2022年上海市嘉定区南翔中学中考数学诊断试卷（4月份）（含解析）

2022年上海市嘉定区南翔中学中考数学诊断试卷（4月份）

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1. 下列分数中，能化为有限小数的是

A.  B.  C.  D.

2. 如果，，那么下列不等式成立的是．

A.  B.  C.  D.

3. 下列二次根式中，最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线的顶点坐标是

A.  B.   C.  ，  D.

5. 下列命题中，真命题是

A. 周长相等的锐角三角形都全等
B. 周长相等的直角三角形都全等
C. 周长相等的钝角三角形都全等
D. 周长相等的等腰直角三角形都全等

6. 矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是

A. 点，均在圆外
B. 点在圆外，点在圆内
C. 点在圆内，点在圆外
D. 点，均在圆内
 

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 计算：______．
8. 因式分解：______．
9. 如果关于的方程为常数有两个相等实数根，那么______．
10. 函数的定义域是______．
11. 如果反比例函数是常数，的图象经过点，那么这个函数的解析式是______．
12. 一次函数的函数值随自变量值的增大而______ 填“增大”或“减小”．
13. 有只型号相同的杯子，其中一等品只，二等品只和三等品只，从中随机抽取只杯子，恰好是一等品的概率是______．
14. 某小区年屋顶绿化面积为平方米，计划年屋顶绿化面积要达到平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．
15. 如图，是的中线，设向量，，那么向量______结果用、表示．
    
     

16. 如图，点、、在同一条直线上，，，如果，那么______

17. 如图，、都是圆的弦，，，垂足分别为、，如果，那么 ______ ．
    
     

18. 中，已知，，点在边上，如图把绕着点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么______．

三、解答题（本大题共7小题，共49.0分）

19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. 如图，点、分别在扇形的半径、的延长线上，且，，平行于，并与弧相交于点、．
    求线段的长；
    若，求弦的长．

22. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为吨，但不超过吨时，每吨的成本万元吨与生产数量吨的函数关系式如图所示．
    求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
    当生产这种产品的总成本为万元时，求该产品的生产数量．
    注：总成本每吨的成本生产数量

23. 如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使连接、、．
    求证：四边形是平行四边形；
    如果，求证：四边形是矩形．
     

24. 已知平面直角坐标系如图，一次函数的图象与轴交于点，点在正比例函数的图象上，且二次函数的图象经过点、．
    求线段的长；
    求这个二次函数的解析式；
    如果点在轴上，且位于点下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标．
25. 在中，，，点是边上任意一点，直线，与边或相交于点在线段上，点在线段上，，．
    如图，当点与点重合时，求的长；
    如图，当点在边上时，点不与点、重合，设，，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
    若∽的顶点、、分别与的顶点、、对应，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：故本选项错误；
B、故本选项正确；
C、故本选项错误；
D、故本选项错误．
故选B．
本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．
本题主要考查了有理数的除法，在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：：，，故此选项正确；
：，
，
，
故此选项错误；
：，，
，
故此选项错误；
：，，
，
故此选项错误；
故选：．
根据不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
此题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱，准确把握不等式的性质是做题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，否则就不是．
 

4.【答案】

【解析】解：抛物线的解析式为：，
此抛物线的顶点坐标为：．
故选：．
直接根据此二次函数的顶点式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为：：，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．
故选D．
全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．
本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，
四边形为矩形，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
点在圆内，点在圆外．
故选：．
由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

7.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：．
直接利用平方差公式分解即可．
本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题需先根据已知条件列出关于 的等式，即可求出 的值．
本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．
【解答】
解： 的方程 为常数 有两个相等实数根



故答案为：   

10.【答案】

【解析】解：依题意，得，
解得．
故答案为：．
二次根式有意义，被开方数为非负数，即，解不等式即可．
本题考查了函数的自变量取值范围的求法．关键是根据二次根式有意义时，被开方数为非负数建立不等式．
 

11.【答案】

【解析】解：把代入反比例函数关系式得：，
，
故答案为：，
根据图象过可知，此点满足关系式，能使关系式左右两边相等．
此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
 

12.【答案】增大

【解析】解：一次函数中，，
函数值随自变量值的增大而增大．
故答案为：增大．
根据一次函数的性质判断出一次函数中的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，时，随的增大而增大．
 

13.【答案】

【解析】解：在只型号相同的杯子中，
一等品有只，
则从中随机抽取只杯子，恰好是一等品的概率是．
故答案为．
共有八只型号相同的杯子，每只杯子被抽到的机会是相同的，故可用概率公式解答．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的应用．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为 ；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为 ．
设增长率为 ，根据题意即可列出方程．
【解答】
解：设增长率为 ，根据题意可列出方程为：
，
．
．
所以 ， 舍去 ．
故 ．
即：这个增长率为 ．
故答案是： ．   

15.【答案】

【解析】解：是的中线，，
，
，
．
故答案为：．
首先由是的中线，即可求得的长，又由，即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
由，，求得的度数，又由，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

17.【答案】

【解析】解：、都是圆的弦，，，
、为、的中点，即线段为的中位线，
．
故答案为：．
由、都是圆的弦，，，根据垂径定理可知、为、的中点，线段为的中位线，根据中位线定理可知．
本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理的运用．关键是由垂径定理得出两个中点．
 

18.【答案】或

【解析】解：如图，在线段取一点，使，在线段取一点，使，
旋转角，
在中，
，
，
旋转角．
故答案为：或．
本题可以图形的旋转问题转化为点绕点逆时针旋转的问题，故可以点为圆心，长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边上的一点，交直角边于，此时，，由等腰三角形的性质求旋转角的度数，在中，解直角三角形求，可得旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质．关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．
 

19.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：
由得
把代入，得，
即
解这个方程，得，
代入中，得或．
原方程组的解为或．

【解析】用代入法即可解答，把化为，代入得化简即可解答．
本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
 

21.【答案】解：，
，，
∽，
，
即，
又，，
，
，
；

过作，连接，则，
，即，
设，则，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得．
，
答：弦的长为．

【解析】根据可知，∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长；
过作，连接，由垂径定理可知，再根据可求出的长，利用勾股定理即可求出的长，进而求出答案．
本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：利用图象设关于的函数解析式为，
将代入解析式得：
，
解得：，


当生产这种产品的总成本为万元时，
，
解得：，不合题意舍去，
故该产品的生产数量为吨．

【解析】利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为吨，但不超过吨时，得出的定义域；
根据总成本每吨的成本生产数量，利用中所求得出即可．
此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本每吨的成本生产数量得出等式方程求出是解题关键．
 

23.【答案】证明：连接，
梯形中，，，
，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形；


，
，
∽，
，
，
四边形是矩形．

【解析】连接，利用等腰梯形的性质得到，再根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．
本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．
 

24.【答案】解：在一次函数中，
当时，．
．
，
为垂直平分线上的点，
可求垂直平分线上的解析式为，
又点在正比例函数，
，
又．
；

二次函数的图象经过点、可得
，
解得．
；

点在一次函数的图象上，
则可设，
设，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
解得，舍去，，
将，代入，
．
即：满足条件的点坐标为．

【解析】先求出根据垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段的长；
二次函数的图象经过点、待定系数法即可求出二次函数的解析式；
可设，根据菱形的性质得出且点在二次函数上，得到方程求解即可．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公式，菱形的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大．
 

25.【答案】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

，

设，
则，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，当点与点重合时，．
函数的定义域是：；
当点在上时，如图，设，则，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，

当点在上时，如图备用图，设，则，，
∽，
，
即，
解得，
，，
∽，
，
即，
解得，
．
所以的长为：或．

【解析】本题需先根据已知条件得出的值，再根据求出，从而得出的值．
本题需先根据，设出的值，从而得出和的值，再得出∽，即可求出，求出的值，即可得出关于的函数关系式，并且能求出函数的定义域．
本题需先设的值，得出则和的值，然后分点在上时，根据∽，求出的值，从而得出和的值，再根据∽，求出的值，得出的长；点在上时，根据∽，求出的值，从而得出和的值，再根据∽，求出的值，得出的长．
本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．