2022天津武清区杨村一中高二下学期第一次月考数学试题含解析

2021-2022学年度高二年级第二学期第一次月考

数学试卷

一、选择题（本题包括9小题，每小题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意）

1. 设函数，则（    ）

A. 1 B. 5 C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.

【详解】由题意，所以，

所以原式等于.

故选：B.

2. 已知函数的导函数为，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出，然后令求出，然后即可求出．

【详解】因为

所以

令时有，所以

所以

所以

故选：C

3. 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（    ）

A. 24 B. 16 C. 13 D. 48

【答案】C

【解析】

分析】利用分类加法计数原理，即可得答案.

【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有8+2+3=13种.

故选：C

【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.

4. 若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.

【详解】函数的定义域为，

，

在定义域上单调递增等价于在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

分离参数得，所以，即.

【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.

5. 已知在处有极值，则（    ）

A. 11或4 B. -4或-11 C. 11 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.

【详解】根据题意，

函数在处有极值0
且
 

或
 

时恒成立，此时函数无极值点

.

故选：C.

6. 高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（    ）

A. 42种 B. 96种 C. 120种 D. 144种

【答案】C

【解析】

【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.

【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，

所以课程编排方案共有种，

故选：C.

7. 若函数在上有最大值，则实数取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求，再解不等式或得的单调性，根据的单调性，列出使得函数在上有最大值的不等式组，解不等式组即可.

【详解】由题知，，，

由得，，由得或.

所以函数在上递减，在上递增，上递减，

若函数在上有最大值，则，解得.

故选：A．

8. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；又，从而有，利用的单调性即可求解．

【详解】解：令，

，

，

在定义上单调递减；①

又为偶函数，

，

，

，

则不等式，即，

由①得，

故选：C．

9. 已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的，使得在上恒成立，得到，即，得出关于的不等式组，求解即可.

【详解】解：函数，可得，

令，则，，

令，则，

当时，，

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

.

，

，

存在唯一的，使得在上恒成立，

，

在上有唯一解，

，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了导数函数最值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成立问题，属于中档题.

二、 填空题 （本题共6小题，每题5分，共30分 ）

10. 已知是函数的一个极值点，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得，解方程，检验即可得出答案.

【详解】解：因为，所以.

又是的一个极值点，所以，解得或.

当时，，则无极值.

当时，，是的极小值点.

故答案为：.

11. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______．

【答案】．

【解析】

【分析】构造新函数，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案.

【详解】当时，不等式恒成立，

所以，所以在上是增函数，

，则上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当时，，当时，，

所以，

所以．

故答案为：．

12. 为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_______种．

【答案】540

【解析】

【分析】先平均分组，再将三个小组分配到3所学校，运用排列组合知识进行求解.

【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法．故不同的分配方法共有种．

故答案为：540

13. 函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．

【答案】．

【解析】

【分析】将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.

【详解】解：∵函数（）在内不存在极值点，

∴函数在内单调递增或单调递减，

∴或在内恒成立，

∵，

令，二次函数的对称轴为，

∴，

，

当时，需满足，即，

当时，需满足，即，

综上所述，a的取值范围为．

故答案为：．

14. 已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题可得，求导可得单调性，将的最小值代入，即得.

【详解】∵，，使得成立，

∴．

由，得，

当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为．

又在上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为，

∴，即实数的取值范围是．

故答案为：.

15. 已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.

【详解】，

当时，，函数为减函数；

当时，，，和时，单增，时，单减，，，

故的图象大致为：

令，则，

，

当时，，，无零点；

当时，，，无零点；

当时，，，，则，

要使恰有4个不同的零点，则，

即.

故答案为：

三、 解答题 （本题共5小题，共计75分 ） 

16. 已知函数的导函数为，且满足.

（1）求及的值；

（2）求在点处的切线方程.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题设，代入即可求，进而求出.

（2）根据导数的几何意义，结合（1）的结果，应用点斜式写出切线方程.

【小问1详解】

由题设，，故，可得，

所以.

【小问2详解】

由（1）知：切点为且切线斜率为，

所以切线方程为，即.

17. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现下列结果时，各有多少种情况？

（1）4只鞋子恰成两双；

（2）4只鞋子没有成双的；

（3）4只鞋子有2只成双，另两只不成双.

【答案】（1）45（2）3360（3）1440

【解析】

【分析】（1）从10双鞋子中选2双即可求解；

（2）首先从10双鞋子中选取4双，再从每双鞋子中各取一只，利用分步乘法计数原理即可求解；

（3）先选取一双，再从9双鞋中选取2双，每双鞋只取一只，利用分步乘法计数原理即可求解

【详解】（1）从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法．

（2）从10双鞋子中选取4双，有种不同选法，

每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，

根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝×24＝3360(种)．

（3）先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，

每双鞋只取一只各有2种取法，

根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝×22＝1440(种)．

18. 已知函数，在处取得极值

（1）求，的值；

（2）求函数在区间上最值．

【答案】（1）；   

（2）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，根据求出参数，的值；

（2）由（1）可得，研究其在上的符号，进而确定的单调性，再求出闭区间上的最值.

【小问1详解】

由题设，，又处取得极值

所以，可得.经检验，满足题意.

【小问2详解】

由（1）知：，

在上，递增；在上，递减；

在上的最大值为，

而，，故在上的最小值为，

综上，上最大值为，最小值为.

19. 已知函数，．

（1）时，求函数在区间上的最值；

（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值；

（2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造，通过二次求导研究函数的单调性求其最值.

【小问1详解】

解：由题意，．

因为，所以当时，恒成立．

所以在上单调递减，

所以当时，取得最大值为0；

当时，取得最小值为.

【小问2详解】

解：不等式在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

设，．

则．

设，

则．

∵，∴，即．

∴函数在上单调递减，

∵，∴当时，，即．

∴函数在上单调递减．

∵当时，．

∴当时，有．

∴．

∴a的取值范围是．

20. 设函数，函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；

（2）根据题意转化为，令，求得，令，利用导数得出，分和，两种情况求得的单调性，结合单调性，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，函数，所以，

当时，令，则在上单调递增；

当时，令，解得，令，解得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

综上：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

【小问2详解】

解：要证成立，即证，

令，易知，

可得，令，

又在上单调递增，且

则，所以在上单调递减，所以

则当时，可得，则有在上单调递增，

则；

则当时，可得，又因为在上单调递增，

则存在，使得，所以当时，，

则此时，不符合题意.

综上所述：实数的取值范围．