2022年广西贵港市桂平市中考数学二模试卷（含解析）

2022年广西贵港市桂平市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 在下列四个实数中，最小的实数是

A.  B.  C.  D.

2. 将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
   
    

A. 长方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥

4. 下列因式分解错误的是

A.  B.
C.  D.

5. 平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是，则

A.  B.  C.  D.

6. 将一条抛物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到抛物线，那么平移前抛物线的解析式是

A.  B.
C.  D.

7. 由，，三个数字随机生成点的坐标，若每个点出现的可能性相等，则从中任意取一点，所取的点在函数图象上的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题中，是真命题的是

A. 的平方根是
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 是实数，点一定在第一象限
D. 长度为、和的三条线段首尾相接可以组成三角形

9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是

A.  B.
C. 且 D.

10. 如图，在中，以直角边为直径的交线段于点，点是弧的中点，交于点，的半径是，则的长度为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点的距离之和的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间不包括这两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线有以下结论：
    ；
    若点，点是函数图象上的两点，则；
    ；
    不可能是等腰直角三角形．其中正确的结论个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
14. 如图，，，平分，则的度数是______．
    
     

15. 已知一组数据共有个数，它们的方差是，众数、中位数和平均数都是，最大的数是，则最小的数是______．
16. 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，另一端处的俯角为，点与、在同一直线上，已知楼高为米，则荷塘宽为______米．结果保留根号

17. 如图，菱形中的边长为，，以点为圆心的弧分别与、相切于点、，与、分别相交于点、，用扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高是______结果保留根号

18. 已知有理数，我们把称为的差倒数，如的差倒数为；的差倒数为现知道，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推．则______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：；
    解不等式组：，并写出它的所有整数解．
20. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：
    以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出；
    以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为：．

21. 如图所示，直线与双曲线交于，两点，直线与、坐标轴分别交于，两点，连接，若，，．
    求直线与双曲线的函数表达式；
    连接，在轴上有点，且，试求的值．
    
     

22. 为了让更多的居民享受免费的体育健身服务，重庆市将陆续建成多个社区健身点，某社区为了了解健身点的使用情况，现随机调查了部分社区居民，将调查结果分成四类，：每天健身；：经常健身；：偶尔健身；：从不健身；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图，解答下列问题：
    
    本次调查中，一共调查了______名社区居民，其中______；请将折线统计图补充完整；
    为了吸引更多社区居民参加健身，健身点准备举办一次健身讲座培训，为此，想从被调查的类和类居民中分别选取一位在讲座上进行交流，请用列表法或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出所选两位居民恰好是一位男性和一位女性的概率．
23. 某商店想购进、两种商品，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价多元，且用元购进种商品的数量是用元购进种商品数量的倍．
    求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
    商店决定购进、两种商品共件，种商品加价元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于元，求种商品至少购进多少件？
24. 如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于，交的延长线于，，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
25. 如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，，点与点关于轴对称，点是轴上一定点，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
    求抛物线的表达式；
    若四边形是平行四边形，试求此时的值；
    点在线段上运动的过程中，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 如图，已知是等腰直角三角形，，，连接，将绕点逆时针旋转至位置，使得．
    旋转角______度．
    连接，交于点若平分，求的长；
    如图，取的中点，连接试猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：正数大于，负数小于，正数大于一切负数，
四个实数中，最小的实数是，
故选：．
利用实数大小比较的法则解答即可．
本题主要考查了实数大小的比较，正确利用实数大小比较的法则是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个三角形，
则可得出该几何体是三棱柱．
故选：．
该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解．
对选项逐个分析即可求解．
【解答】
解： 、 ，正确；
B 、 ，正确；
C 、 不能因式分解，错误；
D 、 ，正确；
故选： ．   

5.【答案】

【解析】解：点关于原点的对称点是，
，，
，
故选：．
首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，，再代入即可得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 

6.【答案】

【解析】解：一条抛物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到抛物线，
平移前抛物线的解析式是：．
故选：．
直接利用二次函数平移规律进而将，先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由，，三个数字随机生成点的坐标共有种情况：、，、、、、、、，
其中在函数图象上的点有两种：、，
这个点在函数图象上的概率．
故选：．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
符合条件的情况数目；
全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

8.【答案】

【解析】解：、的平方根是，故原命题为假命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
C、因为，所以点一定在第一象限，为真命题，符合题意；
D、长度为、和的三条线段首尾相接不可以组成三角形，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：．
根据平方根的定义、平行线的性质、三角形三边关系、平面直角坐标系上点的特点等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平方根的定义、平行线的性质、三角形三边关系、平面直角坐标系上点的特点等知识是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，且，
解得，
故选：．
由方程无实数根得出，且，解之可得答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

10.【答案】

【解析】解：，，
，
为弧的中点，过圆心，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据垂径定理求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再求出即可．
本题考查了含角直角三角形的性质，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据垂径定理求出是解此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．
在中，，，
，
即的最小值为．
故选：．
首先由，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：二次函数的对称轴为，
，
，
由图象可知，，
则，
点在与之间，
，
，
故正确；
点关于对称轴的对称点为，
，且在对称轴左侧，随的增大而增大，
，
故不正确；
点在抛物线图象上，
，
，
，
又，
，
故正确；
抛物线的顶点为，对称轴为，点的坐标为，
由抛物线的对称性可知，，，
为等腰三角形，
若为等腰直角三角形，
则点到轴的距离为，即．
则，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，，与点在与之间不包括两点矛盾，
不可能为等腰直角三角形，
故正确．
故选：．
根据对称轴为，可得，由图象可知，，则，又因为点在与之间，所以，进而可判断；根据抛物线的对称性即可判断；由于点在抛物线图象上，可得，从而可得，结合，可求出的取值范围，即可判断；由抛物线的对称性可知，为等腰三角形，若为等腰直角三角形，则点到轴的距离为，即，则，可解得，，的值，进而可求出二次函数的解析式，但当时，，与点在与之间不包括两点矛盾，故不可能为等腰直角三角形，即可判断．
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
由邻补角的定义可求得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

15.【答案】

【解析】解：个数的平均数是，
这个数的和为，
个数的中位数是，
中间的数是，
众数是，
至少有个，
，
由方差是得：前面的个数的为和，
最小的数是；
故答案为：
根据个数的平均数是，可知这个数的和为，根据个数的中位数是，得出中间的数是，根据众数是，得出至少有个，再根据个数的和减去个和个得出前面个数的和为，再根据方差得出前面的个数为和，即可得出结果．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数；熟练掌握方差、平均数、中位数、众数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由题意得：
，，
是的外角，
，
，
，
在中，米，
米，
米，
故答案为：．
根据题意可得，，然后利用三角形的外角可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：连接，

四边形是菱形，
，，
，
与相切于点，
，
，
设圆锥底面圆的半径为，
，
，
这个圆锥的高，
故答案为：．
连接，根据菱形的性质可得，，从而求出，再利用切线的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，再设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，求出，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，切线的性质，圆锥的计算，熟练掌握据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
则该数列以，，这三个数循环出现，
，

．
故答案为：．
先把前个数求出来，再分析各数之间存在的规律，即可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是写出前几个数，得到存在的规律．
 

19.【答案】解：


；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，．

【解析】先根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
 

【解析】根据网格结构找出点、、关于原点对称的点、、的位置，然后顺次连接即可；
利用位似的性质，找出点、、的位置，然后画出图形即可．
本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
 

21.【答案】解：过作与，
，
设，，
，
，
，，
，
直线与双曲线交于，两点，
，
，，
反比例函数式为，，
设一次函数的解析式为，
，解得，
一次函数的解析式为；

，
，
，
或．

【解析】过作与，根据已知条件和勾股定理得到，由直线与双曲线交于，两点，得到，解方程和方程组即可得到结论；
根据的面积等于的面积，列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，比较简单．正确求出函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：本次调查中，一共调查了名社区居民，其中；将折线统计图补充完整如图所示；




设类居民中两个男性分别为，，女性为，类居民中两个男性分别为，，女性为，
一男一女，
答：一位男性和一位女性的概率是．

根据题意即可得到结论；
设类居民中两个男性分别为，，女性为，类居民中两个男性分别为，，女性为，画出树状图，即可得到结论．
本题主要考查折线统计图和扇形统计图，从不同的统计图中获取对解题有用信息是关键．
 

23.【答案】解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：每件商品的进价为元，每件商品的进价为元；
设购进商品件，
由题意得：，
解得：，
答：种商品至少购进件．

【解析】设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据“用元购进种商品的数量是用元购进种商品数量的倍”列出方程，解方程即可；
设购进商品件，根据“种商品加价元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于元”列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的数理关系，列出方程或不等式．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
∽，
，
，
，
，
在中，，
，
或，
，，
设的半径为，
在中，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为．

【解析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质，以及对顶角相等可得，然后根据，可得，从而可求出，即可解答；
根据平行线的性质可得，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，先设，则，从而利用勾股定理求出的长，再证明∽，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再设的半径为，在中，利用勾股定理求出，最后证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
；
当时，，
，
点与点关于轴对称，，
．
设直线的解析式为，
把，的坐标代入得，
解得：，
直线的表达式为．
，，
，
轴，，
，，
，
四边形是平行四边形，，
，
即，
解得：或，
若四边形是平行四边形时，或；
存在．理由如下：
，，
，．
，
，
∽，∽两种情况：
当∽时，，于是有，
，
．
，
．
．
∽．
，
，则，
则，，
，
解得：或．
当时，点，，均与点重合，不能构成三角形，舍去．
当时，∽，点的坐标为；
当∽时，，此时点与点重合，
当时，∽，点的坐标为，
综上所述，存在点，点的坐标为或．

【解析】用待定系数法即可求解；
由，可得，，则四边形是平行四边形，由即可求解；
分∽，∽两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、三角形相似等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

26.【答案】

【解析】解：，，
，
因为是旋转角，
故答案为：；
如图，

连接，
，，
，
，
，
即：，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
平分，
，
∽，
，
，
；
，理由如下：
如图，

延长交的延长线于，
由知：，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，，
，
即：，
．
，从而求得结果；
连接，可证得，证明∽，进而求得结果；
延长交的延长线于，可证得是等腰直角三角形，进而得出是的中位线，进一步得出结论．
本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．