山东省青岛市2022届三下学期一模二模数学试题

山东省青岛市2022届三下学期一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，，则（       ）

A． B． C． D．

2．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

3．已知，i为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

4．若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．3 D．

5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（       ）

A． B．7 C．13 D．26

6．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（       ）

A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648

7．已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（       ）

A． B． C． D．

8．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（       ）

A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高

B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高

C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡

D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化

10．已知向量，，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角

11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（       ）

A．的周长为6 B．的面积为

C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为

12．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（       ）

A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为

C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5

三、填空题

13．的展开式中的系数是______．（用数字作答）

14．已知，若，则______．

15．截角四面体（亦称“阿基米德多面体”）的表面由四个正三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体．若一正四面体的棱长为3，则由其截得的截角四面体的体积为______．

四、双空题

16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．

五、解答题

17．已知为等比数列，，，分别是下表第一、二、三行中的数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前100项的和．

18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角；

(2)若，边上的高为，求边．

19．如图①，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．

(1)证明：；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．

①四棱锥的体积为2；

②直线与所成角的余弦值为．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．已知为坐标原点，点，过动点作直线的垂线，垂足为点，，记的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)若，，，均在上，直线，的交点为，，求四边形面积的最小值．

21．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．

(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；

(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：

求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；

(3)证明：．

附：经验回归方程系数：，；

参考数据：，，（其中，）．

22．已知函数．

(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

(2)设函数，若，求的值．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据集合补集的概念及运算，即可求解.

【详解】

由题意，全集，且，

根据集合补集的概念及运算，可得.

故选：B.

2．B

【解析】

【分析】

结合二次函数的性质来求得的取值范围.

【详解】

依题意命题“，”为真命题，

当时，成立，

当时，成立，

当时，函数开口向下，不恒成立.

综上所述，.

故选：B

3．C

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算化简，从而求得.

【详解】

，

.

故选：C

4．A

【解析】

【分析】

直接求出k，即可求出离心率.

【详解】

因为为双曲线，所以，化为标准方程为：.

由焦距为6可得：，解得：k=1.

所以双曲线为.

所以双曲线的离心率为.

故选：A

5．C

【解析】

【分析】

根据题意求得每次收的税金，结合题意得到，求得的值，代入函数的解析式，即可求解.

【详解】

由题意知：这个人原来持金为斤，

第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；

第3关收税金为斤，

以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，

所以，

即，解得，

又由，所以.

故选：C.

6．D

【解析】

【分析】

由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可

【详解】

由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为

二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，

而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，

故选：D

7．A

【解析】

【分析】

化简解析式，根据三角函数图象变换求得，由求得的值.

【详解】

，

的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，

得到函数，

故，

所以，

由于，所以.

故选：A

8．D

【解析】

【分析】

根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系.

【详解】

依题意是定义域为R的偶函数，

，

，

，

，

，

，

，

由于在上单调递增，所以.

故选：D

9．BC

【解析】

【分析】

根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可

【详解】

对于A

从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，

故A错误，

对于B

从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为万元，其次是万元及万元，减免后占比最多的为万元，其次是万元及万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，

B正确.

对C，从图中看出，推行减免政策后，年收入的中位数是，而减免前年收入的中位数是，所以减免后年收入更加均衡，

所以C错误

对于 D

从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，

所以D错误.

故选:BC

10．AD

【解析】

【分析】

根据向量垂直、平行、模、夹角的坐标运算对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

A选项，，，A选项正确.

B选项，，，B选项错误.

C选项，，C选项错误.

D选项，，，为锐角，D选项正确.

故选：AD

11．ABC

【解析】

【分析】

求得，进而求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

椭圆的左、右焦点分别是，，

为椭圆上一点，，

所以.

所以的周长为，A正确.

的面积为，B正确.

设的内切圆的半径为，则，C选项正确.

为锐角，

，

所以的外接圆的直径为，D选项错误.

故选：ABC

12．ACD

【解析】

【分析】

对于A：过A作交底面于F，判断出即为母线与底面所成角.即可求解；

对于B：作出圆台的侧面展开图，直接求出面积，即可判断；

对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由，求出；

对于D：圆台的侧面上，判断出从到的最短路径的长度为CE，利用勾股定理求解.

【详解】

对于A：过A作交底面于F，则底面，所以即为母线与底面所成角.

在等腰梯形ABCD中，,所以.

因为为锐角，所以.故A正确；

对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为.故B错误；

对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由题意可得：.

设，则，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正确；

对于D：如图示，在在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.

故选：ACD

【点睛】

立体几何中的折叠、展开问题：要把握折叠（展开）过程中的不变量.

13．

【解析】

【分析】

由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案.

【详解】

的展开式的通项公式为，

令可得

所以的展开式中的系数是

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

根据两角和的正切函数公式，求得，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】

由，可得，解得，即，即，

又由，所以，

因为，所以.

故答案为：.

15．##

【解析】

【分析】

由题意可知截角四面体的体积等于大正面体的体积减去4个小正四面体的体积即可

【详解】

因为大正四面体的棱长为3，

所以正四面体的的一个底面面积为，底面正三角形的高为

则正四面体的高为，

所以大正四面体的体积为，

由题意可得四个角上的小正四面体的棱长为1，则其底面面积为，底面正三角形的高为为，则小正四面体的高为，

所以小正四面体的体积为，

所以截得的截角四面体的体积为，

故答案为：

16．          44

【解析】

【分析】

根据题意计算的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合，可得，再利用等差数的性质和的对称性可求出的值

【详解】

因为，

所以

，

所以的图象的对称中心为，即为，

因为等差数列中，，

所以，得，

因为的图象的对称中心为，

所以， ，，，，

因为，

所以 ，

故答案为：，44

17．(1)，

(2)147

【解析】

【分析】

（1）观察表格易知，，，进而得的通项公式；根据等差数列基本量的运算即可得的通项公式；

（2）根据对数的运算以及高斯函数的概念即可得结果.

(1)

由题意知，，

所以等比数列的公比，

设等差数列公差为，则，

所以，所以，，

(2)

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）结合正弦定理、余弦定理求得，由此求得.

（2）结合三角形的面积公式、余弦定理求得.

(1)

因为，

所以，

所以由正弦定理得，

所以由余弦定理得，

因为，所以.

(2)

由三角形面积公式得，

，

所以，即，

由余弦定理得，

将代入上式得，

解得或（舍），所以边.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过证明线面垂直来证得.

（2）选①，结合四棱锥的体积，证得平面；选②，结合直线与所成角的余弦值，证得平面；由此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.

(1)

证明：在图①中

因为，，为中点所以，，

所以为平行四边形，所以，同理可证，

在图②中，取中点，连接，，，

因为，所以，，

因为，所以平面，

因为平面，所以.

(2)

若选择①：因为平面，平面，

所以平面平面且交线为，所以过点作，

则平面，因为，

所以四棱锥的体积，

所以，所以与重合，所以平面，

建系如图，则，，， ，

平面法向量为，设平面法向量为，

因为，，

所以，得，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的余弦值为.

若选择②：因为，所以即为异面直线与所成角，

在中，，

所以所，以，所以，

因为平面，平面，

所以平面平面且交线为，所以平面，

建系如图，则，，， ，

平面法向量为，

设平面法向量为，

因为，，

所以，得，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）设，得到，，结合，即可 求得曲线的方程；

（2）设直线，的方程分别为，，将代入抛物线求得，，结合弦长公式求得，，进而求得的面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.

(1)

解：设，则，所以，

因为，可得，

所以曲线的方程为.

(2)

解：设，，，，

直线，的方程分别为：，，

将代入抛物线得，所以，，

所以，

因为，同理得：

所以的面积，

当且仅当时等号成立，所以四边形面积的最小值为2

21．(1)分布列见解析，数学期望为

(2)回归方程为，预测成功的总人数为465

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.

（2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值.

（3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功的概率”小于，从而证得不等式成立.

(1)

由题知，的取值可能为1，2，3所以；

；；

所以的分布列为：

所以数学期望为.

(2)

令，则，由题知：，，

所以，

所以，，

故所求的回归方程为：，

所以，估计时，；估计时，；估计时，；

预测成功的总人数为.

(3)

由题知，在前轮就成功的概率为

又因为在前轮没有成功的概率为

，

故.

22．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意，利用分离参数法得到对恒成立.设，利用导数判断出函数在上单调递增，求出；

（2）把题意转化为，恒成立.由为的一个极小值点，解得.代入原函数验证成立.

(1)

由题意知

因为函数在上单调递增，所以，

即对恒成立

设，则

当时，

当时，

所以函数在上单调递增

所以

(2)

由题知

所以，

因为，所以，

即为的最小值，为的一个极小值点，

所以，解得

当时，

所以

①当时，（当且仅当时等号成立）

所以在上单调递增

②当时，若，；

若，

所以在上单调递减

综上，在上单调递减，在上单调递增

所以当时，

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．