第07讲 函数的奇偶性与周期性-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第07讲 函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

2.奇偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内

(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.

(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.

(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.

(3)若是奇函数且处有意义，则.

3．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．

(3)常见结论：若，则；若，则；若，则.

考点一：判断函数的奇偶性

1．（2021·全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：

（1）；        （2）；

（3）；           （4）.

【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.

【详解】

解：（1）函数的定义域为，

，所以函数为偶函数；

（2）函数的定义域为，

，则且，

所以函数为非奇非偶函数；

（3）定义域为R，，

为偶函数；

（4）定义域为R，，

为奇函数.

2．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）判断下列函数的奇偶性．

（1）；

（2）；

【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.

【详解】

（1）因为定义域为：

所以定义域关于原点对称，

又因为，所以函数f（x）是偶函数；

（2）因为定义域为R，关于原点对称

又因为，则，，

所以是非奇非偶函数；

3．（2020·和平区·天津市第二南开中学）判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）．

【答案】（1）函数为奇函数；（2）是偶函数.

【详解】

（1）对于函数，其定义域为，关于原点对称；

又，

所以函数为奇函数；

（2）因为，所以，解得，

即函数的定义域为，关于原点对称，

又，

所以函数是偶函数.

4．（2021·全国）判断下列函数的奇偶性:

(1);

(2).

【答案】(1)偶函数.(2)奇函数.

【详解】

解:(1)函数的定义域为R,

∵对定义域内的每一个x,都有,为偶函数.

(2)函数的定义域为R,∵对定义域内的每一个x,都有,

为奇函数.

考点二：函数奇偶性的应用

1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，所以.

故选：D.

2．（2021·山东高考真题）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【详解】

函数是奇函数，当时，，

.

故选：A.

3．（2021·河北高三月考）已知是奇函数，当时，，则（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，.
故选：D.

4．（2021·金寨县青山中学高三开学考试）若为奇函数，则的值为（    ）

A．0 B．-1 C．1 D．2

【答案】C

【详解】

∵为R上的奇函数，

∴得a=1.验证满足题意.

故选：C

5．（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）若函数的定义域为R，且函数是偶函数，函数是奇函数，则（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【详解】

因为函数是偶函数，

所以，即①，

因为函数是奇函数，

所以，即②，

由①②可得：，

故选：A.

6．（2021·河北区·天津二中高三月考）已知函数为奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】B

【详解】

由题设知：.

故选：B

7．（2021·全国高三专题练习（文））设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是定义在上周期为2的奇函数，

所以，

又当时，，

所以.

故选：C.

8．（2021·北京市陈经纶中学）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ）

A．－ B． C．－ D．

【答案】B

【详解】

∵在[a - 1，2a]上是偶函数

∴有：b＝0，且a－1＝－2a

∴a＝

∴a＋b＝

故选：B

9．（2021·林芝市第二高级中学高三月考（理））已知函数，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

函数的定义域为，，

函数为奇函数，则.

故选：B.

10．（2021·江苏省镇江中学高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，

又由函数f（x）为R上的奇函数，

则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；

故选B．

考点三　函数的周期性

1．（2021·重庆市清华中学校高三月考）若是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

【答案】C

【详解】

解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，

又由，则有，

则，

故选：C.

2．（2021·全国高三专题练习（文））设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是定义在上周期为2的奇函数，

所以，

又当时，，

所以.

故选：C.

3．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数满足，若，则（    ）

A．3 B．-3 C．6 D．2022

【答案】B

【详解】

因为函数满足，即，

则，

所以函数是周期函数，周期为8，

所以．

故选：B．

4．（2021·宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由得，

所以函数是周期为的周期函数，

又是奇函数，所以，，，，

所以，

所以，

故选：D．

5．（2021·北京一七一中高三月考）定义在上的偶函数满足，若，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以的周期为，

所以，

又因为是上的偶函数，

所以，

所以，所以，

所以实数的取值范围是，

故选：D.

6．（2021·江西景德镇一中高三月考（理））已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】D

【详解】

因为，所以，所以是周期函数，一个周期是4，

又是奇函数，

所以，，

所以．

故选：D．

7．（2021·陕西咸阳市·高三（文））已知定义域为的函数满足，当时，则（ ）

A．8 B．6 C．0 D．

【答案】C

【详解】

解：因为定义域为的函数满足，

所以的周期为8，

因为，

所以，

所以，

故选：C

8．（2021·全国高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是（    ）

A．f(7)<f(6.5)<f(4.5) B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)

C．f(4.5)<f(6.5)<f(7) D．f(4.5)<f(7)<f(6.5)

【答案】D

【详解】

由①知函数f(x)的周期为4，

由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x＝2，

由②知函数f(x)在[0，2]上单调递增，则在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，

又f(7)＝f（3），f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，

由以上分析可得f(0.5)<f（3）<f(2.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5)．

故选：D

9．（2021·陕西西安·高三月考（文））已知函数的定义域为实数集，对，有成立，且，则

A．10 B．5 C．0 D．-5

【答案】D

【详解】

对，有，

所以，

所以函数的周期为，

所以，

对于

令可得，所以，

即，

故选：D.

10．（2021·吉林高三（文））若是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是定义在上的奇函数，所以，

又，所以是周期函数，周期为2．

所以．

故选：C．

考点四：周期性与奇偶性的综合

1．（2021·甘肃兰州·西北师大附中高三月考（文））已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【详解】

∵函数是上的偶函数，

∴，

又∵对于都有，

∴，∵当时，，

∴

，

故选：C.

2．（2021·全国（文））已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

依题意对，有成立，

令，则，

所以，故，

所以是周期为的周期函数，

故.

故选：C

3．（2021·乌海市第一中学高三月考（理））设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【详解】

解：是定义在上的奇函数，，满足，

，又，.

故选：B.

4．（2021·陕西宝鸡市·高三（文））已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【详解】

由题意可得：

.

故选：A.

5．（2021·贵州省思南中学高三（理））已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（    ）

A．-2 B．2 C．-98 D．98

【答案】A

【详解】

因为在R上是奇函数，且满足

所以

因为当时，

所以

故选：A

6．（2021·定远县私立启明民族中学高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当，时，，则=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

解：，

，即，

又，

，

．

的最小正周期是4．

，(1)，(2)，(3)(1)．

又是周期为4的周期函数，

．

∴，

故选：．

7．（2021·全国高三专题练习（文））已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由得：，函数的周期为，

，又为偶函数，，

当时，，.

故选：D.

8．（2021·全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足 且在区间上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】

因为定义在上的函数满足，即

所以，则，

因此函数是以为周期的函数；

又是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，所以在上也是增函数，因此在上是增函数；

所以，，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

，故D正确．

故选：A C D.

9．（2021·宁夏贺兰县景博中学（理））已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则   =（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

在R上为奇函数，

所以，

且函数的周期为4，

故，

又，

故选：B．

10．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，且，当时，．设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为定义在上的奇函数满足，所以是以为周期的周期函数，且，又，，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，根据奇函数的对称性可得在上单调递增，所以，，

因为，所以，即

故选：A

11．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）已知函数是定义上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A．－2 B．2 C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以的周期为4，

所以，

因为函数是定义上的奇函数，

所以，

因为时，，所以，

所以，

故选：A

12．（2021·宁夏吴忠·高三（文））已知函数为偶函数，且，当时，，则（    ）．

A．8 B．6 C．4 D．

【答案】A

【详解】

由，可得，

又为偶函数，

所以，

所以是周期函数，

且周期，

所以．

故选A．