四川省成都市2022届高三下学期第一次适应性考试数学（理）试题-

这是一份四川省成都市2022届高三下学期第一次适应性考试数学（理）试题-，共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知命题，已知，且恒成立，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
四川省成都市2022届高三下学期第一次适应性考试数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若，则（       ）
A．1+i B． C．2 D．
3．下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线图．

根据该折线图判断，下列结论正确的是（       ）
A．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠
B．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠
C．投资额与年份负相关
D．投资额与年份的相关系数
4．已知实数x，y满足，则x＋1的最小值是（       ）
A．－1 B．－2 C． D．
5．已知命题：的展开式中，第2项的二项式系数为；命题q：若，是两个非零向量，则是的充要条件．下列命题为真命题的是（       ）
A． B． C． D．
6．若，，，则实数a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A，B，C，D是该三棱锥表面上四个点，则直线AC和直线BD所成角的余弦为（       ）


A．0 B． C． D．
8．已知，且恒成立，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
9．纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（       ）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为的等边三角形ABC中，圆与△ABC相切，圆与圆相切且与AB，AC相切，…，圆与圆相切且与AB，AC相切，依次得到圆，，…，．当圆的半径小于时，（），n的最小值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于、两点，为线段的中点，以为直径的圆与轴交于、两点，若上存在一点到焦点的距离为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
12．如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD＝3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C－ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（       ）

A．点P落在三棱锥E－ABC内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则点P的轨迹长度为
D．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则线段长度为定值
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
13．已知等差数列满足，且，则______．
14．已知是双曲线的右焦点，、是上关于原点对称的两点，若，且的面积为，则双曲线的离心率为______．
15．已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
16．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
评卷人
得分



三、解答题
17．在某次校园科技节游园活动中，数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏．如果玩家投中1或者6可得1分，并且可以继续下一次投骰子，如果结果为2到5则游戏结束，但游戏的次数最多不超过4次，以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数，Y表示游戏结束时玩家获得的奖励．
(1)求X的分布列；
(2)若，求Y的期望．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．
①向量与向量平行．
②
③
(1)确定角A和角B之间的关系；
(2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．
19．如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，且，，.

(1)求证：；
(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值.
20．点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点作圆的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围．
21．已知
(1)当时，求的单调性；
(2)讨论的零点个数．
22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设与的交点为M，当m变化时，M的轨迹为曲线C．
(1)写出C的普通方程；
(2)曲线的极坐标方程为：，当曲线与曲线C有交点Q时，求最小值．
23．已知．
(1)若m＝2，求的解集；
(2)若实数a，b，c满足，，使成立，求实数m的取值范围．

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
， 而，
因为，故，
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
根据共轭复数的定义求出，然后利用复数的模长公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
所以，
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
根据折线图数据变化趋势，结合回归分析思想即可逐项判断.
【详解】
因2009年之前与2010年之后投资额变化较大，故为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠，所以A错误，B正确；
随年份的增长，投资额总体上在增长，所以投资额与年份正相关，，故CD错误．
故选：B．
4．A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程，利用数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案.
【详解】
作出约束条件的可行域如图所示，可行域围成三角形区域，
其中,,,
令，即，该直线表示垂直于轴的直线，即该直线过点时，有最小值，即，
故选：A.

5．B
【解析】
【分析】
由二项式定理写出展开式通项，得到第2项的二项式系数判断的真假，利用向量数量积的运算律，结合充分、必要性定义判断的真假，进而判断它们所组成的复合命题的真假即可.
【详解】
由的展开式通项为，
所以第2项为，故二项式系数为，为假命题；
由，可得且它们为两个非零向量，即，充分性成立，
由两个非零向量，则，，故，必要性也成立，
所以为真命题.
综上，为真命题，为假命题，
所以为假，为真，为假，为假.
故选：B
6．A
【解析】
【分析】
应用指对数互化及对数的性质判断的大小及范围，讨论，结合对数的性质确定其范围，即可得答案.
【详解】
由，
而：当时不满足；当时不满足，
所以.
综上，.
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，根据线面垂直的判定有面，线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定和性质得，即可得结果.
【详解】
由三视图可得如下几何体：

，，，则面，
又面，则，而，
由，则面，又面，
所以，故直线AC和直线BD所成角的余弦为0.
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
将恒成立不等式化为，利用导数可求得单调性，可知，由此可得；由知：，求导后，根据的范围讨论单调性，进而得到；由可求得结果.
【详解】
由，得：；
令，，
令，则，
在上单调递减，，则，
在上单调递减，，；
令，则，
，；
当时，，在上单调递增，，不合题意；
当时，，在上单调递减，，满足题意；
当时，，使得，又在上单调递减，
当时，，在上单调递增，则，不合题意；
综上所述：；
.
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
利用相邻元素捆绑法和古典概型公式求解即可.
【详解】
从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，
偶数的球被连续抽取出来，共有，
则偶数的球被连续抽取出来的概率.
故选：C
10．A
【解析】
【分析】
设圆的半径为，则可证为等比数列，求出其通项后可求n的最小值.
【详解】

如图，设圆与相切于点，过作的垂线，垂足为，
则，故，
设圆的半径为，则即，
而内切圆的半径即，
故，所以即为等比数列，所以，
令，则，所以，
故的最小值为5，
故选：A.
11．D
【解析】
【分析】
由抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的方程，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出以及点的坐标，可得出的表达式，即可求得的最小值.
【详解】
抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，可得，
所以，抛物线的方程为，则，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
，所以，以线段为直径的圆的半径为，
线段的中点为，所以，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
对于A,求出三棱锥和三棱锥的体积之间的关系，根据几何概型的概率公式即可判断；对于B，根据面面平行的相关知识确定轨迹，即可求得其长度；对于C,建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，确定在面ADC内的轨迹，即可求得轨迹长度；对于D，结合题意以及C的分析，可知DP不是定值，从而不是定值，即可判断.
【详解】
如图所示，由题意可知底面BCD,

由于E为线段BD中点，
故 ,
故P落在三棱锥内部的概率为 ,故A正确；
若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上，
如图所示，设CD的中点为F,AD的中点为G,连接EF,FG,EG,
则平面EFG平面 ABC,

则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF,
由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，故 ,
则 ,故B正确；
若点P在平面ACD上，且满足，以D为原点，DC,DA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，

则 ,设 ，则 ，
即，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧 （如图示），由可得，则,
则点P的轨迹长度为,故C正确；
由题意可知 ,故平面ADC,
故 ,由于P在圆弧上，圆心为M,
故PD的长不是定值，如上图，当 位于N点时， ,
当位于T点时，,故线段PB长度不是定值，D错误，
故选：D
13．1
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质求解即可.
【详解】
因为，所以，即.
因为，则，
所以.
故答案为：1
14．
【解析】
【分析】
设双曲线的左焦点为，连接、，分析可知，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，利用三角形的面积公式可得出、的等量关系，结合双曲线的离心率公式可求得结果.
【详解】
设双曲线的左焦点为，连接、，

因为为、的中点，则四边形为平行四边形，则，
，则，则，
由双曲线的定义可得，由勾股定理可得，
因为，
所以，，所以，，
所以，，，因此，双曲线的离心率为.
故答案为：.
15．17
【解析】
【分析】
利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】
由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
16．0
【解析】
【分析】
根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.
【详解】
解：因为为偶函数，
所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，
又因为为奇函数，
所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期为4，
在＝－中令       ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，
，
，
所以则0.
故答案为：0.
17．(1)分布列见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）列出X可能的取值，分别求出概率，即可得到分布列；
（2）由X可能的取值得出的取值，并求出相应概率，利用期望公式即可求解.
(1)
在单次投骰子中，投中1或者6的概率为，投中2到5的概率为
由题得X的可能取值为0，1，2，…，4，
依题意得，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P






(2)
因为，所以Y＝0，1，2
Y
0
1
2
P




所以.
18．(1)2B＝A
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①：利用两个向量平行的坐标公式和正弦定理以及两角和差的正弦公式化简可得；选②：由余弦定理和正弦定理以及两角和差的正弦公式化简可得；选③：由二倍角公式及两角和差的公式化简可得.（2）利用正弦定理和角平分线的性质可得答案.
(1)
若选①：因为向量与向量平行，所以，由正弦定理，可得

∵，，，∴或
∴（舍）或2B＝A，即2B＝A
若选②：，
所以，由正弦定理，可得



∵，，，∴或
∴（舍）或2B＝A，即2B＝A
若选③：

，∵，∴
所以上式化为
∵，，∴，即．
(2)
如图，作出△ABC示意图如下：


∵2a＝3b，由正弦定理，可得，
过D向AB作垂线，垂足为H，∴．
因为BD＝AD，所以H是AB中点，AB＝c＝6．因为BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，
因为∠BAC＝2∠B＝∠BAD＋∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD，AD是∠BAC的角平分线，
即有，解得．
19．(1)详见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，由平面CEDF，结合，证明平面ABCD，从而得到即可；
（2）连接，以O为原点，分别以为y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面BEF的一个法向量为，直线AE与平面BEF所成角的正弦值为，由求得a，再求得平面ABE的一个法向量为，然后由求解.
(1)
如图所示：

连接，因为平面CEDF，
所以，又，且，
所以平面ABCD，
所以，又为EF的中点，
所以；
(2)
连接，则垂直于圆柱的底面，
以O为原点，分别以为y，z轴建立空间直角坐标系；

则，
所以，，
设平面BEF的一个法向量为，
则，即，
令，则，
设直线AE与平面BEF所成的角为，
则，
化简得，因为，
所以，，
设平面ABE的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
由图象知：二面角为锐角，
所以二面角平面角的余弦值是.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设点，通过得到等式关系，化简求得曲线方程；
（2）设切线方程，通过点到切线的距离，化简成的一元二次方程，再韦达定理得出与的等式关系，再求出弦长，消去，再求面积即可．
(1)
设，由，得，两边平方得，
所以曲线C的方程为；
(2)
设点的切线方程为（斜率必存在），圆心为，r＝1
所以到的距离为：
平方化为，设PA，PB的斜率分别为，
则，
因为PA：，令x＝0有，同理
所以
又因为代入上式化简为
所以，
令，，求导知在为增函数，所以．
21．(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2)当，0个零点；当或，1个零点；，2个零点
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，可得，令，利用导数说明的单调性，即可求出的单调区间；
（2）依题意可得，令，则问题转化为，，当时显然不成立，当时，参变分离可得，令，，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象，数形结合即可得解；
(1)
解：因为，，
所以，
令，，所以在单增，且，
当时，当时，
所以当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增
(2)
解：因为
令，易知在上单调递增，且，
故的零点转化为即，
当时无解，
当时，令，，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，
所以的大致图象如下：

①当即时，与没有交点，故函数有0个零点；
②当或即或时，与有个交点，故函数有1个零点；
③当即时，与有个交点，故函数有2个零点；
综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；
22．(1)；
(2)2.
【解析】
【分析】
（1）消参法得到的普通方程，公式法得到的普通方程，联立、消去参数m，即可得C的普通方程.
（2）由（1）知C的极坐标方程为，联立得，根据的几何意义及正弦函数的性质即可得最小值．
(1)
曲线的普通方程为y＝x＋m，曲线的普通方程为，
联立得：C的普通方程为xy＝2，即．
(2)
C的极坐标方程为，
联立，可得，
当，即时，最小为4，
所以最小值为2．
23．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）时，利用零点分段法解绝对值不等式，分别求解，，三种情况取并集即可；
（2）先利用基本不等式求出的最大值，再利用绝对值的三角不等式得到，原不等式转换为，求其解集即可.
(1)
∵m＝2，，
∴当，时，无解；
当时，，∴；
当时，，成立．
综上所述：的解集为．
(2)
∵，∴，
同理可得，，
所以当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∵，使成立，
由，当且仅当时等号成立，
∴，即．