湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题及参考答案

雅礼中学2020年上学期入学考试试卷

高二数学

时量：120分钟   分值：150分

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算化简出，即可得出对应点，便可得所在象限.

【详解】解：∵，∴复数，

即，则对应点坐标为，位于第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．

【考点】古典概型

【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．

3.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜．

考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．

4.已知，那么命题的一个必要不充分条件是（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】解 : p：x2－x<0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B

5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(　　)

A. 512个 B. 192个

C. 240个 D. 108个

【答案】D

【解析】

试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．

考点：排列组合．

6.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.

【详解】

因此当时，；当时，；当时，；

故选：A

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.

7.已知双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，且，如果抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，那么（ ）

A. 21 B. 14 C. 7 D. 0

【答案】B

【解析】

试题分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为，所以，解得；因为点在双曲线上，且，所以，解得；故选B．

考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．

8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，，，，四名同学对于谁获得特等奖进行预测.说：不是1号就是2号获得特等奖；说：3号不可能获得特等奖；说：4，5，6号不可能获得特等奖；说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，，，，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（    ）号同学.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4，5，6号中的一个

【答案】C

【解析】

【分析】

因为只有一人猜对，而，互相否定，故，中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.

【详解】解：因为，互相否定，故，中一人猜对，

假设对，则也对与题干矛盾，故错，猜对者一定是，于是一定猜错，也错，

则获得特等奖的是：3号同学.

故选：C.

【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题.

9.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．

详解：由题可知

所以

由余弦定理

所以

故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．

10.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数，根据已知条件，可判断出的奇偶性和单调性，且，将求不等式的解集，转化成求的解集，即可得出答案.

【详解】解：根据题意，设函数，

由于当时，，

即：

所以，

则在上为减函数，

因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，

则，

所以在上为奇函数，则在上也为减函数，

由于，所以，

即，，

因为，

要求不等式，即求，

解得：或，

则不等式的解集为：.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.

11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系式为R(x)= 则总利润最大时，每年生产的产品是　(　　)

A. 100单位 B. 150单位 C. 200单位 D. 300单位

【答案】D

【解析】

【分析】

利用总收益与成本的差可得总利润关于的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.

【详解】设总成本为C元，总利润为P元，则C=20000+100x，

P=R-C=所以P′=

令P′=0，得x=300．当0<x<300时，P′>0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P取得最大值，故选D．

【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．

12.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得

设坐标分别为，则

因为，所以，从而有①

再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②

由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上.

13.双曲线的离心率为      

【答案】

【解析】

思路分析：由题可得，故离心率

考点：此题考查双曲线离心率的计算.

点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.

14.如图，平面平面，为正方形，，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，建立空间直角坐标系，求出，，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.

【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，

建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.

，，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.

15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.

【答案】24

【解析】

【分析】

利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.

【详解】解：由题知，5名同学站成一排，

要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，

故有（种）不同的方法.

故答案为：24.

【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题.

16.已知函数有唯一零点，则________

【答案】

【解析】

【分析】

令，得到的解析式，判断出是偶函数，从而得到的图像关于成轴对称，根据函数有唯一零点，得到，从而得到的方程，解出的值.

【详解】

设，则

定义域为，

所以为偶函数，

所以的图像关于成轴对称

要使有唯一零点，

则只能，

即

解得，

故答案为：.

【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足,求的前项和.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.

(2)结合(1)的结果首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可求得数列的前项和.

【详解】(1)设等比数列的公比为,则,,

∵是和的等差中项,

∴,

即,

解得,

∴.

(2) ,

则

.

.

【点睛】数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

18.已知函数.

（1）求的值.

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）已知的解析式，代入，直接算出的值；

（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得，结合正弦函数的单调性，即可求出的单调递增区间.

【详解】解：（1）由，，

，

即：.

（2）由与得

，

由正弦函数的性质得，，

解得，，

所以的单调递增区间是.

【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.

19.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：

（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；

（2）若从表中月份和月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，再从这人中任选人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.

参考公式：，.

参考数据：.

【答案】（1），49人；（2）.

【解析】

【分析】

(1)先求得,,再代入公式计算即可.

(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.

详解】（1）由表中数据知,,,

,,

所求回归直线方程为.

令,则人.

（2）由已知可得：月份应抽取位驾驶员,设其编号分别为,,,,

月份应抽取位驾驶员,设其编号分别为,,,从这人中任选人包含以下基本事件,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件,则事件包含的基本事件是,,,,,,,,,共有个基本事件,

.

【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.

20.如图，在边长为4的菱形中,，点分别是的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且

（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）先证明，从而，根据线面垂直的判定定理可证明平面；（2）设，连接，由（1）可得，根据勾股定理可得,根据线面垂直的判定定理可得平面，以为原点，在直线为轴，所在直线轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）点分别是的中点

菱形的对角线互相垂直

（2）设，连接为等边三角形，

，在中，在中，

， 平面

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为，由得

令得

平面的一个法向量为，

由（1）知平面一个法向量为，

设求二面角的平面角为，

则

二面角的余弦值为

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

21.如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线：的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.

（1）求曲线的方程及点的坐标；

（2）记，求弦长（用表示）；并求的最大值.

【答案】（1）..（2），的最大值为1.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线定义，求出，即可得出抛物线的方程，便得出点的坐标；

（2）由点，得出，利用点差法求出直线的斜率，得出直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长，通过基本不等式求得的最大值.

【详解】解：（1）的准线为，

∴，∴，

∴抛物线方程为.

又点在曲线上，∴.

故.

（2）由（1）知，点，

从而，即点，

依题意，直线的斜率存在，且不为0，

设直线的斜率为，且，，

由，得，

故，

所以直线的方程为，

即.

由，消去，

整理得，

所以，，.

从而

∴，

当且仅当，即时，上式等号成立，

又满足.

∴的最大值为1.

【点睛】本题考查利用定义法求抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，还运用点差法、联立方程组、韦达定理以及弦长公式，还利用基本不等式求出最值，同时考查解题能力和计算能力.

22.已知函数，，（为自然对数的底数）.

（1）若不等式对于一切恒成立，求a的最小值；

（2）若对任意的，在上总存在两个不同的，使成立，求a的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】（1）由题意得在恒成立，

即在恒成立.

令，则

设，则

所以，因此

即的最小值为

(2)，所以在递增，在递减，由得在上值域为

因为，所以时在上单调递减，时在上单调递减，不合题意，因此，此时在上单调递减，在上单调递增，令，即在上单调递增，在上单调递减，

∴欲使对任意的上总存在两个不同的，使成立，

则需满足，即，

又∵，∴，∴，

综上所述，. 1

考点：不等式恒成立问题，利用导数求存在性问题

【名师点睛】利用导数确定三次式、分式、以e为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的方法

（1）构建函数g（x）（要求g′（x）易求,g′（x）=0可解）,转化为确定g（x）的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等,画出g（x）的图像草图,数形结合求解. （2）利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.