第14讲 三角恒等式-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第14讲-三角恒等式（解析版）
学习目标：
1、 弧度制与角的推广
2、任意角的三角比
3、同角三角比的关系
3、诱导公式、和差公式、倍角半角以及万能公式、辅助角公式

教学内容

1、设，若不等式恒成立，求的取值范围。
【答案】
【解析】若设，则为上半圆。设，为过原点，为斜率的直线。在同一坐标系内 作出函数图象， 依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即的取值范围为。



2、已知函数，根据下列条件分别求实数的取值范围。
（1）若函数的定义域是R；
（2）若函数的值域是R。
【答案】见解析
【解析】（1）由函数的定义域是R，则对于任意的，恒成立，当时，满足题意；当时，则有，即。综上知，实数的取值范围是。
（2）由函数的值域是R，则对数的真数能取遍一切正实数，
所以二次函数的图像开口向上，且与轴有公共点。
则。即实数的取值范围是。
另外一方面：由可得对于任意实数恒成立，又，知对于任意正数，方程都有解，所以必取遍一切正数。











知识点一：弧度制与角的推广
知识梳理
一 .弧度制
弧度制是另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B
定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图 ÐAOB=1rad，ÐAOC=2rad ，周角=2prad。





1 .正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；
2 .角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）；
3 .用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；
4 .用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
5 .弧长公式 ；
6 .扇形面积公式 .
二 .角度制与弧度制的换算
抓住 360°=2prad ∴180°=p rad
∴ 1°=
常用角度制与弧度制对照表
角度制











弧度制












三.角的概念的推广
1.角的定义 “旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针
方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
2.角的分类 “正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，





特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．
记法角或，可以简记成.
说明 零角的始边和终边重合.
3.意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了.
1° 角有正负之分 如 a=210° b=-150° g=660°
2° 角可以任意大
3° 还有零角 一条射线，没有旋转
四.象限角（由角的终边所在位置确定）
在平面直角坐标系中，把角的顶点放在坐标原点，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就称此角为第几象限的角，或说此角属于第几象限。特别地，当角的终边在坐标轴上时，就说这个角是坐标轴上的角，它不属于任何象限。

第一象限角 ；
第二象限角 ；
第三象限角 ；
第四象限角 ；
五．关于终边相同的角
1.观察 390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°
-330°=30°-360° 30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即 任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
4.用弧度制表示
（1）.终边在轴正半轴上的角的集合
（2）.终边在轴负半轴上的角的集合
（3）.终边在轴正半轴上的角的集合
（4）.终边在轴负半轴上的角的集合
（5）.终边在轴上的角的集合
（6）.终边在轴上的角的集合
（7）.终边在坐标轴上的角的集合
例题精讲
【例1】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度 （1）15分钟；（2）1小时20分钟.
【答案】，
【解析】（1）分针所转过的角度；
（2） 分针所转过的角度.
【例2】若两个角的和是1弧度，此两角的差是，试求这两个角．
【答案】，
【解析】设这两个角为弧度，则 解得，

【例3】已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？
【答案】2，625.

【解析】设扇形半径为，扇形弧长为，扇形的圆心角为，则.
扇形面积
∴当时，扇形面积最大，最大值为625.
【例4】找出与下列各角终边相同的角的一般形式，指出它们是哪个象限的角，并找出终边相同的角中绝对值最小的角
（1） ； （2）； （3）

【答案】见解析
【解析】（1）∵，∴终边相同的角为.
它们是第四象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
（2）∵∴终边相同的角为.
它们是第一象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
（3）∵，∴终边相同的角是.
它们是第二象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
【例5】设，且的终边与角的终边相同，则＝____ .
答案 1
解析 与角终边相同的角的集合是 ,
,又，

巩固练习
1． 把角化为角度制。
【答案】

【解析】。
2．已知（），且，问是第几象限角？
【答案】见解析
【解析】解 .
当，
∴ 是第二象限角.
当 ，
∵ ∴ 是第四象限角.
∴ 是第二象限角或是第四象限角.
3．一个扇形的面积是,它的周长是,则圆心角为 弧度；弧长为 cm．
【答案】2,2
【解析】假设圆心角为，弧长为，则半径。则由题意，得
故 扇形的圆心角为2弧度，弧长为2厘米
4.写出下列终边位置特殊关系的角
（1）终边与角的终边互为反向延长线的角的集合；
（2）终边与角的终边关于轴对称的角的集合是；
（3）终边与角的终边关于轴对称的角的集合是；
（4）终边与角的终边互相垂直的角的集合是.
【答案】见解析
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
5、回答下列问题
(1)锐角是第几象限角?
(2)第一象限的角一定是锐角吗?
(3)小于的角一定是锐角吗?
(4)的角一定是锐角吗?
【答案】见解析
【解析】(1)第一象限；(2)不一定，反例；
(3)不一定，反例零角或负角；(4)不一定，反例.
知识点二：任意角的三角比
知识梳理

1.三角比的定义
定义 设任意角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，在其终边上任意取一点P，设它的坐标为，.
，
，
，.


2.三角比在各个象限的符号


Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
sin
+
+
－
－
cos
+
－
－
+
tan
+
－
+
－
cot
+
－
+
－
由三角比的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知 ①正弦值对于第一 .二象限为正（），对于第三 .四象限为负（）；②余弦值对于第一 .四象限为正（），对于第二 .三象限为负（）；③正切值对于第一 .三象限为正（同号），对于第二 .四象限为负（异号）
说明 若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值



3 .特殊角的三角比

0






sin
0



1
0

cos
1



0

0
tan
0

1

不存在
0
不存在
cot
不存在

1

0
不存在
0


例题精讲
【例1】已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.
【答案】见解析
【解析】由已知，，.
∵，∴.
∴，，，
，，.
【例2】已知角的终边经过点，求的值.
【答案】见解析
【解析】 若，，，点在第四象限.
.
,.
∴.
若，，，点在第二象限.
.
，.
∴.
【例3】求函数的定义域.
【答案】 见解析
【解析】
①
由已知
由①，角的终边在轴上，或第一象限，或第四象限，或在轴的非负半轴上.
由②，，角的终边在第二象限，或第四象限，或在轴上.
∴角的终边在第四象限或轴的非负半轴上.
∴函数的定义域为.

巩固练习
1. 已知，，判断的符号.
【答案】见解析
【解析】∵，，
∴是第二象限角，.
∴.
当，，
是第一象限角，.
当，，
是第三象限角，.
∴必为正数.

2.用三角比的定义证明

【答案】见解析
【解析】设为角终边上一点，，
则.
.

3．已知，求的值．
【答案】见解析
【解析】由得，位于第一象限或第三象限。
当位于第一象限时，；
当位于第三象限时，.


4．已知，且，判断点在第几象限.
【答案】见解析
【解析】∵，∴，，为第
Ⅱ或第Ⅳ象限角.又∵，，∴是第Ⅳ象限角，，
，∴点在第二象限.
知识点三：同角三角比的关系
知识梳理
①平方关系 ，，；
②倒数关系 ，，；
③商数关系 ，.

注 利用同角三角比的关系可以由已知的一个角的某个三角比的值，求得这个角的其它三角比的值，也可以在化简三角式或证明三角恒等式时，减少三角比的种类.

例题精讲
【例1】已知，且为第二象限角，求角的其它五个三角比。
【答案】 ，，，
，.
【解析】

因为是第二象限角 ,所以

【例2】 .已知，求和的值.
【答案】，.
【解析】 。
①当的终边在轴上方时，
，；
②当的终边在x轴下方时，
，
【例3】 .已知，求下列各式的值
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】 （1） ；2） ；（3）.
【解析】 （1）原分式的上下同时除以，有原式=，
又，原式=.
（2），
原式=；
（3）原式的上下同时除以，可得
原式=.
【例4】 .化简
【答案】 .
【解析】 对于上下同时乘以，可得；
同理，对于上下同时乘以，可得
又
所以原式=

巩固练习
1 .化简
【【答案】见解析
【解析】原式


2 .化简 （1）
（2）
【答案】见解析
【解析】
（1）解法一
原式

解法二 将分子中的“1”用替代，分母中的“1”用替代
分子
分母
故原式

（2）原式

知识点四：诱导公式
知识梳理
诱导公式可用十个字概括为 奇变偶不变，符号看象限
，
，
，，，
，，，
，，，
，．
，，
与的三角比关系是 “奇变偶不变，符号看象限”.
注 诱导公式的左边为的正弦 .余弦 .正切的三角比，当k为奇数时，右边的三角比名称正余互换；当k为偶数时，右边的三角比名称不改变；将视为锐角，后分析角所处象限，随后判断公式左边的三角比在该象限的符号是正是负，将其作为公式右边的符号.





例题精讲
【例1】 .化简
（1）
（2）
【答案】 （1） ； （2） ； （3） ； （4）.
【解析】 （1）根据诱导公式有
原式=；
（2）根据诱导公式有
原式=
【例2】 .化简 .
【答案】 .
【解析】 根据诱导公式，
原式=
.


【例3】:已知，求的值。
【答案】见解析
【解析】由诱导公式可知
所以原式

巩固练习
1．化简
（1）；
（2）．
【答案】见解析
【解析】
解 （1）原式．
（2）原式

2．化简．
【答案】1
【解析】原式
．
3．若，求 的值．
【答案】见解析
【解析】
解法一 由有．


解法二 原式=


4.已知和是方程的两根．
（1）求的值；
（2）求的值．

【答案】见解析
【解析】(1)
，所以。
(2)
.
5.证明下列恒等式

【答案】见解析
【解析】证明 左边=右边，所以原式成立。
知识点五：和差公式
知识梳理
1 .两角和与差的余弦 .正弦和正切公式
；
；
；
；
；
；
2 .公式的变形应用
公式的变形应用主要指的是两角和与差的正切公式的两种变通形式的应用；
（1）及．
（2）及．







例题精讲
【例1】计算的结果等于 (　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】 C.
【解析】 本题直接运用正弦的差角公式
.
故选C.


【例2】已知锐角满足，求
【答案】
【解析】∵为锐角且

由，得
又 ∴为锐角 ∴
【例3】已知均为钝角且，求的值．
【答案】.
【解析】 均为钝角且，




又
.
【例4】已知，，求的值．
【答案】 .
【解析】 由已知条件及和角公式，得
，解得．
于是，．
【例5】求证 ．
【答案】见解析
【解析】 由题意可得
左边=右边．
故原式得证．
【例6】求证 ．
【答案】见解析

【解析】
，
所以，故原式成立．
巩固练习
1 .在中，，则的值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】 C.
【解析】 因为是的三个内角，
所以，
，
，故选C.
2 .已知角终边上有一点，求的值.
【答案】 .
【解析】 因为角终边上有一点，所以

3 .在中，，则的值为 .
【答案】 .
【解析】 因为在中，，
又，
当时
；
当时

又因为是中三个角，所以，舍去，所以.
4.已知，，且、，求的值。
【答案】
【解析】由和，得：，
，所以，
从而，
因为，且，所以，
从而，所以。







知识点六：倍角半角以及万能公式
知识梳理
1．二倍角的正弦 .余弦 .正切公式




2．半角公式
；；
（）
3. 万能公式



例题精讲
【例1】已知，求的值
【答案】；；
【解析】∵ ∴
∴
【例2】=____________.

【答案】
【解析】


【例3】在中，角满足，求角的度数.
【答案】
【解析】在中，，由
得，所以.
于是.
【例4】（1）已知，求的值；
（2）已知，求 的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（2）∵ ，∴ ．
于是，原式．

【例5】若,求的值
【答案】
【解析】且,所以是钝角
由得
所以

所以,
所以,

【例6】已知，，求和的值.

【答案】；
【解析】∵ ∴
化简得 ∴
∵ ∴ ∴ ，即

【例7】已知，，求的值。
【答案】
【解析】因为，所以，，因此在等式两边同时除以，得：，解得：（舍）或。
所以，，，
从而，。

巩固练习
1.已知角在第一象限且,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵角α在第一象限且,
∴.∴
故选C.

2.若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值
【答案】
【解析】sin2q - cos2q =

3.已知，，求和的值
【答案】，
【解析】因为，所以
所以；


4.已知
(1)求的值
(2)求的值.
【答案】(1) ,;(2)
【解析】(1)由题意得，即，，
又，，
（2） ，
于是
又
又


知识点七：辅助角公式
知识梳理
辅助角公式：，
其中，，通常的取值尽量使较小。

例题精讲
【例1】将下列各式化成（）的形式：
（1） ；
（2） ；
【答案】（1） （2） （3） （4），其中，
【例2】将函数化为（其中，，）的形式，则可用反正切函数值表示为_________。
【答案】
【解析】
故，又，故
巩固练习
1、将下列各式化成（）的形式：
（1）；
（2）。
【答案】（1） （2），其中，

1.若与是方程的两根，则的值是 .
【答案】 .
【解析】 根据题意，可得方程的，则有

又与是方程的两根，根据维达定理，有

或(舍去)
.

2．求值 = ．
【答案】0
【解析】



3．=________.
【答案】
【解析】
4.的值等于________．
【答案】.
【解析】原式=.
5.已知,则_________.
【答案】1
【解析】由已知,得,
∴.

6.已知，求。
【答案】
【解析】由，得：，
即，所以，即，
所以，从而。
7．（1）已知，求和的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）3 （2）
【解析】（1）；


.
（2）由，两边平方，得
，，
，，
，∴或.

8.已知，，其中，。
（1）求的值； （2）求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】因为且，所以，
所以，，
又因为，所以，由可知，，
所以。
（1） ；
（2） 因为，，所以，
而，
所以。

9.已知
（1）求的值； （2）求的值 .
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)由得，
即，
又，所以为所求.
(2)


10．已知
(1)求的值；(2)求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)法一 因为， 所以，


法二 由题设得 即
又， 从而
解得或 因为， 所以
(2)因为 故
，
所以

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