2022年高考押题预测卷04-决胜2022年高考押题预测卷（江苏等八省新高考地区专用）（原卷+解析）.doc...

2021-2022学年高三数学下学期仿真模拟试卷04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，故.

故选：B.

2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】A

【解析】化简原式可得：

z为纯虚数时，≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误.

故选：A

3．设为等差数列的前项和，，，则（    ）

A. -6 B. -4 C. -2 D. 2

【答案】A

【解析】由已知得

解得．

故选：A．

4．已知直线与圆：相交于、两点，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】充分性：若，则，此时，，；

必要性：若，因为，则圆心到直线的距离，

即，解得.

故选：C

5．设函数则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】因为，所以，，

则，即，

的函数图象如下所示：

由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；

故选：A

6．已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】因为，

所以．

所以，

所以，

得，

因为，

所以．

故选：C．

7．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，以为直径的圆经过点，则的离心率为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】由已知，易知：，，，

所以，

化简得：，

即，，

解得：因为，故，

故选：C.

8．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，是半径分别为的两个同心圆的圆心，等腰三角形的顶点在外圆上，底边的两个端点都在内圆上，点在直线的同侧．若线段与劣弧所围成的弓形面积为，△与△的面积之和为，设．经研究发现当的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角形面积公式，将表示为的函数，利用导数研究其单调性和最值即可.

【详解】由题意可知，，故，

又，

，

设劣弧所对扇形面积为，则，

故，

，

则；

令，，则，

令，得或（舍去），

记，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当，即时，取得最大值，即取得最大值．

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．冬末春初，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到正常的工作以及生活．某市健康部门认为：若任意连续10天，每天不超过7人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列在过去10天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（    ）

A. 中位数为2，极差为5 B. 平均数为2，众数为2

C. 平均数为1，方差大于0 D. 平均数为2，标准差为

【答案】AD

【解析】对于A，中位数为2，极差为5，所以最大值不会超过7，符合；

对于B，若过去10天的人数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，也满足平均数为2，众数是2，但有一天超过7人，所以不符合；

对于C，若过去10天人数为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，也满足平均数是1，方差大于0，但是有一天超过7人，所以不符合，

对于D，若至少有一天发热人数超过7人，则方差最小值为，与题意矛盾，所以符合，

故选：AD．

10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC､BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 为定值

C. 的取值范围是[-2，0] D. 当时，为定值

【答案】ABD

【解析】如图，连接，设的中点为，连接，则.

故，故A正确；

如图，设直线PO与圆O交于E，F，

则

，故B正确；

取AC的中点M，连接OM，

则

，

而，故的取值范围是，故C错误；

当时，

，

故D正确.

故选：ABD.

11．在正方体中，点E为线段上的动点，则（    ）

A. 直线DE与直线AC所成角为定值 B. 点E到直线AB的距离为定值

C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球的体积为定值

【答案】AC

【解析】如图所示：

A.因为，又，所以平面，又平面平面，，则直线DE与直线AC所成角为定值，故正确；

B. 当点E与重合时，点E到直线AB的距离，当点E与重合时，点E到直线AB的距离，故错误；

C.因为三棱锥，且点到面EBD的距离为定值， 为定值，故体积为定值，故正确；

D. 易知 平面，所以三棱锥外接球的球心O在上，当点E移动时，球心O的位置改变，则球的半径R改变，所以外接球体积不为定值，故错误；

故选：AC

12．已知直线l过抛物线C：的焦点F，且直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设，则下列选项正确的是（       ）

A． B．以线段AF为直径的圆与相切

C．GF⊥AB D．当时，直线l的斜率为±

【答案】AC

【解析】

对于A，抛物线的焦点F，准线方程，设直线l的方程，与抛物线方程联立得，，正确；

对于B，，以线段AF为直径的圆圆心为，到直线的距离为，所以以线段AF为直径的圆不与相切，错误；

对于C，，点A处的切线方程为，即，点B处的切线方程为，联立得G，

即G，，，故GF⊥AB，正确；

 对于D，，，，解得，当时，，错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）

【答案】12

【分析】由二项式写出展开式的通项，进而确定常数项对应的r值，即可求常数项.

【详解】由题设，，

当时，常数项为.

故答案为：12.

14.已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图为半圆；②底面半径为正整数，请写出一个这样的圆锥的体积_______.

【答案】（其它合理答案也行）

【解析】设底面半径，母线长为，由展开图为半圆，可知，所以，所以高，则体积.

故答案为：（其它合理答案也行）

15.A､B两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.已知在货车B准点的情况下，货车A晚点的概率为；而在货车A晚点的情况下，货车B准点的概率为.若货车A､B准点的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，则货车B晚点的概率为___________.

【答案】

【分析】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，由条件概率公式得，从而得到答案.

【详解】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，因为，所以.

由条件概率公式得，，

因此，可以求解得到，因此B晚点的概率为.

故答案为：

16．第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年7月在上海举办，会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745.八进制有0～7共8个数字，基数为8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八.八进制数字3745换算成十进制是，表示的举办年份.设正整数，其中，.记，，则_______；当时，用含的代数式表示_____.

【答案】    ①. 2；    ②. .

【解析】因为，所以；

易知，且，

所以.

故答案为：2；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，___________，求的面积.

【答案】.

【解析】选择条件①：依题意，，

在中，由正弦定理得，，

由余弦定理得：，

若A为锐角，则，则，

则，又，解得或，

即有的面积为，

若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，

综上可得，的面积为．

选择条件②：因为，由余弦定理得：，

整理得：，即，

而，则，

若A为锐角，则，有，

由余弦定理得：，

则有，又，解得或，

即有的面积为，

若A为钝角，则，则，舍去，

综上可得，的面积为.

③因为，由余弦定理，

若A为锐角，则，则，

则，又，解得或，

即有的面积为．

若A为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，

综上可得，的面积为.

18．已知递增等比数列的前n项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式．

（2）若数列满足，求数列的前15项和．

【答案】（1）    （2）92

【解析】（1）设的公比为q，则由，得．

整理得．

又，得．

联立得，消去，得．

解得或．

又因为为递增等比数列，

所以，．

所以．

（2）（方法一）当时，，则，，同理，列举得，，，，，，，．

记的前n项和为，则

．

所以数列的前15项和为92．

（方法二）由，

得，

记的前n项和为，则

．

所以数列的前15项和为92．

19．某学校共有3000名学生，其中男生1800人，为了解该校学生在校的月消费情况，采取分层抽样的方式，抽取100名学生进行调查，先统计他们某月的消费金额，然后按“男､女”性别分成两组，再分别将两组学生的月消费金额分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)样本中将月消费金额不低于600元的学生称为“高消费群”.请你根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？

（参考公式：，其中

(2)以样本估计总体，以调查所得到的频率视为概率，现从该学校中随机每次抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的4名学生中“高消费群”的人数为，求的期望和方差.

【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关

(2)

【解析】(1)依据频率分布直方图得：

提出假设：“高消费群”与“性别”无关，

因为，

所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关.

(2)4名学生中每一名学生是“高消费群”的概率为，

所以，所以.

20．如图，在四棱锥中，底面，点在棱上，点在棱上，.

（1）若，为的中点，求证：，，，四点共面；

（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值.

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

则，，，

设，则，解得，

则，即，，，四点共面.

（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，，，

设，（其中），且，

则，解得，

可得

设平面的法向量为，由，

取，可得，所以

设直线与平面所成角为，则，

当且仅当时等号成立.

直线与平面所成角的正弦的最大值为.

21．已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）    （2）存在；或

【解析】（1）由题意知，，

因为△AOF的面积为1，所以．

又直线AF的方程，即，

因为点O到直线AF的距离为，

所以，解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；

当直线斜率不为0时，设直线MN方程为，

联立，得，

易知．

设，，则，，

因为轴，轴，所以，，

所以直线QM：①，

直线NE：②，

联立①②解得，

因为，ME与直线平行，

所以，

因为，

所以，

由，得，

解得，

故存在直线l的方程为或，使得△PMN的面积等于．

22．已知函数，函数，其中.

（1）判断函数在上的单调性，并说明理由；

（2）证明：曲线与曲线有且只有一个公共点.

【答案】（1）函数在上单调递增，理由见解析    （2）证明见解析

【解析】（1），

则函数在上单调递增.

（2）设，题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，

设，，则函数在上单调递减，又，

则当时，；当时，；

当时，，则函数在上单调递减，又，故此时函数有且仅有一个零点；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，则当时，恒成立；

当且时，

，，

则，函数在上存在一个零点，此时函数有且仅有一个零点；

综上即证.