精练16 双曲线与抛物线-备战2022年新高考数学选填题分层精练

            精练16 双曲线与抛物线

基础练

1．已知直线与双曲线：有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

通过控制直线与双曲线的渐近线的位置关系，即可保证直线与双曲线有公共点，进而求得双曲线的离心率的取值范围.

【详解】

双曲线的一条渐近线为，

因为直线与双曲线有公共点，

故，所以双曲线的离心率.

故选：D

2．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先将抛物线方程化为标准方程，写出焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义得到，再利用平面几何知识求周长的最小值.

【详解】

将化为，

则其焦点，准线方程为，

则，设，

则由抛物线的定义，得，

所以的周长

（当且仅当轴时取得最小值）.

故选：A.

3．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直角三角形内切圆半径，可以由三角形三边之长直接算出，然后得到关于的关系式式，进而可求得双曲线的离心率.

【详解】

由，可知，即△为直角三角形，

则有整理得

则的内切圆的半径为，

又由题意可知：

整理得，则

故双曲线的离心率

故选：D

4．是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】

由双曲线、圆的方程画出示意图，结合三角形三边关系可得，，根据双曲线定义、圆的半径求的最大值.

【详解】

由题设，可得如下示意图：

，，，

，，

，，

和，

，

，，则，

所以，．

故选：D．

5．已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

不妨设在第一象限，根据，可设.把点的坐标代入双曲线方程可得出，利用求根公式即可解出.结合，可求出，从而可求出答案.

【详解】

不妨设在第一象限，因为，所以设，为锐角，

代入双曲线方程可得：，即，

化简可得，即，

因为，所以解得，

因为直线，，所以，即，

所以，所以，所以．

故选：．

6．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（    ）

A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1

B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于

C．的最短长度为6

D．满足的直线有4条

【答案】AD

【分析】

由双曲线的方程求出的值，在双曲线右支上，则的最短长度为可判断A；求出双曲线的渐近线方程，由直线的斜率与渐近线斜率的关系可判断B，讨论的斜率不存在和斜率为时弦长，即可得的最短长度可判断C，由的斜率不存在和斜率为时弦长，结合双曲线的对称性可判断D，进而可得正确选项.

【详解】

由双曲线可得，，所以，

对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确；

对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确；

对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确；

对于D：当，同在双曲线右支上时，，当，在双曲线两支上时，，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确；

故选：AD.

7．已知点F为抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．以AB为直径的圆与y轴相切 B．

C．四边形ACBD面积最小值为 D．若，则直线CD的斜率为

【答案】BD

【分析】

对A,设直线的方程为，分析得到以为直径的圆与抛物线的准线相切，所以选项A错误；

对B, ，所以选项B正确；

对D，若，则，，直线CD的斜率为，所以选项D正确；

对C,设AB的倾斜角为， ，所以选项C不正确.

【详解】

解：对A, 设 ，设直线的方程为，代入抛物线方程可得：，

则，，所以，

所以的中点的横坐标为，，

则的中点到直线的距离为，

即以为直径的圆与抛物线的准线相切，所以选项A错误；

对B,设 ，由前面的分析可知，

，所以选项B正确．

对D，设AB的倾斜角为，如图，过点作准线的垂线,过点作,则,在中，，同理，若，则，，直线CD的斜率为，所以选项D正确.

对C,设AB的倾斜角为，

，所以选项C不正确.

故选：BD

8．双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为．直线过点与的一条渐近线垂直于点，与的右支交于点，若，则（    ）

A．直线轴 B．到直线的距离为

C． D．的离心率为

【答案】BCD

【分析】

由点到直线的距离可得出，，选项A. 直线的方程为：与联立可求出点 坐标,可判断；选项B. 过作直线的垂线，垂足为, 则，由三角形相似可判断；再得出，由条件可得，在中，由勾股定理可得，从而可判断选项C、D.

【详解】

双曲线的渐近线方程为：

设直线与渐近线垂直，垂足为，如图，

则点到直线的距离

在直角三角形中，，则

选项A. 直线的方程为：

由，解得

故直线轴不成立，所以选项A不正确.

选项B. 过作直线的垂线，垂足为, 则

所以与相似

由为的中点,所以，故选项B正确.

选项C. 由与相似，则，

由，即,

在中，由双曲线的定义可得

由勾股定理可得：，即

所以，所以选项C正确.

选项D.  双曲线的离心率为

所以，所以选项D正确.

故选：BCD

9．已知是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为__________．

【答案】

【分析】

延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用，及渐近线方程即可求得结果.

【详解】

延长交于点，∵是的平分线，

，，

又是中点，所以，且，

又，

，，又，

．

双曲线E的渐近线方程为

故答案为：.

10．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为A，C上的动点M在x轴上的射影为B，则的最小值为______．

【答案】

【分析】

根据抛物线的定义可转化为，再转化为求的最大值，利用均值不等式即可求解.

【详解】

由已知可得，，

则点A在C的准线上，根据对称性，不妨设在第一象限，

如图所示，过点M作于点D，

则点B在线段MD上，

且，，

当取最小值时，取最大值，

，

当时，等号成立，故，

所以的最小值为．

故答案为：

提升题

1．抛物线有一条性质为：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，在抛物线内，平行于轴的光线射向，交于点，经反射后与交于点，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据抛物线的性质可知，反射线必过抛物线的焦点，可设直线的方程为，，联立，消，利用韦达定理求得，再根据弦长公式结合二次函数得性质即可得出答案.

【详解】

解：根据抛物线的性质可知，反射线必过抛物线的焦点，

由抛物线，得焦点，

可设直线的方程为，，

联立，消整理得，

则，

所以，

所以当，即时，取得最小值，最小值为4.

故选：C.

2．的最小值为（    ）

A．5 B． C．6 D．

【答案】C

【分析】

设，对要求的式子进行变形，看作抛物线的右半部分上一点P与的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解.

【详解】

设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为，

则

．

故选：C

【点睛】

本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解.

3．已知抛物线的焦点为F，P，Q为抛物线C上的动点，PQ过F，A是抛物线C的准线上一点，AP与x轴交于点B，D在线段PF上满足，，则PF=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设出直线PQ的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理表示出相关线段的长度，进而得到，解方程即可求出结果.

【详解】

设直线PQ的方程为：，，，

由得，所以，，，

所以，若点P在点Q右侧，则，.

如图，分别作于，于，则，

又因为，所以，

由C的方程为知，A为C的焦点，所以，，所以，又因为，所以，代入，得，即，

所以（舍去）或，所以.

故选：A.

【点睛】

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

4．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．点的运动轨迹为双曲线的一部分

C．若，，则

D．不存在点，使得取得最小值

【答案】C

【分析】

根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.

【详解】

由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；

设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，

由双曲线的定义可得：，即，

又，解得，则的横坐标为，

由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；

由且，解得：，

∴，则，

∴，同理可得：，

设直线，直线，联立方程得，

设△的内切圆的半径为，则，解得，即，

∴，

由，可得，解得，故， C正确；

若与关于y轴对称，则且，而，

∴，故要使的最小，只需三点共线即可，

易知：，故存在使得取最小值，D错误.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值．

5．已知实数，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】

因为实数，满足，

所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），

当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，

当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，

当时，其图象不存在，

作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：

任意一点到直线的距离

所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，

双曲线，其中一条渐近线与直线平行

通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，

设与其图像在第一象限相切于点，

由

因为或（舍去）

所以直线与直线的距离为

此时，

所以的取值范围是．

故选：C．

6．已知椭圆和双曲线有交点，且有公共的焦点，，它们的离心率分别为，，若，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的最大值为

C．的最小值为 D．

【答案】ABD

【分析】

由椭圆和双曲线的定义可得，在中由余弦定理可得即 可判断D，

由，代入可判断A；

由得，代入，

构造，利用导数求最值可得可判断BC.

【详解】

不妨设交点在第一象限，，分别为左右焦点，

由椭圆和双曲线的定义可得，

解得，

在中，，由余弦定理可得

，

即有，可得，即，故D正确，

因为，所以，

，即，所以，故A正确；

由得，，

，

令，，

令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，

所以，

故B正确，C错误.

故选：ABD.

7．若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．点的运动轨迹为双曲线的一部分

C．若，，则

D．的最小值为9

【答案】CD

【分析】

根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.

【详解】

由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；

设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，

由双曲线的定义可得：，即，

又，解得，则的横坐标为，

由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；

由且，解得：，

∴，则，

∴，同理可得：，

设直线，直线，联立方程得，

设△的内切圆的半径为，则，解得，即，

∴，

由，可得，解得，故， C正确；

若与关于y轴对称，则且，而，

∴，故要使的最小，只需三点共线即可，

易知：，D正确.

故选：CD.

【点睛】

方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值．

8．已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有（    ）

A．点P的坐标为

B．

C．的面积的最大值为

D．的取值范围是

【答案】AC

【分析】

由，可得，得到点处的切线的斜率分别为和，设过点的切线方程为，联立方程组，由，求得，根据，可判断B不正确；由，得出的直线方程为，将代入直线的方程，可判定A正确；设直线的方程为，根据点到直线的距离公式和弦长公式，求得，可判定C正确；由，结合韦达定理，得到，得出不等式组，可判定D不正确.

【详解】

由题意，设，由，可得，

所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，又由，则，所以不垂直，所以B不正确；

由，所以的直线方程为，即，将代入直线的方程，可得，由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确；

由点在直线上，可设直线的方程为，则点到的距离为，且，所以，因为，可得，所以的最大值为，所以C正确；

由，所以，由，可得，所以，因为，可得，又由，设，可得，即，解得或，即的取值范围是，所以D不正确.

故选：AC.

9．设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，，则双曲线离心率的取值范围是_______

【答案】，

【分析】

设左焦点为，令，，根据双曲线的定义及对称性可得，根据三角形的面积公式可得，利用三角函数求出离心率范围即可.

【详解】

设左焦点为，令，，则，

，

点关于原点的对称点为，，

，

，

，

，

，

，，

，，

，

，．

故答案为：，．

10．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________.

【答案】4

【分析】

根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.

【详解】

因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，

如下图，，

因为，

设，所以，

所以，

设，所以，，所以，

所以，当且仅当，即取等号.

所以的最小值为4，

故答案为：4.