2022届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第四次模拟联考理科数学试题

绝密★启用前

2022届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第四次模拟联考理科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知复数满足,则=

A． B． C． D．

2．已知，，则集合M、N之间的关系为（       ）

A． B．

C． D．

3．新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同型号的N95口罩，A、B、C三种型号的口罩产量之比为．为了提高这三种口罩的质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．在样本中B种口罩数量比A种口罩数量多40只，比C种口罩数量多80只，则n=（       ）

A．240 B．280 C．320 D．360

4．若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（       ）

A． B． C． D．

5．下列说法错误的是（       ）

A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强

B．若，且，则

C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%

D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

6．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

7．已知中，，，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（       ）

A． B． C． D．

8．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形E是BC的中点，则下列叙述正确的是（       ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．平面

9．已知，为的导函数，则的图像大致是（       ）

A． B．

C． D．

10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（       ）

A．7 B． C． D．

11．在法国启蒙思想家狄德罗所著的《论盲人书简》一书中，向读者介绍了英国的盲人数学家桑德森发明的几何学研究盘，如下图所示，它是在刻着田字格的板上钉钉子，钉子钉在田字格的9个格点处，只要用手触摸钉子的位置和大小，就可以进行结构的研究．假设钉子有大、小两种，在田字格上至少有一个钉子、至多有两个钉子，且田字格的中心必须有一个钉子．如果钉子的不同排法代表不同的几何结构，那么按照这样的规则，共可以研究多少种不同的几何结构？（       ）

A．18 B．32 C．34 D．36

12．函数，其中，记，则（       ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．圆锥顶点为点，母线长为，底面圆O上三点A，B，C构成正三角形，若SA，SB，SC两两垂直，则圆锥的侧面积为______．

14．已知等差数列的前n项和为，且，则______．

15．运动会上甲、乙、丙、丁四人参加100米比赛，A，B，C，D四位旁观者预测比赛结果，A说：甲第三，乙第四；B说：甲第二，丙第一；C说：乙第二，丙第三；D说：乙第三，丁第一．比赛结束后发现，四位旁观者每人预测的两句话中，有且只有一句是正确的，比赛结果没有并列名次，则甲是第______名．

16．已知函数（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy中，所有满足的点都不在圆C上，则圆C的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．

17．已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．

(1)求时函数的值域；

(2)若函数图像向右平移m个单位长度后与函数的图像重合，求正数m的最小值．

18．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为，子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，往往沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：

注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．

(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数中位数与晚睡人群睡眠指数中位数分别在第几组，并说明理由；

(2)据统计，睡眠指数在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数在区间内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．

19．已知边长为2的等边（图1），点D和点E分别是边AC，AB上的中点，将沿直线DE折到的位置，使得平面平面BCDE，点O和点P分别是边DE，BE的中点（图2）．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．

21．已知函数 ，为的导函数．

(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；

(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上任意一点，若将点的极径伸长为原来的倍至点，极角不变，记点的轨迹为．

(1)求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

(2)设直线与曲线的交点为，，求．

23．已知不等式的解集为A，a，．

(1)若或，求的最小值；

(2)若，且，求的最小值．

参考答案：

1．D

【解析】

【详解】

试题分析：由得，故选D．

考点：复数运算．

2．C

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合N，即可判断M、N之间的关系.

【详解】

由，

由等价于，可得，

所以.

故选：C

3．A

【解析】

【分析】

根据样本中、、三种不同型号的数量关系结合比例，由题意列出方程组求解即可.

【详解】

设A，B，C三种口罩数量分别为a，b，c，则，

所以，∴，则，，

∴，

故选A.

4．B

【解析】

【分析】

求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

根据相关系数的概念，可判定A不正确；C、D正确，根据正态分布曲线的对称性，可判定B正确.

【详解】

对于A中，根据相关系数的定义知：相关系数越大且，两个变量的线性相关性越强，所以A不正确；

对于B中，若，且，

可得，所以B正确；

对于C中，根据相关系数的概念，当相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为，所以C正确；

对于D中，根据数据的残差的定义，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以D正确.

故选：A.

6．C

【解析】

【分析】

分别判断的真假，结合复合命题真假性的判断对选项逐一判断即可.

【详解】

由指数函数的性质易知显然是真命题，

，当且仅当取等号，

但是不存在使得等号成立，故为假命题，

因此为假，为假，为真，为假，

故选：C．

7．B

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算法则，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】

如图所示，根据向量的线性运算法则，可得，

因为，且为的中点，可得，所以，

又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且，所以，

则.

故选：B.

8．C

【解析】

证明共面，由此判断A选项错误.由与不垂直，判断B选项错误.通过证明平面，证得，由此判断C选项正确.由而与平面相交，判断D选项错误.

【详解】

对于A选项，由于都含于平面，所以不是异面直线，故A选项错误.

对于B选项，由于，所以与平面不会垂直，故B选项错误.

对于C选项，在等边三角形中，，根据直三棱柱中易得，所以平面，所以，所以C选项正确.

对于D选项，由于，而与平面相交，所以直线与平面不平行，故D选项错误.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.

9．B

【解析】

【分析】

对函数求导得，易知为奇函数，排除A、D选项；

又对求导，易得在是递减，即可求解.

【详解】

，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令，，

当，，在递减，

故选B．

10．D

【解析】

【分析】

根据题意可知和抛物线的焦点为，由此可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求出点坐标，再根据弦长公式即可求出结果.

【详解】

由题意可知，轴，

又光线从点射入，经过上的点，

所以，

又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，

联立方程，整理可得，所以或

所以，所以.

故选：D．

11．C

【解析】

【分析】

根据题意，分为田字格上只有一个钉子，此钉子只能钉在田字格中心和田字格上钉两个钉子，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】

第一类：若田字格上只有一个钉子，此钉子只能钉在田字格中心，可以有钉大、小两种，此类共有种不同结构；

第二类：若田字格上钉两个钉子，第一步：中心处必须钉钉子，有大、小两种可能，第二步：在其余个位置选择一个位置钉钉子，此位置有大、小钉子两种选择，所以此类情况共有种不同结构：

所以两类共有34种不同结构．

故选：C．

12．A

【解析】

【分析】

由条件结合对数运算性质可求，再结合倒序相加法求，利用裂项相消法求.

【详解】

，∴

，

，∴

，

故选：A．

13．

【解析】

【分析】

根据题意，求得，且，结合圆锥侧面积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，因为SA，SB，SC两两垂直，且，

在直角，可得，

所以，即圆锥底面圆的半径为，

所以圆锥侧面积为.

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

根据题设条件，求得，在结合求和公式，即可求解.

【详解】

设等差数列公差为，

因为，可得，

又因为.

故答案为：.

15．二

【解析】

【分析】

根据A说两句话中，分类讨论，结合B、C、D的说法，进行判定，即可求解.

【详解】

由题意，若A说两句话中，当甲第三正硧，则B说甲第二错误，丙第一正确，

则C说：丙第三错误，乙第二正确，

则D说乙第三错误，丁第一正确与B说丙第一正确矛盾；

若A说两句话中，当乙第四正确，甲第三错误，则C说乙第二错误，丙第三正确；

D说乙第三错误，丁第一正确，则B说丙第一错误，甲第二正确．

故答案为：二.

16．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据题意，得到，且关于点中心对称，得到，进而化简得到，即可得到答案.

【详解】

由题意，函数在上单调递增，且，

所以曲线关于点中心对称，所以，即，

在平面直角坐标系中所有满足，即的点都不在圆C上，

所以圆C上的点都满足，即圆在表示的半平面内，

故圆C可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C的方程可以为.

故答案为：（答案不唯一）.

17．(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；

若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；

（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；

若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；

(1)

若选择条件①作为已知：，

时，，

，

故函数的值域为；

若选择条件②作为已知：

时，，，

故函数的值域为；

(2)

若选择条件①作为已知：

函数图像向右平移个单位长度后，

得到函数，即的图像，

∵的图像与函数的图像重合．

∴，，即，，

当为正数时，．

若选择条件②作为已知：

函数图像向右平移个单位长度后，

得到函数，即的图像．

的图像与函数的图像重合．

∴，，即，，

当为正数时，．

18．(1)第2组，理由见解析

(2)分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）求得和，以及，，即可得到结论．

（2）根据题意，得到随机变量得可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.

(1)

解：根据频率分布直方表中的数据，

可得，且，

所以早睡人群睡眠指数中位数在第4组；

因为，，所以晩睡人群睡眠指数中位数在第2组．

(2)

解：由题意，睡眠指数在区间内的人群中，早睡人群约占，

可得随机变量得可能取值为，

则，，

，，

可得随机变量得分布列为：

则期望为.

19．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

(1)

连接BD．∵点和点分别是边DE，BE上的中点，∴，

等边中，点是边AC的中点，∴，∴

等边中，点是边DE的中点，∴，

又∵平面，平面平面BCDE，

且平面平面，

∴平面BCDE，∴，

∵，∵，平面

∴平面；

(2)

连接BC的中点，由题意得，以O为坐标原点，

分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，．

设平面的法向量为．

由，

取，得；

因为平面BCDE的法向量为．

．

所以二面角的余弦值为．

20．(1)

(2)存在满足条件，分析见解析.

【解析】

【分析】

(1)由条件列关于的方程，解方程可得椭圆C的方程；(2)联立方程组，利用设而不求结论求直线，的交点，由此确定的方程.

(1)

∵，所以，故，

∵     ∴，又，所以

∴椭圆C的方程为∴

(2)

由已知可得直线l的斜率一定存在，

设直线l的方程为

得：，

．

设，，则

，

∴

，，

，，

令

∴，

∴

∴存在直线满足题意

【点睛】

直线与椭圆的综合问题的综合问题的解决一般考虑利用设而不求法确定交点的坐标关系，再结合条件求解即可.

21．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)求导，根据导函数的符号以及零点存在定理可以证明；

(2)求导后，参数分离，构造函数求最大值即可.

(1)

当时， ，

，

，，

令 ，

则 ，所以导函数 在区间单调递减，

又 ，

，

据零点存在定理可知， 存在唯一零点，

使得 ，

所以当时， ，在区间上单调递增，

当]时， ，在区间上单调递减，

所以函数在区间内存在唯一的极值点，

又，所以；

(2)

若在上单调递减，则 在上恒成立，

参变分离得 ，，

令 ，，

即是求 在 时的最大值，

，

当时，   ，令 ，

则 ， 单调递增，

， ，

根据零点存在定理可知，存在唯一，

使得 ，

∴ 在上单调递减，在上单调递增，

，

， ， ，

根据零点存在定理可知，存在唯一，

使 ， ，

大致图像如下：

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

，

， ∴，，∴；

综上，a的最小值为1.

【点睛】

本题的难点在第二问，参数分离后用导数求最大值时，

必须要用缩放法才能判断导函数的零点位置，可以先画出导函数的大致图像，

根据图像判断零点位置，再考虑用缩放法，精确求解.

22．(1)：，：

(2)

【解析】

【分析】

（1）由直线的参数方程，消去参数求得到直线的普通方程，设，则在曲线上，代入化简，即可求得曲线的极坐标方程．

（2）求得直线的极坐标方程，得到，代入的极坐标方程，求得，，结合，即可求解．

(1)

解：由直线的参数方程（为参数），消去参数，可得其普通方程为，设，则在曲线上，所以，

所以曲线的极坐标方程为．

(2)

解：由，可得直线的极坐标方程，

所以，代入的极坐标方程得，

令，，

由，且，，

则．

23．(1)3

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意可知方程的根为，利用根与系数的关系可求出的值，再根据绝对值三角不等式即可求出结果；

（2）根据题意可知，再根据，利用基本不等式即可求出结果.

(1)

解：由于不等式的解集为或，

所以．

∴（当且仅当时，等号成立）

(2)

解：当时，不等式为，

因为，，所以可得，

所以

（当且仅当时，等号成立），所以的最小值等于．