2022届四川省泸县第四中学高三下学期高考适应性考试数学（理）试题（含答案）

泸县四中高2019级高考适应性考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为

A. B. C.17 D.15

4.北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m（单位：吨）表示它装载的燃料质量，M（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比约为

A. B. 

C. D.

5.已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，且，N为上一点，且平面ABD，则的长为

A.1 B.2 C. D.

6.已知，则的大小为(   )

A． B． C． D．

7.现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有

A.1020种 B.1280种 C.1560种 D.1680种

8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即

底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分

的三视图如图所示，则剩下部分的体积是

A．50           B．75      C.25.5          D．37.5

9.已知函数的部分图象如

图所示，下列关于函数的表述正确的是

A.函数的图象关于点对称

B.函数在上递减

C.函数的图象关于直线对称
D.函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象

10.设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为是上一点，且．若的面积为4，则

A．1 B．2 C．4 D．8

11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是

A. B. C. D.

12.已知函数定义域为R，，，当时，，则函数在区间上所有零点的和为

A.7 B.6 C.3 D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知的展开式中的系数为40，则_____________.

14.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足，则的最大值是_________.

15.已知是正项数列的前n项和，且满足，设，若是数列中唯一的最小项，则实数的取值范围是_____.

16.关于函数有如下四个命题：

①的图像关于轴对称．       

②的图像关于原点对称．

③的图像关于直线对称．  

④的图像关于点对称．

其中所有真命题的序号是__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.(12分)共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示,2020年该市共享单车

用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.

若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及

以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常

使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在

“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.

(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方

法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列列联表,

并根据列联表的独立性检验,判断是否有的把握认为经常使用共享单车与年

龄有关？

使用共享单车情况与年龄列联表

(2)将(1)中频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享

单车的“非年轻人”人数为随机变量,求的分布列与期望.

(参考数据：独立性检验界值表)

其中,

18.(12分)已知函数

(1)若关于的方程在上有解,求实数的取值范围；

(2)设的内角满足,若,求边上的高长的最大值。

19.(12分)在几何体中,如图,四边形为平行四边形,,平面平面平面, .

(1)求证:.

(2)求二面角的余弦值.

20.(12分)已知为坐标原点,圆,定点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）不垂直于x轴且不过点的直线l与曲线相交于两点，若直线的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点?若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。

21.(12分)已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，证明.

（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22.以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线(为参数)上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),然后将所得图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到曲线.直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程;

(2)设直线与曲线交于两点,与轴交于点,线段的中点为,求.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.已知函数.

(1)解关于的不等式;

(2)若函数的最小值记为，设均为正实数，且, 求的最小值.

泸县四中高2019级高考适应性考试

理科数学参考答案

1-5:BDDCB                                6-10:ACDBC                                11-12:AA

13.5                 14.               15.             16.①④

17.(1)补全的列联表如下：

于是

即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.

(2)由(1)的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，

∴的分布列为

∴的数学期望.

18.(1)

,             

  ;又,所以

,所以的值域为. 

而,所以,即.

(2)由,即,解得或.由,即,所以,则

由余弦定理,得.

由面积公式,知,

即.所以。

所以边上的高长的最大值为  

19.（1）由，

可知四点确定平面四点确定平面，

因为平面平面，且平面平面，

平面平面，

，四边形为平行四边形，

同理可得，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，

平面平面，，

而，于是，由，则，

由平面平面，

平面，而平面，

.

（2）由（1）可知，直线两两垂直，

以为坐标原点，以为坐标轴建立的空间直角坐标系，

不妨设，则，

，，

则，

设平面的法向量为，

则，令，则，所以平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则，令，则，所以平面的一个法向量为，

所以二面角的余弦值为。

20.（1）由题意可知，又，

由椭圆的定义知动点的轨迹是为焦点的椭圆，故，即所求椭圆的方程为

（2）设直线的方程为，点，联立曲线与直线的方程得

，

由已知，直线的斜率之和为，

，

即有：，化简得：

直线的方程为，所以直线过过定点．

21.(1),,

①当时, ,故当时, ,当时, ,

所以函数在上单调递减,在上单调递增;

②当时,由,得,或,

i当即时, ,

故当,时,递增,当时,递减;

ii当即时, ,

故当,时,递增,当时,递减;

iii当即,在R上递增;

(2)函数,由(1)可知:

①当时,函数只有一个零点,不符合题意;

②当时,的极大值为,极小值为,

故最多有一个零点,不成立;

③当时,的极大值为,

故最多有一个零点,不成立;

④当时,在R上递增,故最多有一个零点不成立;

③当,函数在(﹣∞,0)上单调递减,在上单调递增.

又,故在存在一个零点,

因为,所以,所以,所以,

取,显然且,所以,故在存在一个零点,

因此函数有两个零点,且,要证,即证明,

因为在单调递减,故只需即可,令,

,所以在上单调递增,

又,所以,故成立,即成立.

22.（1）将曲线(为参数)上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到, 然后将所得图像向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到,

消去参数得圆的普通方程为.

（2）由题意可得：直线的直角坐标方程为:,倾斜角为,点,设直线的参数方程为,代入圆的普通方程得：,

因为,设的两根为,则．

23.（1）当时，，解得；

当时，，满足题意；

当时，，解得，综上所述，不等式的解集为.

（2）由，

即的最小值为1，即，

=3.

当且仅当时等号成立，所以最小值为3.