北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

北京市西城区2020—2021学年度第二学期期末试卷

           高二数学          2021.7

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

（1）与的等差中项是

（2）已知函数，则

（3）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则

（4）如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为

（5）圆和圆的位置关系为

（6）设是公比为的等比数列，且．若为递增数列，则的取值范围是

（7）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变

量的方差

（8）在空间直角坐标系中，已知，且的面积为．过作平面于点．若三棱锥的体积为，则点的坐标可以为

（9）记为数列的前项和．若，则

（10）已知函数．若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知函数，则_____．

（12）已知双曲线的焦距为，则实数_____；的渐近线方程为_____．

（13）甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为．则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_____．

（14）用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）

（15）已知点列，其中．是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…．记．则_____； _____．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知是等比数列，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列满足，求的前项和．

（17）（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

（18）（本小题15分）

如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面之间的距离．

（19）（本小题14分）

某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：

（Ⅰ）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；

（Ⅱ）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，

求的分布列和数学期望．

（Ⅲ）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个

品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每

管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）

（20）（本小题15分）

已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线

于点．求证：为的中点．

（21）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：．