精练10 三角恒等变换-备战2022年新高考数学选填题分层精练

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精练10 三角恒等变换基础练1．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据同角三角函数关系和正弦二倍角公式得到，再利用诱导公式求解即可.【详解】将两边平方可得，则，.故选：A2．桔槔始见于《墨子･备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图1所示.桔槔的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处（点O处）由竖木支撑或悬吊起来，横杆的一端（点A处）用一根绳子与汲器相连，另一端（点B处）绑上一块重石头，如图2所示，已知，，.当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就让另一端的石头下降经测量，，，当桶装满水时水与桶共重150，且当水桶恰好离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为105°，则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为（    ）（由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有（等于水和桶的重力，等于石头的重力）.绳子的重量忽略不计，）A．400.5 B．419 C．439.2 D．445【答案】C【分析】首先由两角差的余弦公式求出的长，然后根据公式直接求解即可.【详解】由题意，得，则，∴（m）.由，得，解得（N），∴当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为439.2N，故选：C.3．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看作一个整理，利用换元法，诱导公式和正弦的万能公式进行求解.【详解】依题意，，设，则，因为，故故选：B.4．若，则（    ）A．－5 B．－3 C．3 D．5【答案】B【分析】利用诱导公式，再利用两角和差的正弦公式展开，然后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】∴故选：B4．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】两式平方后作和，根据两角和差正弦公式可构造方程求得结果.【详解】由得：…①；由得：…②；①②得：，.故选：C.5．已知点为角终边上一点，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出，进而结合二倍角公式将原式化简，最后得到答案.【详解】因为点在角的终边上，所以.因为，所以，所以，则，解得.故选：C.6．（多选题）下列等式成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】CD【分析】利用诱导公式和逆用两角差的正弦公式可判定选项A；利用二倍角的余弦公式变形式可判定选项B；利用两角差的余弦公式可判定选项C；利用切化弦，辅助角公式和二倍角的正弦公式可判定选项D.【详解】因为，故选项A错误；因为，故选项B错误；因为，所以，故选项C正确；因为，所以，故选项D正确；故选：CD.7．（多选题）在△中，，则的大小不可能为（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】将题干中两个式子平方后求和化简可得，结合，可得C＝或，又4sinB＝1－3cosA>0，可得cosA<<，则A>，分析即得解【详解】由，两式平方和得即 9＋16＋24sin(A＋B)＝37，因而.在△中，sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，且因而C＝或，又3cosA＋4sinB＝1化为4sinB＝1－3cosA>0，所以cosA<<，则A>，故C＝故选：BCD8．（多选题）设，，若，则有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据降幂公式和两角差的余弦公式，结合诱导公式逐一判断即可.【详解】因为，所以，因此有，又因为，所以， ∴，即，因为，，所以，即，因此，所以有：，，，故选：ABD.9．若锐角满足，则角的度数为________．【答案】【分析】根据式子结构先化为，平方后切化弦，进行三角恒等变换即可求解.【详解】原式可化为因为为锐角，所以.故答案为：10．如图，一块斜边长为的直角三角尺，其中一个内角为，把该角立在桌面上，使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为，再绕其斜边旋转，则直角顶点到桌面距离的最大值为______.【答案】【分析】由题意知：当与的投影在同一条直线上时，直角顶点到桌面的距离最大，即可求解.【详解】由题意知：当与的投影在同一条直线上时，直角顶点到桌面的距离最大，如图所示：设顶点、在桌面上的投影分别为、，则、、三点共线，设与的夹角为，则，解得：，所以，在中，，，所以，则 ，故答案为： 提升练1．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案.【详解】由，得，则.故选：D.2．已知且，则=（   ）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.【详解】因，则，，因，，则，又，有，于是得，因此，，所以.故选：C3．已知，均为锐角，且，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将变形，配角利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据列不等式求解的取值范围，即可得最大值.【详解】∵，∴，即，∴，即，又因为为锐角，所以该方程有解，即，解得．又为锐角，∴．所以的最大值是.故选：C4．已知，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题要对命题所给信息的各种可能性一一进行分析，既要考虑题设条件，又要挖掘隐含条件，尤其是灵活应用同角三角函数关系式与和差公式，同时结合三角函数的性质求的取值范围.【详解】解法一：设，则，从而可得，即，①又由，得，所以，   ②综合①②得.故选：D.解法二：由，得，而，.故选：D.5．在中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，化简得到，进而得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值，再根据不等式恒成立求解.【详解】因为，所以，所以.因为，，，所以，所以，，当且仅当，时等号成立.要使不等式恒成立，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.6．（多选题）已知，都是锐角，且，则角的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】首先化简得到，即或者，根据，都是锐角，即可得到的值.【详解】由，得，，即，化简得，故或者，已知，都是锐角，所以，，或.所以角的值可能是和.故选：BD【点睛】本题主要考查三角函数的化简，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.7．（多选题）下列等式中不恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】选项A. 由，可得可判断；选项B. 由可判断；选项C. 可判断；选项D. ，可判断.【详解】选项A. 由,则成立，故A 正确.选项B. 由当 时，，则此时，所以B不正确.选项C. ,故C正确.选项D. 所以成立，故D正确故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查利用三角恒等变换证明三角恒等式，解答本题的关键是角的变换，利用正弦的和角公式，属于中档题.8．（多选题）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ）A．的范围是B．新增步道的长度可以为C．新增步道、长度之和可以为D．当点为的中点时，草坪的面积为【答案】BD【分析】设，求出的取值范围，可判断A选项的正误；利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；求出的取值范围，可判断C选项的正误；计算出草坪的面积，可判断D选项的正误.【详解】设.对于A选项，由题意可得，解得，A选项错误；对于B选项，，，，，，所以，，设，则，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，新增步道的长度可以为，B选项正确；对于C选项，，，所以，，，，所以，，所以，，而，即新增步道、长度之和不可以为，C选项错误；对于D选项，当为的中点时，，则，可得，同理可得，则，扇形的面积为，此时，当点为的中点时，草坪的面积为，D选项正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：（1）利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；（2）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（3）在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.9．若数列：中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为__________.【答案】【分析】根据题意，可知当时，不符合题意；所以，则均成立，从而得出，通过类比推理得出对一切正整数恒成立，进而可得出，即可得出实数的所有取值.【详解】解：当时，，，不符合题意，又因为，所以，则均成立，则，即，，以此类推，对一切正整数恒成立，因为当时，，则，所以，解得：，经检验，符合题意，综上所述，实数的所有取值组成的集合为.故答案为：.10．一直线过点且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点．则的最大值为__．【答案】【分析】设，则，，利用三角恒等变换化简得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】设，则，，
 则，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.故答案为：.