2021-2022学年湖北省部分普通高中联合体高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省部分普通高中联合体高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（       ）

A．125种 B．135种 C．155种 D．375种

【答案】A

【分析】根据分类加法计数原理可得

【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有42+45+38=125种．

故选：A

2．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（       ）

A．8种 B．12种 C．16种 D．24种

【答案】C

【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.

【详解】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2=16种，

故选：C

3．函数在区间上的平均变化率等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平均变化率的定义算出答案即可.

【详解】函数在区间上的平均变化率等于

故选：C

4．（，）可以表示为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合排列数的计算公式计算出正确选项.

【详解】依题意：

.

故选：B.

5．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（       ）

A．144种 B．72种 C．36种 D．246种

【答案】A

【详解】甲乙相邻，看作一个整体，内部排列，他们两人都和丙不相邻，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之间或两边会出现四个空，将甲乙看作的一个人和丙选两空排列，

由此可知，不同的排法共有种,

故选:A

6．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题得在R上恒成立，解不等式即得解.

【详解】由题意知，，

因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，

所以在R上恒成立，

故，

即．

故选：B

【点睛】结论点睛：一般地，函数在某个区间可导 ，在这个区间是增函数0.一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数0.

7．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（       ）

A．40 B．60 C．32 D．50

【答案】B

【分析】运用等比数列的性质，成等比数列.

【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．

故选:B.

8．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（       ）

A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种

【答案】D

【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.

【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．

2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．

故不同的涂色方法共有756种．

故选：D

二、多选题

9．若，下列结论正确的是（       ）

A．n=10 B．n=11 C．a=466 D．a=233

【答案】AC

【分析】根据组合数的性质和公式进行求解即可.

【详解】由，可知：

，

因此，

故选：AC

10．已知等差数列的前n项和为，公差，，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（       ）

A． B．

C．当且仅当时，取得最大值 D．当时，n的最大值为20

【答案】BD

【分析】先求出，，从而可判断AB的正误，再求出通项公式，根据其符号可判断C的正误，求出并解不等式，故可判断D的正误.

【详解】因为，故，又，

整理得到：，故，，故A错，B正确.

又，

当时，；当时，；当时，，

故当且仅当、时，取得最大值，故C错误.

又，

令，则即n的最大值为20，故D正确

故选：BD.

11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中.则经过分钟后物体的温度将满足，其中为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是（       ）

A．

B．若，则

C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降

D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少

【答案】ACD

【分析】由题知，进而根据导数的几何意义，导数运算等依次讨论各选项求解即可.

【详解】解:由题知，

对于A选项，因为为正常数，所以，故A选项正确；

对于B选项，若，即，所以，则，故B选项错误；

对于C选项，表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C选项正确；

对于D选项，令，则，故是定义域内的单调递增函数，

由于，所以随着时间的增加，下降速度再减小，由于，

故当下降温度相同的时候，下降所需时间相对增加，故红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，

故D选项正确.

故选：ACD

12．已知（e为自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用指数函数的单调性，可比较大小，然后将，，变形并构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较出，，的大小关系，由此可判断A，B，C，D.

【详解】因为，所以，，．

对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，,

设，则，由，解得，

所以在上单调递增，故，

即，则，故，

故选：AD．

三、填空题

13．在50件产品中，有48件合格品，2件次品，从这50件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有______种．

【答案】2304

【分析】利用对立事件计算出正确答案.

【详解】从这50件产品中任意抽出3件，

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有：

种.

故答案为：

14．余弦曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求导得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.

【详解】因为，则，

可得曲线在点处的切线斜率为，

则曲线在点处的切线方程为，

故答案为：.

15．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为______．

【答案】

【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.

【详解】解：因为数列为等比数列，，公比，

所以 ，

所以，当时，最大，

即 ，解得：，

所以，当或时，最大，为.

故答案为：

16．设函数是奇函数的导函数．，当时，，则使得成立的的取值范围为______．

【答案】

【分析】构造函数，求解单调性与奇偶性，再结合的正负求解.

【详解】令，当时，，

所以函数在上为减函数，

又因为为奇函数，的定义域为，

所以，

所以为偶函数，得在上为增函数，

因为，所以，

作出的大致图象如图所示，

当时，，得，

当时，，得

所以的取值范围为

故答案为：

【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

17．（1）解关于的方程．

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）由排列数的定义化简后求解；

（2）由组合数的定义化简后求解．

【详解】解：（1）因为，

所以，

解得．

（2）因为，所以原不等式等价于，

即，解得．

又，且，所以原不等式的解集为．

18．求函数在区间的最大值与最小值．

【答案】 ；．

【分析】根据导数，列表求函数的最值即可.

【详解】解： ，令得

当变化时，变化如下：

19．设数列是各项为正数的等比数列，是和的等差中项．

(1)求数列的公比；

(2)若，令求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差中项列出方程，求出公比；（2）求出的通项公式，再用错位相减法求和.

【详解】(1)设数列的公比为，

由题得：，即，

，

∴

(2)，

，

，

两式相减：

∴

20．已知函数

(1)判断函数的单调性，并求出的极值；

(2)设，讨论函数的零点个数．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据导数研究函数单调性，求解极值即可；

（2）将问题转化为直线与函数的图像公共点问题，进而数形结合求解即可；

【详解】(1)解：函数的定义域为． ，解得

所以，当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以，当时，取得极小值，没有极大值．

(2)解：根据题意，函数的零点问题转化为直线与函数的图像公共点问题．

由（1）知，时，单调递减；时，单调递增．

当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，

所以，的大致图像如图，

情形1． 或时，直线与函数的图象有一个公共点，函数的零点个数为1．

情形2： 时，直线与函数的图象有两个公共点，函数的零点个数为2．

情形3：时，直线与函数的图象没有公共点，函数的零点个数为0．

21．已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）对题干条件变形得到是首项为4，公比时2的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；（2）假设存在，根据题意得到，结合，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，求出，故矛盾，得到答案.

【详解】(1)，变形为：，，其中，所以是首项为4，公比为2的等比数列，故，即，

当时，，其中满足上式，综上：的通项公式为

(2)不存在，理由如下：

由（1）知：，，由题意得：，所以，

假设存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，所以，即，由于m，k，p成等差数列，故，所以，所以，即，即，所以，进而得到，这与假设矛盾，故在数列中是否不存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.

22．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)两条

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）设直线分别与函数，的图象相切于点，，依题意可得，即可得到方程组，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解；

【详解】(1)解：由题设，，定义域为，

则

当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.

(2)解：因为，，所以，，

设直线分别与函数，的图象相切于点，

则，即

由，得

即，即

由，得，代入上式，得

即，则

设

当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，，

则在上仅有一个零点.

因为，则在上仅有一个零点.

所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.