2023届辽宁省鞍山市普通高中高三第二次质量监测数学试题

答案

一、单选题(共40分)

1.解：由题设，，而，所以.故选：A

2．解：,，在复平面对应的点为(1,-7),在第象限.故选：D.

3．解：因为，所以，

所以..则.因为，所以

故.故选：A.

4．解：由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，

由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，

综上：100年后的2123年为癸未年.故选：B

5．解：依题意，∵，，，∴，，

所以,所以，又因为，所以，

所以,即．

在平面内满足条件的点的轨迹为，

该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为；

同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为；

在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，

为半径的圆弧，长度为；

同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为．

故轨迹的总长度为．故选:C．

6．解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为.

要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，

所以，即，

所以，

又，所以，所以的最小值为.

故选：C

7. 选C

8．解：令，即，

则，令，即，则，

结合定义域为可知，是奇函数，

对于，用替代，得到，

结合是奇函数，上式可化简成，，

且，，

结合题目条件：当时，，于是，，即，

故在上递增，又是定义域为的奇函数，

根据奇函数性质，在上递增，

于是等价于不等式：，解得故选：D

二、多选题(共20分)

9．解：对于A，因为，则，所以

当且仅当，即时取等号，所以当时，的最大值是，故选项A错误，

对于B选项，因为关于的不等式的解集是或，则，关于的方程的两根分别为，，由韦达定理可得，可得，，则，

所以，B对.

对于C，由，得，即，解得或，则C错误。

对于D，已知则，

，，，

，所以向量的夹角为，故D正确；故选：BD

10．解：，

所以，对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，

即，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，由解得，

所以函数的单调递减区间为，C正确；

因为所以因为在上有3个零点，所以，

解得，D错误，故选:ABC.

11．解：对于A，由正方体可得平面平面，且平面，

所以到平面的距离等于到平面的距离，

所以四面体的体积为，

所以四面体的体积为定值，故 A正确；

对于B，当与重合时，，

所以的最小值不为，故B错误；

对于C，连接，

由正方体可得，所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面，同理可得平面

因为，平面，所以平面平面，

因为平面，所以平面，故C正确；

对于D，因为，所以（或其补角）为直线与AC所成的角，

由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与AC所成的角最大，

所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球，

所以外接球的直径为，即，所以四面体的外接球的体积为，故D正确；

故选：ACD

12．解：由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；

由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；

设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；

由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，故选：.

三、填空题(共20分)

13．解：由题知 的通项为 ，

当 时，所以展开式中x项的系数为 .故答案为：-20

14．解：当时，；

当时，由，可得，故有

故答案为：

15.解：

16．解：方法一：

设椭圆的半焦距为，左焦点为，则

因为两点关于原点对称，所以，又，

所以，所以四边形为矩形，设，因为，所以，由椭圆的定义可得，，在，，，，

所以，所以，故，，

在中，，所以，所以，所以离心率.

方法二：设椭圆的半焦距为，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，且①，②，②×4－①可得，，

因为经过右焦点，，所以，所以，故，

所以，又，所以，因为，所以，又，

所以，所以，所以，即，

又，所以，所以离心率.故答案为：.

四、解答题(共70分)

17．解：（1）由题设，令公比为，则，所以，.......................................2分

即，则，故..................................................................4分

（2）由（1）知：，则，.......................................................6分

..........................................................................8分

所以........................................................................10分

18．解：（1）因为，，，

所以在中，由余弦定理得，解得，................................................2分

所以在中，所以，

又因为底面，平面，所以，......................................................4分

因为，平面，所以平面，又因为平面，

所以........................................................................6分

（2）因为底面，平面，所以，

结合（1）可知两两垂直，

以为坐标原点，为轴建立如图所示坐标系，8分

所以，，，，所以，，，

设平面的法向量，则，解得，....................................................9分

设平面的法向量，则，解得，....................................................10分

所以，所以结合图像可得二面角的余弦值为..........................................12分

19．解：(1) 若选①

因为，由正弦定理得，

即，所以，

由，得，所以，即，因为，所以...................................................4分

若选②

由，化简得.

由正弦定理得：，即，所以.因为，所以..............................................4分

若选③

由正弦定理得，即因为，所以，

所以，所以，又因为，所以......................................................4分

(2)在中，由正弦定理，得，......................................................6分

由（1）知：，又с=1代入上式得：.

..........................................................................8分

因为为锐角三角形，所以，解得，所以，10分

所以........................................................................12分

20．解：（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；.........3分

（2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以所以.

所以，即，所以.令，得：，故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元..............7分

（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，

所以X的分布列为：

所以........................................................................12分

21．解：（1）由抛物线的定义得，解得，则抛物线的标准方程为，4分

（2）依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为，

由得直线方程为：，

由解得点，...................................6分

由解得点.....................................8分

由得，假定在轴上存在点使得，设点，

则由（1）得直线斜率，直线斜率，...............................................10分

由得，则有，即，

整理得，显然当时，对任意不为0的实数，恒成立，即当时，恒成立，恒成立，

所以轴上存在点使得，点........................................................12分

22．解：（1）

当时，恒成立在R上单调递减

当时，令解得

当时，.当时

在上单调递减，上单调递增

综上所述，当时，在R上单调递减。

当时，在上单调递减，上单调递增。...............................................4分

（2）由得，恒成立,

令，，

当时，

令，则，等号仅在时取得，

所以在上单调递增，故，等号仅在时取得。

即。

令，则恒成立，在上单调递增。

，即

，所以在上单调递增

所以，即，

所以当时，在上恒成立。

当时, ，，

设，

当时，是R上的增函数， 在上单调递增，

即时，在上递增，

，故在内存在唯一解，

当时，，则在上递减，则，

则在上递减，故，

当时，在上递减，

则，

即当时，存在x使得，

这与不等式在上恒成立矛盾，

综合可知a的取值范围是.........................................................12分