2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知，i为虚数单位，若，则（       ）

A． B．1 C． D．3

【答案】C

【分析】先化简，再根据复数相等的等价条件得解.

【详解】解：由，得，所以.

故选：C.

2．已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（       ）

A．{x|0≤x<1} B．{x|－1<x≤2}

C．{x|1<x≤2} D．{x|0<x<1}

【答案】B

【分析】由集合并集的定义可得选项.

【详解】解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，

故选：B.

3．若复数（i是虛数单位）是纯虚数，则实数（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算化简，令其实部为0，虚部不等于0，求得答案.

【详解】复数,

由于是纯虚数，故 ，则 ，

故选：A

4．在极坐标系中，表示的曲线是（       ）

A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆

【答案】B

【分析】，代入即可得解.

【详解】由，可得，

又因为：，

化为普通方程为，表示抛物线．

故选：B.

【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转化，考查了抛物线的标准方程，属于基础题.

5．下列说法错误的是（       ）

A．当相关系数时，表明两个变量正相关

B．用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强

C．所有的样本点必然都落在回归直线上

D．回归直线过样本点的中心

【答案】C

【分析】根据相关系数、相关系数的概念以及回归直线方程的特点进行分析和判断.

【详解】由相关系数的意义知：当相关系数时，表明变量x和y正相关，故A正确；

用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，接近于1，相关性越强，故B正确；

所有的样本点都可能落在回归直线上，但也可能一个都不落在回归直线上，所以C不正确；

回归直线过样本点的中心，故D正确.

故选：C.

6．已知点M的极坐标是，则与点M关于直线对称的点的极坐标是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】写出点M关于直线对称的点的坐标，即可选出答案.

【详解】因为关于直线对称的角为，

即M的极坐标于直线对称的点的极坐标是，，

所以当时，有，

故选：B.

7．函数的大致图像为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】使用排除法，结合函数的奇偶性以及代特殊值，即可得到结果.

【详解】解：由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，

为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D；

，排除B，

故选: A.

8．已知，且，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．9

【答案】C

【分析】将指数形式转化为对数形式，代入到题设条件中，即可求得参数值.

【详解】由题知，，，

则，

则

故选：C

9．若圆C的参数方程为：（为参数），直线l的直角坐标方程为：．则圆C与直线l的位置关系是（       ）

A．相切 B．相离

C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心

【答案】D

【分析】把圆C的参数方程化为直角坐标方程，判断出且l不过圆心，继而判断出圆C与直线l的位置关系.

【详解】解：圆C的参数方程为：（为参数），化为直角坐标方程为：，圆心为C，半径为，又直线l的直角坐标方程为：，所以圆心C到直线l距离为，所以圆C与直线l相交，圆心C不在直线 l上，所以圆C与直线l的位置关系是：相交但直线不过圆心.

故选：D.

10．已知命题p：函数（且）的图像恒过点；命题q：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称．则下列命题为真命题的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先由函数过定点判断出p为假命题，再结合偶函数以及图像的变换判断出q为真命题，

再依次判断4个选项即可.

【详解】由函数恒过点知命题p为假命题，为真命题；

又由函数为偶函数可得的图像关于y轴对称，向右平移1个单位后，

得到函数的图像关于直线对称，故命题q为真命题，为假命题.

所以、、为假命题，为真命题.

故选：B.

11．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列错误说法的个数是（       ）

①复数z的模为；             

②复数z的共轭复数为；

③复数z的虛部为；       

④复数z在复平面内对应的点在第一象限．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据复数单位i的性质以及复数的除法运算求得，计算复数的模，判断①；写出复数的共轭复数，判断②；根据虚部的概念判断③；根据复数的几何意义判断④，可得答案.

【详解】复数满足，整理得,

对于：由于，故，故错误；

对于：由于，故，故错误；

对于：复数的虚部为，故错误；

对于：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故正确,

因此说法错误的个数为3个，

故选：．

12．若定义在上的单调增函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由知函数关于点中心对称，由对任意的，，是单调增函数，利用二次函数的对称轴判断即可．

【详解】解：因为，可知函数关于点中心对称，

因为对任意的，是单调增函数，且时，．

二次函数开口向上，对称轴为，

所以，即，在时是单调递增的，根据对称性可知，函数在上也是单调递增的，又由，知在上是单调递增的.

所以即的取值范围是．

故选：A．

二、填空题

13．函数的定义域是__________．

【答案】

【分析】根据函数的表达式可得，解不等式即可得结果.

【详解】要使函数有意义，需满足，解得，

即函数的定义域为，

故答案为：.

14．已知函数是定义在R上的奇函数，且时，，则实数__________．

【答案】1

【分析】根据计算即可，本题并没有要求计算的解析式，求出即可

【详解】因为函数是定义在上的奇函数,所以

又时,,所以,即

故答案为:1

15．已知函数是幂函数，则函数（且）的图像所过定点P的坐标是__________．

【答案】

【分析】根据幂函数的定义求出参数，再根据对数函数的性质即可得解.

【详解】解：因为函数是幂函数，

所以，解得，

则（且），

令，得，

所以函数的图像所过定点P的坐标是.

故答案为：.

16．已知函数对任意，都有，且当时，，则函数的零点个数为__________．

【答案】6

【分析】先求函数的周期性，再根据周期性画出函数的图象以及的图象，运用数形结合的办法可求解.

【详解】∵，

∴函数是周期为2的周期函数．

令，则，

由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．

当时，，

在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），

结合图象可得两函数的图象有6个交点，

∴函数的零点个数为6.

故答案为：6.

三、解答题

17．已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设，若曲线C与直线l交于A、B两点，求的值．

【答案】(1)

(2)11

【分析】（1）直接利用转换关系，根据，即可得解；

（2）易得点在直线l上，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，了再利用一元二次方程根和系数关系的应用即可求出答案.

【详解】(1)解：曲线C的极坐标方程为，即，

根据，

所以曲线C的直角坐标方程为；

(2)解：点在直线l上，

将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线中，

得到，

故（和为A、B对应的参数），

故．

18．已知集合．

(1)若，求；

(2)若，设命题，命题．已知p是q的充分不必要条件，求实数a的取值围．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由一元二次不等式可得，结合补集、交集的概念即可得解；

（2）由一元二次不等式可得，转化条件为，即可得解.

【详解】(1)解：当时，，则，

又，所以；

(2)解：当时，，

因为命题是命题的充分不必要条件，则，

所以且等号不能同时成立，解得，

所以实数的取值范围为.

19．某县为了营造“浪费可耻､节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，县政府在全县随机抽取了100名市民进行调查，其中男士比女士少10人，表示政策无效的20人中有5人是女士.

（1）根据上述数据，完成下面列联表；

（2）判断是否有99.5%的把握认为“政策是否有效与性别有关”.

参考公式：()

【答案】（1）列联表答案见解析；（2）有99.5%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.

【分析】（1）根据“男士比女士少人”可确定出男士、女士人数，再结合政策无效的女士人数可知政策无效的男士人数，由此列联表可填写完整；

（2）根据（1）中列联表数据计算出的值，将计算出的的值与比较大小，由此作出判断.

【详解】解：（1）由题意设男士人数为，则女士人数为，

又，解，即男士有45人，女士有55人.

由此可填写出列联表如下：

（2）由表中数据，计算，

所以有99.5%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.

20．已知函数．

(1)用函数单调性的定义证明：在R上是增函数；

(2)若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)在R上任取，且，作差判断的大小即可判断f(x)的单调性；

(2)在区间上存在零点在上有解，求函数在[0，2]上的单调性和值域即可求m范围.

【详解】(1)在R上任取，且，

则，

，，

，，

，在R上是增函数；

(2)在区间上存在零点，

在上有解，

由(1)知函数在上为减函数，

当时，函数取得最大值为，

当时，函数取得最小值为，

实数m的取值范围为．

21．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．

(1)求恰好比赛局，比赛结束的概率；

(2)求甲校以获胜的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】(1)解：恰好比赛局，比赛结束的情况有：

甲校获胜，概率为，

乙校获胜，概率为，

恰好比赛局，比赛结束的概率．

(2)解：甲校以获胜的情况有：

①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，

概率为：；

②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，

概率为，

甲校以获胜的概率．

22．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

（1）求函数的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）3千克，最大利润是390元.

【解析】（1）根据题意可以直接得到利润表达式；

（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.

【详解】（1）由已知，

∴，

∴.

（2）由（1）得当时，，

∴当时，；

当时，

，

当且仅当时，即时等号成立，

∵，∴当时，，

即当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.