2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知，i为虚数单位，若，则（       ）

A． B．1 C． D．3

【答案】C

【分析】先化简，再根据复数相等的等价条件得解.

【详解】解：由，得，所以.

故选：C.

2．已知函数的导函数为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定函数，求出，再赋值求解作答.

【详解】因，则，当时，，解得，

所以.

故选：D

3．4名同学分别报名参加足球队､篮球队､乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（       ）

A．81种 B．64种 C．24种 D．12种

【答案】A

【分析】根据分步乘法计算原理计算出正确答案.

【详解】每个人都有种选择方法，所以不同的报名方法有种.

故选：A

4．下列说法错误的是（       ）

A．当相关系数时，表明两个变量正相关

B．用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强

C．所有的样本点必然都落在回归直线上

D．回归直线过样本点的中心

【答案】C

【分析】根据相关系数、相关系数的概念以及回归直线方程的特点进行分析和判断.

【详解】由相关系数的意义知：当相关系数时，表明变量x和y正相关，故A正确；

用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，接近于1，相关性越强，故B正确；

所有的样本点都可能落在回归直线上，但也可能一个都不落在回归直线上，所以C不正确；

回归直线过样本点的中心，故D正确.

故选：C.

5．下列求导运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的求导法则，可判断答案.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，D正确，

故选：D.

6．已知随机变量，若，则（       ）

A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7

【答案】A

【解析】由随机变量，易得，然后结合，利用正态分布的对称性求解.

【详解】∵随机变量，

，

又，

，

根据正态分布的对称性可得，

故选：A．

7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内的极大值点有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用极值点的定义求解.

【详解】由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：

第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，

第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，

所以函数在开区间内的极大值点有2个，

故选：B

8．在二项式的展开式中，记二项式系数和为A，各项系数和为B，则（       ）

A．275 B．33 C．31 D．

【答案】C

【分析】由二项式写出二项式通项，及，，利用赋值法求、，进而求即可.

【详解】由题意知：二项式通项为，而，，

∴当时，，

当时，，

∴.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据二项式系数和A和各项系数和B的特点，选择适当的x、y值，求、.

9．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ）

A．720种 B．420种 C．120种 D．15种

【答案】D

【分析】先每人分一本书，再将剩下的7本书分给3人，每人至少一本，由“隔板法”可得答案.

【详解】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，

再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，

故选: D

10．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（       ）

A．复数z的模为2 B．复数z的共轭复数为

C．复数z的虛部为 D．复数z在复平面内对应的点在第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算以及i的性质，化简得到，由此可判断正确答案.

【详解】由,可得，

故 ，故A错误；

，故B错误；

复数z的虛部为，故C错误；

数z在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确，

故选：D

11．若函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比例函数的性质进行求解即可.

【详解】，因为函数在上单调递增，

所以当时，恒成立，

因为，所以，于是有，

设，因为函数在是单调递增函数，所以，

因此当时，恒成立，只需，

故选：D

12．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三个等式特征，构造函数，利用导数进行求解判断即可.

【详解】构造函数，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

，

，

，

因为，所以，即，

而a，b，，所以，

故选：C

【点睛】关键点睛：根据等式特征构造函数是解题的关键.

二、填空题

13．设随机变量，若随机变量X的数学期望，则__________.

【答案】

【分析】根据随机变量和求服从二项分布的变量的期望公式，代入公式后得到.

【详解】解：由题意得：

随机变量

随机变量X的数学期望，解得

故答案为：

14．从标有的6张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张，“在第一次抽到标号是4的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为_______

【答案】

【分析】本题考查的是条件概率的求法，可以用缩小基本事件空间的方法处理.

【详解】根据题意，需要求的是第一次抽到标号是的条件下第二次抽到的标号是奇数的条件概率.第一次抽到，卡片中还有三个奇数，两个偶数，因此在第一次抽到标号是的条件下，第二次抽到的标号是奇数的概率为

故答案为：

15．风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.时值建党100周年，为深入开展党史学习教育，某街道党支部决定将4名党员安排到3个社区进行专题宣讲，且每名党员只去1个社区，每个社区至少安排1名党员，则不同的安排方法种数为__________.

【答案】36

【分析】根据题意，分2步进行分析：先将党员分成3组，再将三组党员安排到三个社区，由分步计数原理可以计算答案.

【详解】解：根据题意得：

第一步：先将4名党员分成三组，一共有种分法；第二步：然后将分好的3组安排到3个社区，有种分法，根据分步计数法可知不同的安排方法数共有种.

故答案为：

16．设，e为自然对数的底数，若函数在内有且仅有一个零点，则__________.

【答案】

【分析】由得，．令，，利用函数的导数，求解函数的最小值，然后求解的值即可．

【详解】解：由得，．因为，所以．

因此．令，，

则．由得．

当时，；当时，，

所以．

因此．

故答案为：．

三、解答题

17．设为虚数单位，，复数，.

(1)若是实数，求的值；

(2)若是纯虚数，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，利用是实数可求得实数的值；

（2）利用复数的除法化简复数，利用复数为纯虚数可求得实数的值.

【详解】(1)解：，

因为是实数，则，解得.

(2)解：为纯虚数，

则，解得.

18．某学校为普及2022年北京冬奥会知识，现从4名男同学和2名女同学中选出3名同学担任宣讲员．

（Ⅰ）共有多少种不同选法？（结果用数字作答）

（Ⅱ）如果至少有1名女同学参加，且这3名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，那么共有多少种不同选法？（结果用数字作答）

【答案】（Ⅰ）20（Ⅱ）96

【分析】（Ⅰ）由组合数公式计算可得答案；

（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①从6名同学抽出的3名同学，要求其中至少有1名女同学，②将这3名同2分别在周五、周六、周日进行宣讲，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】（Ⅰ）所有不同选法种数，就是从6名同学中抽出3名的组合数，

所以选法种数为

（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：

①从6名同学抽出的3名同学，要求其中至少有1名女同学，包括1名女同学2名男同学和2名女同学1名男同学两种情况，

所以选法种数为

②将这3名同学分别在周五、周六、周日进行宣讲，有种情况，

则有种选法.

19．某县为了营造“浪费可耻､节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，县政府在全县随机抽取了100名市民进行调查，其中男士比女士少10人，表示政策无效的20人中有5人是女士.

（1）根据上述数据，完成下面列联表；

（2）判断是否有99.5%的把握认为“政策是否有效与性别有关”.

参考公式：()

【答案】（1）列联表答案见解析；（2）有99.5%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.

【分析】（1）根据“男士比女士少人”可确定出男士、女士人数，再结合政策无效的女士人数可知政策无效的男士人数，由此列联表可填写完整；

（2）根据（1）中列联表数据计算出的值，将计算出的的值与比较大小，由此作出判断.

【详解】解：（1）由题意设男士人数为，则女士人数为，

又，解，即男士有45人，女士有55人.

由此可填写出列联表如下：

（2）由表中数据，计算，

所以有99.5%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.

20．已知函数,在点处的切线方程为.

(1)求函数的解析式;

(2)若方程有三个根,求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得，的方程组，即可得到所求解析式；

（2）求得的导数和单调区间、极值，由题意可得介于两极值之间．

【详解】解：（1）函数的导数为，

根据在点处的切线方程为，

得，，即，，

解得，，

则；

（2）令，

解得或1，

令，得或；

令，得；

的单调增区间是，，单调减区间是，

有两个极值为，，图象如图所示：

方程有三个根，即为和有三个交点，

．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．

21．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局.

(1)求甲校以获胜的概率；

(2)记比赛结束时已比赛的局数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）甲校以3：1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，由此能求出甲校以3：1获胜的概率．

（2）记比赛结束时比赛的局数为ξ，则ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布．

【详解】(1)甲校以3：1获胜的情况有：

①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，

概率为：，

②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，

概率为：，

甲校以3：1获胜的概率为.

(2)的可能取值为3，4，5，

，

，

，

的分布列为：

数学期望.

22．已知函数.

（1）若，求证：；

（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1)当时讨论其单调性得出

在上的最小值为，即证.

(2)对求导，对的取值范围分类讨论，结合对应的

单调性即可求出的取值范围.

【详解】解：（1）当时，，所以；

当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增；

所以是在区间上的最小值，所以.

（2）依题意，.

若，则当时，，在区间上单调递增，不合题意，舍去；

若，令，则.

因为时，，所以在上单调递增.

因为，而，

所以存在，使得.

此时函数在上单调递减，在上单调递增，符合条件；

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】(1)利用导数解决不含参数函数的单调性的步骤：

①确定函数的定义域；

②求；

③在定义域内解不等式，得单调递增区间；

④在定义域内解不等式，得单调递增区间.

(2)利用导数解决已知函数的单调性求参数问题的一般方法：

①利用集合间的包含关系处理：在上单调，

则区间是相应单调区间的子集.

②为增函数的充要条件是对任意的都有且在内的任一

非空子区间上，不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

③函数在某一个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.