辽宁省鞍山市2022届高三第二次质量监测数学试题及参考答案

鞍山市普通高中2021－2022学年度高三第二次质量监测

数学

考试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 记集合，，则（    ）

A.  B. 或 C.  D.

2. 已知平面，直线、，若，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 设等差数列，的前n项和分别是，若，则 （    ）

A. 1 B.  C.  D.

4. 2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（    ）

若随机变量，则，

A. 0.34135 B. 0.8186 C. 0.6827 D. 0.47725

5. 已知正实数a、b满足，则的最小值是（    ）

A.  B.  C. 5 D. 9

6. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（    ）

A. 720 B. 1440 C. 2280 D. 4080

7. 已知函数f(x)是定义在R上奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）

A. (，1) B. (－∞，1) C.  D.

8. 已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A. 直线l与圆C相切 B. 直线l与圆C相离

C. |PM|的最大值为 D. |PM|的最小值为

10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图像关于点中心对称

B. 函数的图像关于直线对称

C. 函数在上单调递减

D. 函数的图像向右平移个单位可得函数的图像

11. 已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（    ）

A. 当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变

B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]

C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为

D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知i为虚数单位，则___________(写成最简形式)．

14. 若 ，则值 ___________________.

15. 已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．

16. 在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．

四、解答题：本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围．

19. 在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答

设数列的前n项和为，且___________(只需填入序号)．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的项和．

21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

（1）求证：EF⊥平面BCF；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值．

23. 击鼓传花，也称传彩球，是中国古代传统民间酒宴上的助兴游戏，属于酒令的一种，又称“击鼓催花”，在唐代时就已出现．杜牧《羊栏浦夜陪宴会》诗句中有“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”，可以得知唐代酒宴上击鼓传花助兴的情景．游戏规则为：鼓响时，开始传花(或一小物件)，鼓响时众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中(或其序位前)，谁就上台表演节目(多是唱歌、跳舞、说笑话：或回答问题、猜谜、按纸条规定行事等)．某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，组号（前五组）与组内女性人数统计结果如表：

若女性人数与组号(组号变量依次1，2，3，4，5，…)具有线性相关关系．

（1）请求出女性人数关于组号的回归直线方程；（参考公式，）

（2）从前5组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于3人的有组，求的分布列与期望．

25. 已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切．

（1）求椭圆C标准方程；

（2）若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．

27. 已知函数．

（1）记函数，当时，讨论函数的单调性；

（2）设，若存在两个不同的零点，证明：（为自然对数的底数）．