2021-2022学年辽宁省大连市高新园区名校联盟八年级（下）月考数学试卷（4月份）

2021-2022学年辽宁省大连市高新园区名校联盟八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是　　

A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．12，15，20

3．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积为　　

A．5 B．9 C．16 D．25

5．（3分）下列各式中，与能合并的是　　

A． B． C． D．

6．（3分）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是　　

A．30 B．40 C．50 D．60

7．（3分）如图，每个小正方形的边长都相等，、、是小正方形的顶点，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（3分）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是　　

A． B． C．1 D．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，以长为半径画弧交轴上点，则点的坐标为　　

A． B． 

C． D．或

10．（3分）下列命题：

①全等三角形的对应角相等；

②一个正数的绝对值等于本身；

③若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形；

④等边三角形的三个内角都等于．

其中逆命题是真命题的是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　．

12．（3分）在中，，若，则　　．

13．（3分）已知长方形的面积为12，其中一边长为，则该长方形的另一边长为 　　．

14．（3分）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　　尺．

15．（3分）已知，，则　　．

16．（3分）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕的长为 　　．

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）

17．（9分）计算：

（1）；

（2）．

18．（9分）已知，求代数式的值．

19．（9分）如图，在中，于点，，，．求与的长．

20．（12分）如图所示，一架25米长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端到墙的距离为7米．

（1）求这个梯子的顶端距地面的高度的长；

（2）如果梯子的顶端沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗？请说明你的理由．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．（9分）如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？

22．（10分）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）的有理化因式可以是　 　，分母有理化得　 　．

（2）计算：

①．

②已知：，，求的值．

23．（10分）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．（11分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中、、、均为正整数），则有，

，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　；

（2）若，且、、均为正整数，求的值；

（3）化简：．

25．（11分）如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．

（1）填空：　　；

（2）当点在边上时，求的值；

（3）与重合部分图形的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．

26．（12分）如图1，在中，，，点在延长线，，点在边上，四边形为正方形．

（1）填空：　　；

（2）求的值；

（3）连结交于点，如图2，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．

2021-2022学年辽宁省大连市高新园区名校联盟八年级（下）月考数学试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意；

、是最简二次根式，符合题意；

、，不是最简二次根式，不符合题意；

、，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：．

2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是　　

A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．12，15，20

【解答】解：、，

不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

、，

能构成直角三角形，故本选项符合题意；

、，

不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

、，

不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：．

3．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项错误；

，故选项错误；

，故选项错误；

，故选项错误．

故选：．

4．（3分）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积为　　

A．5 B．9 C．16 D．25

【解答】解：在中，，，，

，

正方形的面积，

故选：．

5．（3分）下列各式中，与能合并的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；

选项，原式，故该选项符合题意；

选项，原式，故该选项不符合题意；

选项，原式，故该选项不符合题意；

故选：．

6．（3分）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是　　

A．30 B．40 C．50 D．60

【解答】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，

这个直角三角形的面积为，

故选：．

7．（3分）如图，每个小正方形的边长都相等，、、是小正方形的顶点，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，设每个小正方形的边长都是，

根据勾股定理可以得到：，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故选：．

8．（3分）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：由图知：，

，，

原式．

故选：．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，以长为半径画弧交轴上点，则点的坐标为　　

A． B． 

C． D．或

【解答】解：点、的坐标分别为、，

，，

，

，，

点坐标为；点坐标为．

故选：．

10．（3分）下列命题：

①全等三角形的对应角相等；

②一个正数的绝对值等于本身；

③若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形；

④等边三角形的三个内角都等于．

其中逆命题是真命题的是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③

【解答】解：①全等三角形的对应角相等的逆命题是对角线相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题；

②一个正数的绝对值等于本身的逆命题是绝对值等于本身的是正数，原命题是假命题；

③若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边长、、满足，是真命题；

④等边三角形的三个内角都等于的逆命题是三个内角都等于的三角形是等边三角形，是真命题；

故选：．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：，

，

故答案为：．

12．（3分）在中，，若，则　18　．

【解答】解：在中，，

，

，

，

．

故答案为：18．

13．（3分）已知长方形的面积为12，其中一边长为，则该长方形的另一边长为 　　．

【解答】解：长方形的面积为12，其中一边长为，

该长方形的另一边长为：．

故答案为：．

14．（3分）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　4.55　尺．

【解答】解：设折断处离地面尺，根据题意可得：

，

解得：，

答：折断处离地面4.55尺．

故答案为：4.55．

15．（3分）已知，，则　　．

【解答】解：原式

，

故答案为：．

16．（3分）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕的长为 　　．

【解答】解：，，，

．

根据折叠的性质，，，．

．

在△中，设，则，根据勾股定理得

．

解得．

．

．

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）

17．（9分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

18．（9分）已知，求代数式的值．

【解答】解：，

，

代数式的值为．

19．（9分）如图，在中，于点，，，．求与的长．

【解答】解：，，，，

，

在中，

由勾股定理得：，

在中，

由勾股定理得：，

．

答：的长为25，的长为15．

20．（12分）如图所示，一架25米长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端到墙的距离为7米．

（1）求这个梯子的顶端距地面的高度的长；

（2）如果梯子的顶端沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗？请说明你的理由．

【解答】解：（1）在中，由勾股定理得，

即，

所以，

即这个梯子的顶端距地面的高度的长度是；

（2）梯子的底端在水平方向滑动了．

理由：云梯的顶端下滑了至点，

，

在△中，由勾股定理得，

即．

所以

，

即梯子的底端在水平方向滑动了．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．（9分）如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？

【解答】解：依题意可知：．

在中，，（海里），海里，

（海里），

乙船的航速为（海里时）．

22．（10分）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）的有理化因式可以是　　，分母有理化得　 　．

（2）计算：

①．

②已知：，，求的值．

【解答】解：（1）的有理化因式可以是，分母有理化得：；

故答案为：；

（2）①原式；

②，，

．

23．（10分）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

【解答】证明：（1），是的中点，

，

在和中，

，

，

，

，是等腰直角三角形，

，

，

；

（2），

，

，

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

即．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．（11分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中、、、均为正整数），则有，

，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　；

（2）若，且、、均为正整数，求的值；

（3）化简：．

【解答】解：（1），，

，．

故答案为，；

（2），，

，，

、均为正整数，

、或，，

或7；

（3），

则

．

25．（11分）如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．

（1）填空：　　；

（2）当点在边上时，求的值；

（3）与重合部分图形的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）在等腰中，，，

，

故答案为：；

（2）如图，是等腰直角三角形，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，，

，

，

，，

，

，

，

；

（3）当时，重合部分的面积为的面积，

；

当时，如图所示，设，分别交于点，，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

；

当时，如图所示，

．

综上所述，．

26．（12分）如图1，在中，，，点在延长线，，点在边上，四边形为正方形．

（1）填空：　15　；

（2）求的值；

（3）连结交于点，如图2，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1），，

，

，

，

故答案为：15；

（2）如图1，过点作于，

则，

设，

，

，

在中，，

，

，

，

，

四边形为正方形，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

；

（3），理由如下：

如图2，过作于，于，

设，

四边形为正方形，

，，

由（1）可知，，

，

在中，，

，

，

在中，，

是等腰直角三角形，

，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

由（2）可知，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，，

，

即、、三条线段之间的数量关系为：．

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