中考数学压轴题二次函数与圆专题训练

这是一份中考数学压轴题二次函数与圆专题训练，共23页。试卷主要包含了二次函数与圆综合，四知，．等内容，欢迎下载使用。


中考数学压轴题二次函数与圆专题训练

中考要求


板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
二次函数
1.能根据实际情境了解二次函数的意义；
2.会利用描点法画出二次函数的图像；
1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；
2.能从函数图像上认识函数的性质；
3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；
4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；
1.能用二次函数解决简单的实际问题；
2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；


例题精讲

一、二次函数与圆综合
【例1】 已知：抛物线与轴相交于两点，
且．
（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．
【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．
解得，．
为正整数，∴．∴．
解法二：由题意知，当时，．
（以下同解法一）
解法三：，
．
又．∴．（以下同解法一．）
解法四：令，即，
∴．（以下同解法三．）
（Ⅱ）解法一：．
，即．
，
∴．解得：．
∴的取值范围是．
解法二：由题意知，当时，
．
解得：．
∴的取值范围是．
解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．
∴
∴．∴的取值范围是．


（Ⅲ）存在．
解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧，
∴．
由切割线定理知，，
即．∴，
∴∴．
解法二：连接．圆心所在直线，
设直线与轴交于点，圆心为，
则．
，
∴
在中， ．
即．解得 ．
（Ⅳ）设，则．
过分别向轴引垂线，垂足分别为． 则．
所以由平行线分线段成比例定理知，．
因此，，即．
过分别向轴引垂线，垂足分别为，
则．所以．．
．．
，或．
当时，点．直线过，
解得
当时，点．直线过，
解得
故所求直线的解析式为：，或．

【例2】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式
并且线段CM的长为
（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），
所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，
所以，解得或
若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在
所以，，解得，。
∴所求抛物线为：或以下同下。
解法二：由题意得,设点M的坐标为
∵点M在直线上，∴
由勾股定理得，∵
∴=，即
解方程组，得，
∴或
当时，设抛物线解析式为，∵抛物线过点，
∴，∴
当时，设抛物线解析式为
∵抛物线过点，∴，∴
∴所求抛物线为： 或
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴不合题意，舍去。
∴抛物线应为：
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得

（3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4
设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴
，作NG⊥CM于G，在= r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切


【例3】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点．
⑴试用含的代数式表示；
⑵设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内，它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的解析式；
⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】⑴解法一：∵一次函数的图象与轴交于点
∴点的坐标为(，)
∵抛物线经过、两点
∴，，∴
解法二：∵一次函数的图象与轴交于点
∴点的坐标为()
∵抛物线经过、两点
∴抛物线的对称轴为直线
∴，∴
⑵由抛物线的对称性可知，
∴点在⊙上，且
又由()知抛物线的解析式为
∴点的坐标为()
①当时，
如图，设⊙被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然
所在的圆与⊙关于轴对称，设它的圆心为
∴点与点也关于轴对称
∵点在⊙上，且与⊙相切
∴点为切点，∴
∴
∴为等腰直角三角形，∴
∴点的纵坐标为，∴
∴
∴抛物线的解析式为
②当时，
同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙半径的长为，抛物线的解析式为或
⑶ 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得
设点的坐标为()，且
①当点在抛物线上时(如图)
∵点是⊙的优弧上的一点
∴，∴
过点作轴于点，∴，
∴，∴
由解得：(舍去)
∴点的坐标为
②当点在抛物线上时(如图)，同理可得，
由解得：(舍去)
∴点的坐标为
综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或
点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．


【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点，
是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．
⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；
⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．

【解析】⑴ 由题意得，，的坐标分别为，，．
设抛物线解析式为，则
∴，，．
∴所求抛物线为．
对称轴为直线：．
⑵ 设时，与⊙切于点．
连结，，，则，．
又，分别平分和
而，
∴，∴
∵，∴∽
∴即，∴
由于时间只能取正数，所以
即当运动时间时，与⊙相切
此时：，，，
⑶ 点关于直线的对称点为，
则直线的解析式为：
∴直线交直线于，，此时最小，∴，

【例5】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点．
⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．
⑵ 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值．
⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．

【解析】⑴由已知，得，，
∵抛物线过点和，
则，解得
则抛物线的解析式为，故．
(说明：抛物线的大致图象要过点、、，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)
⑵如图①，抛物线对称轴是　．
∵，抛物线上，∴．
过点作轴于点，则，，
∴．
又∵与关于对称轴l对称，
∴的最小值．
C
A
M
B
x
y
O
D
E
Q
P
K
图①
l
　　C
A
M
B
x
y
O
D
E
图②

⑵当在第四象限时，如图②，连结和．
由已知，得　．
是的切线，∴，则．
又∵，∴．
∴．
又在和中，
，则．
设所在直线的解析式为，过点，，
∴，解得
直线的解析式为．
又∵直线过原点，且，则的解析式为．
当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时，
∴直线的解析式为
点评：本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．

【例6】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点．是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是．过点作轴，垂足是点．
⑴ 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ；
⑵ 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值．
⑶ 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为(其中点是直线与的交点)．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由．

【解析】⑴ ，，
⑵ 设和直线相切时的一种情况如图甲所示，是切点，连接，则．
过点作的垂线，垂足为，
则， 所以．
当点在射线上，和直线相切时，同理可证．
取时，，或．
⑶ 当和直线不相离时，则，由⑵知，分两种情况讨论：
① 如图乙，当时，
，
当时，(满足)，有最大值．
此时(或)．
② 当时，
显然和直线相切，即时，最大．
此时．
综合以上①和②，当或时，存在S的最大值，其最大面积为
点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶问时要先确定的取值范围，然后分类讨论．考点：1．一次函数解析式的确定；2．等边三角形的判定及性质；3．直线与圆的位置关系；4．全等三角形；5．两函数图象交点坐标的确定；6．二次函数的最值．
【答案】（1），，；（2）或；（3）当或时，存在S的最大值，其最大面积为


【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与
二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．
⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；
⑵ 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ 把代入得，
∴一次函数的解析式为；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，
∴设二次函数解析式为，
∴把代入得，∴二次函数解析式为．
⑵ 由，解得或，∴，，
过点分别作直线的垂线，垂足为，，
则，
∴直角梯形的中位线长为，
过作垂直于直线于点，则，，
∴，
∴的长等于中点到直线的距离的2倍，
∴以为直径的圆与直线相切．
⑶ 平移后二次函数解析式为，
令，得，，，
∵过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，
∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，
此时，半径为2，面积为，
设圆心为中点为，连，则，
在三角形中，，
∴，而，∴
∴当时，过三点的圆面积最小，最小面积为
点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定；2．直线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．
【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为．（2）以为直径的圆与直线相切．（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为


【例8】 如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动．
⑴ 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切；
⑵ 当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式；
⑶ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．

【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ ∵四边形为正方形，∴
∵、、在同一条直线上，∴，∴直线与相切；
⑵ 直线与相切分两种情况：
①如图2， 设点在第二象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)．
由得
∴，，∴，
故直线的函数关系式为；
②如图3，设点在第四象限时，过作轴于点，设此时的正方形的边长为，则，解得或(舍去)．
由得
∴，，
∴，故直线的函数关系式为．
⑶ 设，则，由得
∴
∵
∴．
【答案】（1）直线与相切；（2）或；（3），


【例9】 如图，已知点从出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：
⑴ 点的坐标（用含的代数式表示）；
⑵ 当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．

【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线的性质及判定
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ 过作轴于，
∵，∴，
∴，，
∴点的坐标为．
⑵ ①当与相切时（如图1），切点为，此时，
∴，∴，
∴． （4分）
②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，
过作于，则，
∴，∴．
③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，
则，∴，
∴．
过作轴于，则，
∴，
化简，得，
解得，
∵，
∴．
∴所求的值是，和．
【答案】（1）点的坐标为；（2）所求的值是，和．


【例10】 已知：抛物线，顶点，与轴交于、两点，．
⑴ 求这条抛物线的解析式．
⑵ 如图，以为直径作圆，与抛物线交于点，与抛物线对称轴交于点，依次连接、、、，点为线段上一个动点(与、两点不重合)，过点作于，于，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
⑶ 在⑵的条件下，若点是线段上一点，过点作，分别与边、相交于点、(与、不重合，与、不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【考点】二次函数与圆综合
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ 设抛物线的解析式为
将代入：，∴
∴抛物线的解析式为，即：
⑵ 是定值，
∵为直径，∴，∵，∴
∴，∴ ①
同理： ②
① + ②：
⑶ ∵直线为抛物线对称轴，∴ 垂直平分
∴
∵
∴为等腰直角三角形．
∴ 7分
如图，过点作于，
由已知及作法可知，四边形是矩形，
∴且
在和中
∵，
∴
且
∴
∴ ① 8分
在和中，
∵，∴
∵，∴
∵，∴
∴ 　　　　②
由①、②知：
【答案】（1）；（2）是定值，；（3）成立


【例11】 如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接、，过、、三点作抛物线．
⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结，求直线的解析式；
⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．


【考点】二次函数与圆综合
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ ∵以为直径作，交轴的负半轴于点，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，解得 (负值舍去)．
∴， 3分
设抛物线解析式为，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，即．
⑵ ∵为的直径，且，，
∴，，
∵点是延长线上一点，的平分线交于点，
∴，
连结交于点，则，，．
∴．
∴设直线的解析式为
∴
解得
∴直线的解析式为．
⑶ 假设在抛物线上存在点，使得，
方法一：设射线交于点，则．
分两种情况(如答案图1所示)：
①∵，，，．
∴把点、绕点逆时针旋转，使点与点重合，则点与点重合，
因此，点符合，
∵，，
∴用待定系数法可求出直线解析式为．
解方程组得
∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．
②∵，
∴点关于轴对称的点的坐标为也符合．
∵，．
∴用待定系数法可求出直线解析式为．
解方程组得
∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点有两个：，．
方法二：分两种情况(如答案图2所示)：
①当时，能使．
∵，．
∴用待定系数法可求出直线解析式为．
又∵，∴设直线的解析式为．
把代入可求，
∴直线解析式为．
解方程组
得
∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．
②在线段上取一点，使时，得，∴．
由①知，直线解析式为．
取，得，∴，∴，∴，
又∵，
∴直线解析式为．
解方程组得
∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点有两个：，．
方法三：分两种情况(如答案图3所示)：
①求点坐标同解法二．
②过点作的平行线，交圆于，
此时，．
由⑵题知直线的解析式为，
又∵
∴可求得的解析式为，
设，作轴交与轴与，
连结，在中，利用勾股定理可得，，
由与可得，
的解析式为，
解方程组得
∴点坐标为，[坐标为不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点有两个：，．
【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点有两个：，


【例12】 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
⑴ 求的值及抛物线顶点坐标；
⑵ 过的三点的交轴于另一点，连结并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点，求直线的解析式；
⑶ 在条件⑵下，设为上的动点(不与重合)，连结交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．

【考点】二次函数与圆综合，
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ 由抛物线可知，点的坐标为，且．
设，，，．则有
又是的斜边上的高，∴　∴
∴，即
∴，解得或，而，故只能取
这时，
故抛物线的顶点坐标为
⑵ 解法一：由已知得：
∵抛物线的对称轴是，也是的对称轴，连结
∵是的直径，∴
∴直线，垂直平分，
∴点的坐标为
∵
且，
∴，∴
∵，∴
又，∴
由两点的坐标易求直线的解析式为：
可设直线的解析式为，把代入求得
故直线的解析式为
解法二：令，解得
即，
根据圆的对称性，易知：半径为，
在中，
∴，同理，．
而，∴
∵，　∴
∴
在中，，，，
∴，∴，
∴点的坐标为
在中，
∴点的坐标为
∴直线的解析式为
⑶ 解法一：
存在常数，满足
连结
由垂径定理可知，∴
(或利用)
又∵，∴
∴　即
在中，
(或利用
∴
解法二：
存在常数，满足
设
由相交弦定理得，即
化简得：，即
【答案】（1），；（2）；（3）存在常数，满足


【例13】 已知二次函数的图象经过点，并与轴交于点和点，顶点为．
⑴ 求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
⑵ 设为线段上的一点，满足，求点的坐标；
⑶ 在轴上是否存在一点，使以为圆心的圆与所在的直线及轴都相切？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ ∵二次函数的图象过点，
得 ，解得
∴这个二次函数的解析式为：
由解析式可求，
画出二次函数的图象
⑵ 解法一：易证：
又已知：
∴，∴
易求
∴，∴，∴
解法二：过作轴，垂足为．
设抛物线的对称轴交轴于．
亦可证，∴．
易求：
∴，∴，∴，
⑶ 存在．
①过作，垂足分别为，
设交轴于，的延长线交轴于
∵是等腰直角三角形，是的内切圆圆心，
∴
又∵且
∴，得，∴
②在轴的负半轴上，存在一点M′
同理，，得
∴
即在轴上存在满足条件的两个点．
点评：本题综合了二次函数，圆与相似等知识，解决第(2)问时需注意为等腰直角三角形，于是，从而利用相似可以求解；第(3)问需注意分类讨论．考点：1．二次函数解析式的确定；2．抛物线顶点坐标；3．直线与圆的位置关系；4．三角形内心．
【答案】（1）；（2）；（3）在轴上存在满足条件的两个点．，


【例14】 已知⊙的半径为，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为，顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．
⑴ 当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
⑵ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．

【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ 与相切．
∵在一直线上，，
∴，所以是的切线
与相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时(如图①)，
设正方形的边长为，则，
解得，或(舍去)
过点作于，则，
∴，∴，
，所以点的坐标是(，)
∴所在直线对应的函数表达式为．
②切点在第四象限时(如图②)，
设正方形的边长为，则，
解得 (舍去)，或
过点作于，则，
∴，∴，，
∴点的坐标是(，)
∴所在直线对应的函数表达式为
⑵ 如图③，
过点作于，连接，
则

∴
∵，∴的最大值为，的最小值为
点评：本题是一道正方形，圆，函数的综合题，难度不大，第(1)问注意分类讨论，第(2)问应注意利用正方形的面积等于对角线平方的一半这个性质．考点：1．正方形的性质；2．切线的判定；3．相似三角形；4．一次函数解析式的确定；5．一次函数的最值；6．勾股定理．
【答案】（1）与相切．（2），的最大值为，的最小值为


【例15】 如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．
⑴ 若的外接圆与轴交于点，求点坐标．
⑵ 若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．
⑶ 二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，求此函数的解析式．

【考点】二次函数与圆综合，三角形的外接圆及外心，直线与圆位置关系的确定
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ 连结，则
在中，
所以
所以点的坐标是
⑵ 猜想是与圆相切
∵是直角，所以是圆的直径
又∵，
∴即
∴切外接圆于点
⑶ 依题意可设二次函数的解析式为：

由此得顶点坐标的横坐标为：；
即顶点在的垂直平分线上，作的垂直平分线，
则得
得到，可得一个顶点坐标为
同理可得另一个顶点坐标为
分别将两顶点代入可解得的值分别为，
则得到二次函数的解析式是或
【答案】（1）；（2）切外接圆于点；（3）或



【例16】 如图，直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
⑴ 求两点的坐标；
⑵ 求直线的函数解析式；
⑶ 设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．试探究：的最大面积？

【考点】二次函数与圆综合，坐标与面积
【难度】5星
【题型】解答
【解析】⑴ ∵，∴．
作于，
∵为正三角形，
∴，．
∴．
连，∵，，
∴．
∴．
⑵ ∵，∴是圆的直径，
又∵是圆的切线，∴．
∴，．
∴．
设直线的函数解析式为，
则，解得．
∴直线的函数解析式为．
⑶ ∵，，，，
∴四边形的周长．
设，的面积为，
则，．
∵．
∴当时，．
∵点分别在线段上，
∴，解得．
∵满足，∴的最大面积为．
【答案】（1），；（2）；（3）当时，的最大面积为