2022年安徽省合肥市庐江县中考数学质检试卷（含解析）

2022年安徽省合肥市庐江县中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 到年月日，我国个省自治区、直辖市和新疆生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约为亿剂次，请将亿用科学记数法表示

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算结果为的是

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集在数轴上表示出来应为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 小明和他的爸爸妈妈共人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 已知，是反比例函数图象上的两个点，当时，，那么一次函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”如图，体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形与均为正方形，若，，且正方形的面积为正方形的面积的一半，则：的值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图所示，下列结论不正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 计算：______．
12. 分解因式：______．
13. 如图，已知四边形是的内接四边形，点在的延长线上，且是等边三角形，的半径为，则劣弧的长为______．
     

14. 如图，是的斜边的中点，将沿折叠，点落到点处，连接，于点．
    ______；
    若，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 计算：．
16. 小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买支百合和支康乃馨共需花费元，支康乃馨的价格比支百合的价格多元．请你算算买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
17. 观察以下等式：
    第个等式：，
    第个等式：，
    第个等式：，
    第个等式：，
    按照以上规律，解决下列问题：
    写出第个等式：______；
    写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．
18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点、都在格点上两条网格线的交点叫格点．
    将线段向上平移两个单位长度，点的对应点为点，点的对应点为点，请画出平移后的线段；
    将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为点，请画出旋转后的线段；
    连接、，求的面积．
19. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图，水平操作台为，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为点，是转动点，且，与始终在同一平面内．
    转动连杆，手臂，使，，如图，求手臂端点离操作台的高度的长精确到，参考数据：，．
    物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由．

20. 如图，是的切线，为切点，弦，连接并延长，与交于点，与交于点，连接并延长，与交于点，连接．
    求证：；
    若，，求线段的长．
     

21. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表：

场外有数万名观众参与评分，记观众所评的分数为将评分按照，，分组，分组，绘成频率分布直方图如图：

现场专家评委对该选手评分的中位数为______；众数为______；
求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于的概率；
考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分；
方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．
直接写出与的大小关系；
请直接写出与的大小关系．

22. 已知抛物线，经过点，顶点为．
    当时，求该抛物线的顶点的坐标；
    点的坐标为，若，求该抛物线的解析式，
    若时，其对应的的整数值恰有两个，求的取值范围．
23. 如图，在矩形中，为对角线的中点，交于点，为边上一点，连接，，，，．
    求证：四边形为菱形；
    求证：；
    如图，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：这个组合体的三视图如下：

故选：．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
 

4.【答案】

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．去括号，移项，合并同类项，系数化为 求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解： ，
，
，
，
，
在数轴上表示为： ，
故选 A ．   

6.【答案】

【解析】解：如图，

，，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
【解答】
解：设小明为 ，爸爸为 ，妈妈为 ，
则所有的可能性是： ， ， ， ， ， ，共 种，
爸爸妈妈相邻的情况有 种，
他的爸爸妈妈相邻的概率是： ，
故选： ．   

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定 的符号．
首先根据 时， ，确定反比例函数 中 的符号，然后再确定一次函数 的图象所在象限．
【解答】
解： 当 时， ，
，
，
一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
不经过第二象限，
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】解：，，
正方形的面积为，正方形的面积为，
正方形的面积为正方形的面积的一半，
，
，
，
设，
，
，
解得，，
，
，
：的值为．
故选：．
根据题意可得正方形的面积为，正方形的面积为，然后列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程，解决本题的关键是掌握勾股定理．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作，垂足为，如下图所示，

当点在点处时，即当时，，
当点到达边高的位置时，，此时最小，即，
当时，点对应图末端时，即，则，
，，

，
，
综上所述，选项A、、不合题意，选项C符合题意．
故选：．
分析当点在点处、点到达边高的位置、到达点处，点的位置对应个图中的位置关系，即可求解．
本题考查的是动点的函数图象，此类题目的核心是在图形和图象上，找到动点位置在两个图上的对应位置关系，这类题目有一定的难度．
 

11.【答案】．

【解析】解：原式．
故答案为：．
先计算根号内的数，再利用立方根的概念解答即可．
此题考查的是立方根的概念，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．
 

12.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，、，

四边形是的内接四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
劣弧的长为．
故答案为：．
连接、，根据圆内接四边形的对角互补及邻补角的定义得出，进而得出的的度数，再根据弧长公式即可得解．
此题考查了圆内接四边形及弧长的计算，证明是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的斜边的中点，
，
将沿折叠，点落到点处，
，
，
、、、在以为圆心，为半径的上，如图：

，
，
，
，
；
故答案为：，
如图：

，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
故答案为：．
根据是的斜边的中点，将沿折叠，点落到点处，可得，、、、在以为圆心，为半径的上，即可得，从而；
证明∽，得，证明∽，即可得．
本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用相似三角形的判断和性质定理．
 

15.【答案】解：原式

．

【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简即可得出答案．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握是解题的关键．
 

16.【答案】解：设买一支康乃馨需要元，买一支百合需要元，
依题意得：，
解得：．
答：买一支康乃馨需要元，买一支百合需要元．

【解析】设买一支康乃馨需要元，买一支百合需要元，根据“买支百合和支康乃馨共需花费元，支康乃馨的价格比支百合的价格多元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：第个等式：，，
第个等式：，即，
第个等式：，即，
第个等式：，即，
由上规律可知，第个等式：，即，
故答案为：；
第个等式为：．
第个等式：，，
第个等式：，即，
第个等式：，即，
第个等式：，即，
第个等式：，即，

第个等式为：．
证明：，
．
由所给的等式不难求出第个等式；
分析所给的等式的形式，即可得出第个等式，再把等式左边进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

18.【答案】解：线段如图所示；

线段如图所示；
．

【解析】根据网格结构找出点、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构找出点的位置，然后连接即可；
利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图：

，
，
在中，，
，
．
当，，共线时，如图：

，，
在中，，
．
手臂端点能碰到点．

【解析】过点作于点，过点作于点，在中，，再根据可得答案；
当，，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断．
本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
 

20.【答案】证明：延长交于点，
是的切线，
，
，
，
为的直径，
，
；
，，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，，，
四边形为矩形，
，
．

【解析】延长交于点，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理证明结论；
根据垂径定理求出、，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是切线性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

21.【答案】解：；；
，解得；
设事件表示“某场外观众评分不小于”，则；
；
．

【解析】解：现场专家评委对该选手评分的中位数为；众数为，
故答案为：，；
见答案；
，
，
故；
，而观众人数远远大于专家人数，
把专家与观众合在一起的平均数，就越接近于，此时专家评分的权重很小，
而是专家评分的平均数与观众评分的平均数，再求出平均数，此时专家评分的平均数所占的权重为，相应的平均分就比原来有较大的提高，
．
由现场专家评分情况表可得现场专家评委对该选手评分的中位数和众数；
根据统计图中的信息列式计算即可；
根据平均数的计算公式求得，；然后比较即可；
根据专家的评分平均数，观众的评分平均数，以及把专家和观众和在一起的评分平均数之间的变化关系得出结论．
本题考查了利用频率分布直方图，平均数、中位数、众数的定义，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线为常数，经过点，则，
当时，抛物线的表达式为，
故抛物线的顶点的坐标为；

，
故点，
由得：，
即，
解得或，
故抛物线的表达式为或；

，
顶点，对称轴为，
，
抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，
当时，，
若时，其对应的的整数值恰有两个，
当时，，即，
解得，
的取值范围为．

【解析】由，即可求解；
由得：，则，即可求解；
可得抛物线对称轴为，由得抛物线开口向上，则当时，随的增大而增大，求出当时，，由题意得当时，，即，解不等式即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
为对角线的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，，
，
四边形为菱形；
证明：延长、交于，如图所示：
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，∽，
，
由得：四边形为菱形，
，
；
解：由得：，且，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
，
由得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
，，
∽，
，
设，
则，，
．

【解析】证≌，得，，再由线段垂直平分线的性质得，，则，即可得出结论；
延长、交于，证，再证∽，得，然后由菱形的性质得，即可得出结论；
证∽，得，再证∽，得，设，则，，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．