长郡中学2021-2022学年高三上学期月考（四）数学试卷及参考答案

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得分：
本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知图①中的图象对应的函数为，则图②中的图象对应的函数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，设A，B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（），则，，…，中值为0的有（ ）个
A．201B．202C．404D．405
5，某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业．2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据下图，下列说法不正确的是（ ）
A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业
B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业
C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多
D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%
7．已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=45°，则该椭圆与双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
8．已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C中心，F在棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足（，），则所有满足条件的P点构成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆O1：和圆O2：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为
B．线段AB的中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．若P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB距离的最大值为
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心为（，0）
B．在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则
C．在△ABC中，是cs2A＞cs2B的充分不必要条件
D．定义，已知，则的最大值为
12．香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．AB⊥DEB．直线CD与直线EF所成的角为45°
C．该六面体的体积为D．该六面体内切球的表面积是
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，复数z满足，则 ．
14．的展开式中，项的系数为 ．
15．已知p：，q：，若p是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
16．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）设，，求b和的值．
18．（12分）在公比为q的等比数列中，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求满足的最小正整数n的值．
19．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC，垂足为M．EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE=3，AC=4，CF=1．
（1）证明：BF⊥EM；
（2）求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．
附：
，其中．
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
21．（12分）如图所示，已知椭圆E：（）过点（，），直线l：（）与椭圆E交于P、A两点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，直线AC交椭圆E与另一点B，当时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问∠APB是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）若方程有且只有一个实数解，求a的值；
（2）若函数（）的极值点，（）恰好是函数的零点，求的最小值．关注
没关注
合计
男
女
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879