2021-2022学年安徽省宿州市萧县城北中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析） (2)

2022年湖南省长沙市岳麓区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 实数是的

A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 以上都不正确

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. “多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕．”伟人毛泽东通过这首满江红和郭沬若同志告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒；努力工作，努力学习．一天时间为秒，用科学记数法表示这一数字是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 不等式组的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

7. 某射击队拟选一名队员参加比赛，在五轮预选赛中，甲，乙，丙，丁四名队员射击成绩的平均数和方差如表所示．根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 如图，在中，为直径，为弦，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚下到山顶需分钟，则山的高度为

A.  B.  C.  D.

10. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则下列大小关系正确的是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为______．
13. 某中学进行“优秀班级”评比，将品徳操行，纪律，卫生评比三项按：：的比例确定班级成绩，若九班这三项的成绩分别为分，分，分，则九班的最终成绩是______分
14. 如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形的边数是______．
15. 一种药品原价每盒元，两次降价后每盒元．设两次降价的百分率都为，可列方程______．
16. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为若，则对角线的长为______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：．

四．解答题（本题共8小题，共64分）

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 老师布置了一道尺规作图的作业：如图，已知，求作边上的高下面是小红同学的尺规作图过程：
    如图，延长线段；以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点；连接，交于点则线段就是边上的高．
    根据小红同学的尺规作图过程和图形，请将下面的证明过程补充完整：
    由可得：______，
    由可得：______，
    是的垂直平分线______填推理的依据
    是边上的高．
20. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用，，，表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
    
    请根据统计图将下面的信息补充完整：
    参加问卷调查的学生共有______人；
    扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数为______；
    若该校共有学生名，请你估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有多少人？
    现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
21. 如图，在中，为边上一点，为的中点，过点作，交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的长．
22. 面对世界百年未有之大变局和中华民族伟大复兴战略全局，党中央提出构建“国内国际双循环”新发展格局具有重大战略．某物流公司承接、两种出口货物的运输业务，已知月份货物运费单价为元吨，货物运费单价为元吨，共收取运费元；月份由于油价下调，运费单价下降为：货物元吨，货物元吨；该物流公司月承接的两种货物的数量与月份相同，月份共收取运费元．
    该物流公司月份运输两种货物各多少吨？
    该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且货物的数量不大于货物的倍，在运费单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到多少运费？
23. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点在线段上，且．
    求证：；
    若，分别是，的中点，
    求证：是等腰三角形；
    当时，时，求平行四边形的面积．

24. 若将函数的图象沿直线对折，与函数的图象重合，则称函数与互为“轴对称函数”，直线叫作函数与函数的“轴直线”如函数关于直线轴的轴对称函数是．
    若轴直线为轴，求函数的关于轴的轴对称函数的解析式；
    若函数：，轴直线为轴，此时的轴对称函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，求的值；
    若函数：，轴直线为，函数的轴对称函数是，当时，的图象恒在的图象的下方，求的取值范围．
25. 在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，为上的一动点，过点作的切线交于点，交于点，交的延长线于点．
    当时，求证：点为线段的中点；
    设长为，长为，求关于的函数关系式；
    将沿直线翻折后得，当时，与是否相似？如果相似，请加以证明；如果不相似，写出理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：和互为相反数，
故选：．
根据绝对值，相反数，倒数的定义判断即可．
本题考查了实数的性质，绝对值，相反数，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：：，故A不符合题意；
：，故B不符合题意；
：，故C符合题意；
：，故D不符合题意；
故选C．
根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算规则，对各选项进行判断即可．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算．解题的关键在于正确的计算．
 

3.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】

【解析】解：数字用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
，
是的外角，
．
故选：．
由平行线的性质可求得，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
丙、丁的成绩更好；
，
甲、丙的成绩更稳定；
丙的成绩好又发挥稳定；
故选：．
由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名队员的平均数与方差，进而可得答案．
本题考查了运用平均数与方差作决策．解题的关键在于熟练掌握平均数与方差的意义．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
为的直径，
，
．
故选：．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，再根据圆周角的推论推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．可得，由代入计算即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：米．
，

．
故选：．
先计算的长，再利用直角三角形的边角间关系求出．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：将代入得，
解得，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，，
，
，
，
故选：．
将代入，求得反比例函数解析式，进而根据反比例函数的性质对函数值的大小进行比较即可．
本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
首先提取公因式 ，进而利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
【解答】
解： ．
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：设半径为，由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据扇形的面积公式，可得答案．
本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：九班的最终成绩是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
 

14.【答案】

【解析】解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
该正多边形的边数是．
故答案为：．
根据正多边形的一个内角是，则知该正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角之和为，即可求出正多边形的边数．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为，此题难度不大．
 

15.【答案】

【解析】解：设两次降价的百分率都为，根据题意，得：
．
故答案为：．
由两次降价的百分率都为结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
连接交于点，先证，再证≌，得，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：


．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式，
，
．
，
原式．

【解析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入即可求出结论．
本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简是解题的关键．
 

19.【答案】    与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

【解析】解：由可得：，
由可得：，
是的垂直平分线与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
即是边上的高线．
故答案为：，，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
根据线段垂直平分线的性质即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 

20.【答案】 

【解析】解：参加问卷调查的学生人数是人，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：，；
最喜欢课程人数所占百分比为，
最喜欢课程的人数所占百分比为，
估计全体名学生中最喜欢课程的人数约为：人，
答：估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有人；
列表如下：

共有种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为，
恰好甲和丁同学被选到的概率为．
由最喜欢课程人数及其所占百分比可得总人数；
用乘以最喜欢课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数；
求出最喜欢课程人数所占百分比后，再乘以总人数即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率，也考查了统计图．
 

21.【答案】证明：，
，，

≌，
；
解：≌，
，
，
．
．

【解析】证明≌，可得；
求出和长即可得出结论．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨，
依题意得：，
解得：．
答：该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨；
设该物流公司预计月份运输货物吨，则运输货物吨，
依题意得：，
解得：．
设该物流公司月份共收到元运费，
则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：该物流公司月份最多将收到元运费．

【解析】设该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨，根据“该物流公司月份共收取运费元，月份共收取运费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该物流公司预计月份运输货物吨，则运输货物吨，根据货物的数量不大于货物的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该物流公司月份共收到元运费，根据总运费每吨的运费运输货物的重量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；利用一次函数的性质，解决最值问题．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
．
证明：是等腰三角形，是中点，
，
，
为中点，
，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形．
解：由题意知，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
∽，
是等腰三角形，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，即，
解得或不合题意，舍去，
，，
，
平行四边形的面积为．

【解析】由平行四边形的性质可知，，，，则，，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证；
由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；证明四边形是平行四边形，则，证明∽，则是等腰三角形，，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，求出满足要求的值，进而可得，的值，根据计算求解即可得平行四边形的面积．
本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

24.【答案】解：设函数的轴对称函数上任意一点，则该点关于轴的对称点为，
点在的上，
函数的关于轴的轴对称函数的解析式为；
设函数上任意一点，则该点关于轴的对称点为，
点在的轴对称函数上，
函数的解析式为，
令，整理得，
函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，
，
；
设函数上任意一点，则该点关于的对称点为，
点在的轴对称函数上，
函数的解析式为，
，
直线恒过定点，
令，整理得，
，
或舍，
时，函数的图象恒在的图象的下方．

【解析】在函数轴对称函数上任意一点则该点关于轴的对称点，代入函数解析式即可求解；
由先求出的解析式为，再联立，根据题意即可；
设函数上任意一点，则该点关于的对称点为，将点代入即可求出的解析式为，联立，求出时的值，再由题意可得的取值范围．
本题考查函数的综合应用，理解轴对称函数的概念，利用点的对称关系求函数解析式是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，，，

由正方形的性质可知，，，，
，
，，
，是等腰直角三角形，
是的切线，
，，
，
、、三点共线，
，即，
为线段的中点．
解：如图，连接，，，

、、是的切线，
，
设，则，，
，
，
即，
解得，
，
，
又，
∽，
，即，
整理得，
关于的函数关系式为；
解：，
由可知，，即，
，
，
解得或，
当时，即，
为线段的中点，
如图，与交点记为，

由折叠的性质可知，≌，，垂直平分，是的中点，
是的中位线，
，
，，
∽；
当时，，，
如图，与交点记为，

由折叠的性质可知，≌，，垂直平分，
，，
，
，
，即，
解得，
，
，，
，
此时与不相似；
综上所述，当，时，与相似．

【解析】如图，由正方形的性质可知，，，，则，是等腰直角三角形，由切线的性质可求，、、三点共线，根据等腰三角的性质进行证明即可；
如图，连接，，，由、、是的切线，可知，，设，则，，根，求出，然后证明∽，则，即，求出与的函数关系式；
由题意可得，由可知，，即，整理求解或，分两种情况求解：当时，即，为线段的中点，如图，与交点记为，可说明是的中位线，由中位线的性质可知，，进而可证相似；当时，，，如图，与交点记为，说明，根据，即，求解，根据，可知与不相似；进而可得答案．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质定理，三角形内角和定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，函数等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．