2022届江苏省南通、苏北部分学校高三年级第四次调研考试数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．eq －\f(1,2)＋3i
2．已知M，N均为R的子集，且MCRN，则(CRM)∩N＝
A． B．M C．N D．R
3．若函数f(x)满足f(2x)＝x，则f(5)＝
A．25 B．52 C．lg52 D．lg25
4．已知向量a，b满足a＝(eq \r(,3)，1)，a·b＝4，则|b|的最小值为
A．1 B．eq \r(,2) C．eq \r(,3) D．2
5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝x3，eq a＝f(lg\s\d(2)\f(1,3))，b＝eq f(2\s\up6(－\f(3,4)))，c＝eq f(－2\s\up6(\f(4,3)))，则
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
6．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为
A．eq \f(\r(,2),2) B．eq \f(\r(,3),2) C．eq \f(\r(,5),3) D．eq \f(\r(,6),3)
7．设数列{an}，{bn}均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为Sn，Tn，若Sn＝(2n＋1)Tn，，则EQ \F(a\S\DO(4),b\S\DO(8))＝
A．EQ \F(1,2) B．1 C．EQ \F(3,2) D．2
8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为
A．26 B．25 C．25 D．18
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某物理量的测量结果X服从正态分布N(100，σ2)，则
A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线x＝100对称
B．σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡
C．σ越小，在一次测量中，X的取值落在(99，101)内的概率越大
D．在一次测量中，X的取值落在(99，102)与落在(101，104)得概率相等
10．若函数f(x)同时具有性质：①对于任意的x，y∈R，eq \f(f(x)－f(y),2)≥eq f(\f(x＋y,2))，②f(x)为偶函数，则函数f(x)可能为
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝ln(x＋EQ \R(,x\S(2)＋1)) C．f(x)＝2x＋EQ \F(1,2\S(x)) D．f(x)＝ln(|x|＋1)
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋EQ \F(π,4))(0＜ω＜EQ \F(π,2))在区间(0，1)上可能
A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值
12．已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边eq AB＝2\r(,5)，AC＝2，CD⊥BC，则
A．BC⊥平面ACD
B．点D的轨迹的长度为2π
C．线段CD长的取值范围为(0，2eq \r(,2)]
D．三棱锥D－ABC体积的最大值为eq \f(4(\r(,2)＋1),3)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为eq \f(2π,3)的扇形，则该圆锥的体积为 ．
14．在(x＋1)4(y＋z)6的展开式中，所有项系数之和为 ；展开式中系数最大项的系数为 ．(注：用数字作答第一空2分，第二空3分)
15．若eq \f(cs(\f(π,2)－α)＋sin2α,cs2α＋csα＋1)＝3，则sin2α＝ ．
16．若关于x的不等式a(x＋1)ex－x＜0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＞an，4Sn＝an2＋4n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{EQ \F(a\S\DO(n),2\S\UP6(n＋1))}的前n项和Tn．
18．(12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，eq bcsA＝a(csB－\f(2,3))＋c．
(1)求csB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为eq 2\r(,2)，求a．
19．(12分)
如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．
(1)证明：BD∥平面ANP；
(2)若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．
20．(12分)
某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的．
(1)已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；
(2)已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案?并说明理由．
方案一：每道题都随机选1个选项；
方案二：每道题都随机选2个选项．
21．(12分)
已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝eq \f(a,2)(x－2)2(a≤1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．
22．(12分)
已知F1(－EQ \R(,6)，0)，F2(EQ \R(,6)，0)为双曲线C的焦点，点P(2，－1)在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若eq \\ac(\S\UP7(→),OM)＋eq \\ac(\S\UP7(→),ON)＝0，eq \\ac(\S\UP7(→),PQ)·eq \\ac(\S\UP7(→),AB)＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．