四川省成都市2021-2022学年高三下学期第一次适应性考试数学（文）试题（含答案）

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（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第 I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．
3．下图是某公司2001年至2021年收益额（单位：万元）的折线图．
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A．为预测2022年的收益额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠
B．为预测2022年的收益额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠
C．收益额与年份负相关
D．收益额与年份的相关系数
4．已知实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知命题p：的充要条件是且；命题q：若，是个非零向量，“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
6．若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A，B，C，D是该三棱锥表面上四个点，则直线AC和直线BD所成角的余弦为（ ）
A．0B．C．D．
8．已知，且恒成立，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
9．已知向量，，，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
10．如图，在边长为的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆与圆相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，．当圆的半径小于时，（），n的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．已知抛物线C：（））的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，Q为线段AB的中点，以AB为直径的圆与x轴交于M，N两点，若C上存在一点E（t，2）到焦点F的距离为3，则sin∠QMN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C−ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（ ）
A．点P落在三棱锥E−ABC内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点P在平面ACD上，且满足PA=2PD，则点P的轨迹长度为
D．若点P在平面ACD上，且满足PA=2PD，则线段PB长度为定值
第 II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．已知等差数列满足，且，则________．
14．若函数（）满足，则________．
15．已知F是双曲线C：（，）的右焦点，A，B是C上关于原点O对称的两点，若，且△OAF的面积为，则双曲线C的离心率为________．
16．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：每题12分，共计60分．
17．根据新高考改革方案，计入高考总分的考试科目共有6门，即“3+1+2”，“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科，使用全国卷，选择性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门．由考生根据报考高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理和历史中选择1门，再从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．
（1）若某学生根据方案从选择性考试科目中随机选择三科，求该生恰好选到政史地的概率；
（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解学生选科的需求，随机选取100名学生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有99%的把握认为“选科与性别有关”？
附表：
，其中．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．
①向量与向量平行；
②；
③；
（1）确定角A和角B之间的关系；
（2）若D为线段BC上一点，且满足BD=AD=4，若，求b．
19．如图，在圆柱OO1中，四边形ABCD是其轴截面，EF为⊙O1的直径，且EF⊥CD，AB=2，BC=a（）．
（1）求证：BE=BF；
（2）若直线AE与平面DEF所成角为，求三棱锥A−BEF的体积．
20．点P为曲线C上任意一点，直线l：，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点F（，0），且．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上的点（，）（）作圆的斜率为k1，k2的两条切线，切线与y轴交于A，B，若，求|AB|．
21．已知．
（1）当时，求的单调性；
（2）讨论的零点个数．
（二）选考题：共10分．考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4−4：坐标系与参数方程】
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设C1与C2的交点为M，当m变化时，M的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）曲线C3的极坐标方程为：，当曲线C3与曲线C有交点Q时，求最小值．
【选修4−5：不等式选讲】
23．已知．
（1）若，求的解集；
（2）若实数a，b，c满足，，使成立，求实数m的取值范围．
选择物理
选择历史
合计
男
40
10
50
女
30
20
50
合计
70
30
100
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635