分线，
轴，
、关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线解析式为，将代入，
得：，
解得：，
，
故该抛物线解析式为．
如图，连接，
是线段的垂直平分线，
，
当点、、在同一直线上时，最短，
当时，解得：，
，
，
，
周长最小值．
设，且，
则，，
，
，
解得：，舍去，
，，
，
为菱形的边且点在点左侧，如图，
延长交轴于点，
，，，
，，
，
，
点在第三象限，
，
为菱形的边且点在点右侧，如图，
设交轴于点，
，，，
，，
，
，
，
为菱形的对角线，如图，连接交于点，
是菱形，
，，
轴，
轴，
、、的纵坐标都等于，
，
解得：，
，
，，
，
综上所述，点的坐标为：，，

【解析】根据直线：，求出点，，由是线段的垂直平分线，可求出对称轴为直线，运用待定系数法即可求得答案；
根据点是直线上一动点，、是定点，求周长的最小值，即求的最小值，连接，则，当点、、在同一直线上时，最短，由此即可求得答案；
设，且，则，，进行分类讨论即可：为菱形的边且点在点左侧，为菱形的边且点在点右侧，为菱形的对角线．
本题考查了二次函数图象和性质，将军饮马的最值问题，解一元二次方程，菱形的性质，等腰直角三角形判定和性质等，熟练掌握二次函数图象和性质及菱形性质等相关知识，灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．