2022长培九年级第三次模拟测试数学试卷及参考答案

数学答案

一、选择题

二、填空题

11、          12、 且　 

13、                14、   >      

15、     3              16、    -8     

三．解答题（共3小题）

17．计算：．

【解答】解：原式

．

18．先化简，再求值：其中．

【解答】解：

，

将代入上式，得

原式

．

19．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．

已知：和圆外一点．

求作：过点的的切线．

作法：①连接；

②以为直径作，交于点，；

③作直线，；

所以直线，为的切线．

根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．

为的直径，

　　　　　　（填推理的依据）．

，　　．

，为半径，

直线，为的切线．　　（填推理的依据）．

【解答】证明：为的直径，

（直径所对的圆周角为直角），

，．

，为半径，

直线，为的切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），

故答案为：；90；直径所对的圆周角为直角；；过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．

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20．(1)25,15

(2)36

(3)见解析

(4)400

【解析】

(1)观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，

故总人数有12÷20%=60人，

∴m=15÷60×100%=25%

n=9÷60×100%=15%；

故答案为：25,15

(2)

360°×（1-20%-25%-15%-30%）=36°；

故答案为：36；

(3)

选D的有60-12-15-9-6=18人，

故条形统计图补充为：

(4)

估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1600×25%=400人．

【点睛】

本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．

21．（1）证明见解析；（2）8

【解析】

【分析】

（1）连接，由切线的性质可证明，再结合 ，可证明，可证得；（2）证明Rt△ABC∽Rt△AOE，得出 ，设 的半径是r，则有，解得 ，则可得出答案．

【详解】

（1）证明：连结，

∵与边相切于点，为的半径，

∴，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，

∴，

∴．

（2）在和中，是公共角，

，

∴，∴，

设的半径是，则有，解得，

∴．

【点睛】

本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

22．(1)A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元

(2)W＝－5m＋1500（）；应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元

【解析】

【分析】

（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据条件建立方程组求出其解即可；

（2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出W与m的关系式，并有条件建立不等式组求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．

(1)

设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意，

得

解得：

答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元．

(2)

由题意，得，

∴

解得：．

∵m是整数，

∴m＝73，74，75．

∵W＝－5m＋1500，

∴，

∴W随m的增大而减小，

∴m＝75时，．

∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．

【点睛】

本题考查了一次函数的性质的运用，二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求一次函数的解析式是关键．

23．（1）见详解；（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意易得，则有四边形是平行四边形，进而可得，然后可证，则有，最后问题可证；

（2）过点B作BH⊥AC于点H，由（1）得：四边形是菱形，，则有，，进而可得，，，然后问题可求解．

【详解】

（1）证明：由题意可得：，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是菱形；

（2）解：过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：

由（1）得：四边形是菱形，，

∵，，

∴，，

∵，

∴，，

在中，，

∴．

【点睛】

本题主要考查菱形的判定与性质及解三角形，熟练掌握菱形的判定与性质及解三角形是解题的关键．

24、（1）  ② 

（2）

（3）① 或.

     ② 当时，此时，存在灵粹二次方程为：；

        当时，此时不存在满足情况的灵粹二次方程.

25、【解答】（1）解：连接OD，如图，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，

∴DE＝EC＝CD＝3，

∵AB＝10，

∴OA＝OB＝OD＝5，

∴OE＝＝4，

∴AE＝OA+OE＝9，

∵DP＝4，

∴PE＝DP+DE＝7．

∵PE⊥AE，

∴tan∠P＝；

（2）①证明：连接BQ，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AQB＝90°，

∴∠QAB+∠B＝90°，

∵PE⊥AE，

∴∠QAB+∠P＝90°，

∴∠P＝∠B，

∵∠B＝∠ACQ，

∴∠ACQ＝∠CPA．

②解：∵CE⊥AB，

∴AC＝3．

∵四边形AQDC为圆的内接四边形，

∴∠PDQ＝∠QAC，

∵∠ACQ＝∠CPA，

∴△PDQ∽△CAQ，

∴＝，

∴，

∵△PDQ与△DCQ是等高的三角形，

∴，

∴，

∵，

∴y＝＝．

∴y与x之间的函数关系式为y＝