2021-2022学年江西省萍乡市湘东区、安源区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省萍乡市湘东区、安源区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为

A.  B.
C.  D.

3. 用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于”时，首先应该假设这个钝角三角形中

A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都大于等于

4. 若，则下列不等式不一定成立的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，，则此题可利用下列哪种方法来判定≌

A.
B.
C.
D. 缺少条件，不可判定
 

6. 如图，平面直角坐标系中，，将直角绕点顺时针旋转，使点落在轴上的点处，点落在处，若点的坐标为，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 若一个关于的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为______．
8. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是______ ．
9. 已知，，则______．
10. 如图，网格中的每个小正方形的边长为，，是格点各小正方形的顶点是格点，则以，，为等腰三角形顶点的所有格点的位置有______个．
     

11. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______ ．
     

12. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，则的周长为______．
    
    
     

13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点点的坐标为______．
     

14. 如图，已知中，，，若沿射线方向平移个单位得到，顶点，，分别与，，对应，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）

15. 因式分解：
    ；
    ．
16. 解下列不等式组：
    ；
    ．
17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，和的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
    画出向上平移个单位长度居所得到的；
    画出绕点按顺时针方向旋转后所得到的；
    和组成的图形是中心对称图形吗？______，它的对称中心为______．

18. 如图，是等边三角形，点、分别在边、上，且，和相交于点．
    求证：≌
    求的度数．
    
     

19. 如图，已知四边形中，，，，过点作，垂足为，，且点是的中点，求的度数．

20. 年翻开序章，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元．十二月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元．已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为元个和元个．
    求“冰墩墩”和“雪容融“的销售单价；
    进入年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的倍，且购进总价不超过元．求购进“冰墩墩”数量的取值范围；
    为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价后再销售，若年一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
21. 已知是的平分线，点是射线上一点，，点、分别在射线、上，连接、．
    如图，当，时，则与的数量关系是______；
    如图，点、在射线、上滑动，且，当时与在中的数量关系还成立吗？说明理由．
    在问题中，则四边形的面积是否会发生变化？若不会发生变化，请直接写出面积的值，若发生变化，请说明理由．

22. 感知：如图，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需要证明；
    探究：如图，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
    应用：如图，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接；
    探究线段、、之间的数量关系．
    若，，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】解：从左到右的变形是乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
D.分解因式出现错误，应该是，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

3.【答案】

【解析】解：反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于”时，首先应该假设这个钝角三角形中每一个内角都大于等于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，故A不符合题意；
B.，
，故B不符合题意；
C.，不妨设，，
则，故C符合题意；
D.，
，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：在和中，
，
≌．
故选：．
根据直角三角形的判定方法进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
此题关键是运用勾股定理和射影定理求相关线段的长度，根据点所在位置确定点的坐标．要求 坐标，须知 、 的长度，即在 中求 、 的长度．作 于点 ，运用射影定理求解．
【解答】
解：如下图所示，作 于点 ，

点的坐标为 ，
， ，
根据勾股定理得 ；
根据射影定理得， ，
，
，
， ，
在第四象限，
，
故选 B ．   

7.【答案】

【解析】解：由数轴知该不等式组的解集为，
故答案为：．
根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，根据数轴得到两个解集的公共部分是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查对解一元一次不等式和不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集得出 是解此题的关键．根据不等式的性质，不等式的两边都除以 就能得出不等式的解集 ，不等号方向发生改变，所以得到 ，求出即可．
【解答】
解： 关于 的不等式 的解集为 ，
，
．
故答案为 ．   

9.【答案】

【解析】解：
，
当，时，
原式．
故答案为．
首先把已知多项式分解因式然后代值计算即可求解．
本题主要考查了因式分解的应用，提取公因式即可解决问题．
 

10.【答案】

【解析】解：由勾股定理得：，
分三种情况：如图所示：
当为顶角顶点时，符合为等腰三角形的点有个；
当为顶角顶点时，符合为等腰三角形的点有个；
当为顶角顶点时，符合为等腰三角形的点有个；
综上所述：以，，为等腰三角形顶点的所有格点的位置有个；
故答案为：．
由勾股定理求出，分三种情况讨论：当为顶角顶点时；当为顶角顶点时；当为顶角顶点时；即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
，
解得：，
观察图象知：关于的不等式的解集为，
故答案为．
首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案．
 

12.【答案】

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
，，
的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：点的坐标为点的坐标为，沿轴向右平移后得到，
点的纵坐标是，点的纵坐标是．
又点的对应点是直线上的一点，
，解得．
点的坐标是，
．
根据平移的性质知，
点的对应点点的坐标为．
故答案为：．
根据平移的性质知由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即的长度．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化--平移．根据平移的性质得到是解题的关键．
 

14.【答案】或或

【解析】解：分种情况讨论：
当时，如图，过作于，
，，
，
由平移得：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当时，如图，
同理得：四边形是平行四边形，
，
即；
当时，如图，此时与重合，
；
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
故答案为：或或．
已知是等腰三角形，所以可以分种情况讨论：当时，是等腰三角形．作，垂足为，利用勾股定理列方程可得结论；当时，四边形是菱形，可得；当时，此时与重合，．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．
 

15.【答案】解：原式
；
原式

．

【解析】提取公因式即可得到答案；
提取公因式即可得到答案．
此题考查的是提取公因式分解因式，找准公因式是解决此题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：；


解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可；
先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，能正确运用不等式的性质解一元一次不等式和能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键，难度适中．
 

17.【答案】是 

【解析】解：如图所示：即为所求；

如图所示：即为所求；

和组成的图形是中心对称图形，它的对称中心为．
故答案为：是，．
利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
直接利用所画图形结合中心对称图形的定义分析得出答案．
此题主要考查了利用旋转设计图案以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

18.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在和中，

≌；
≌，
，
而，
，
．

【解析】根据等边三角形的性质得到，，而，根据全等三角形的判定得到≌；
根据全等三角形的性质由≌得到，而，则，根据三角形的内角和定理即可得到的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应边相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．也考查了等边三角形的性质．
 

19.【答案】解：如图，连接．
，点是的中点．
，
，
．
在中，，，
，
，
．

【解析】连接根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出在中，根据勾股定理的逆定理得出，那么．
本题考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，作出辅助线求出是解题的关键．
 

20.【答案】解：设“冰墩敏”和雪容融”的销售单价分别为，元，根据题意得：

解得．
答：“冰墩墩”销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元．
设购进“冰墩墩”个，则购进“雪容融”个，
则，
解得且为正整数．
答：购进冰墩墩数里的取值范围是，且为正整数．
设一月份利润为，则，
，
当取最小值，取最大值，
，
时，的最大值为元．
答：“冰墩墩”购进个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为元．

【解析】设“冰墩敏”和“雪容融”的销售单价分别为，元，然后根据售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元，售出了“冰墩墩个和“雪容融”个，销售总额为元列出方程求解即可；
设购进“冰墩墩”个，则购进“雪容融”个，然后根据“雪容融”的数量不超过“冰墩”数量的倍，且购进总价不超过元列出不等式组求解即可；
设一月份利润为，根据利润单件利润数量，列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用．一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解频意列出式子求解是关键．
 

21.【答案】

【解析】解：，
理由：是的平分线，
角平分线上点到角两边的距离相等，
故答案为：；
成立，理由如下：
过点点作于，于，如图，
，
是的平分线，
，
，，
，
而，
，
在和中，
≌，
．
不会发生变化，面积为理由如下：
由可知，≌，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，
四边形是正方形，
．
根据角平分线性质可知；
过点点作于，于，根据垂直的定义得到，由是的平分线，根据角平分线的性质得到，利用四边形内角和定理可得到，而，则，然后根据“”可判断≌，根据全等的性质即可得到．
由知，≌，易得四边形的面积正方形的面积，由此可得出结论．
本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，三角形全等的判定与性质，四边形的面积的转化；由角平分线联想到对应辅助线，进而作出合适的辅助线是解题关键．
 

22.【答案】解：探究：成立，和都是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，
，
≌，
；
应用：，，，
≌，
，
；
，
，
≌，
，
，
，
．

【解析】探究：利用证明≌，得；
应用：同理可得≌，得，则；
由≌得，，则，再利用勾股定理可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．