2022西安交大附中高三下学期第七次模拟考试理科数学PDF版含答案

七模数学理科答案

一、选择题

二、填空题

13.                  . 14.                

15.                     16.           

三、解答题

17. 解：（1）由，得sinAsinC+sinCcosA＝sinC，

∴sinA+cosA＝，∴2sin（A+）＝，∴sin（A+）＝，

∵0＜A＜，∴＜A＜，∴A+＝，∴A＝；

（2），∴|﹣|2＝|+|2，∴•＝0，∴∠B＝90°，∴sinA＝，＝，∴b＝4，由勾股定理可得c＝2．

18. （1）由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意， ＝1，解得k＝0或－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为

(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以＝2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，

即1≤≤3.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a2－12a≤0，得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围为[0， ]．

19. 解：（1）取CD的中点F，∵BC＝BD，∴BE⊥CD，

∵AB∥CD，且AB＝DE，∴四边形ABED是矩形，

∴AB⊥AD，

∵PA⊥AB，且AD∩AP＝A，∴AB⊥平面PAD，

∴三棱锥P﹣ABD的体积为：

VP﹣ABD＝VB﹣ADP＝＝＝．

（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A作平面PAD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），

∴＝（0，3，﹣），＝（﹣，﹣1，），＝（2，3，﹣），

设平面PBD的法向量＝（x，y，z），

则，取z＝，得＝（），

同理得平面PCD的一个法向量为＝（0，1，），

∴cos＜＞＝＝＝．

∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．

20. 解：（1）记A表示甲在第一局失利，B表示甲获得了比赛胜利，则

P（B|A）＝＝＝＝p3（4﹣3p），

即甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率为p3（4﹣3p）；

（2）X的可能取值为0，1，2，

P（X＝0）＝（1﹣p）2＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝p2+（1﹣p）p2＝，

故E（X）＝0×+1×+2×＝；

（3）在五局三胜制中甲获胜的概率为：

p1＝p3+p2（1﹣p）p+p2（1﹣p）2p＝p3（6p2﹣15p+10），

在三局两胜制中甲获胜的概率为：

p2＝p2+p2（1﹣p）＝3p2﹣2p3，

于是p1﹣p2＝p3（6p2﹣15p+10）﹣（3p2﹣2p3）＝3p2（2p3﹣5p2+4p﹣1）＝3p2（p﹣1）2 （2p﹣1），

当p＞时，采用5局3胜制对甲更有利，p＜时，采用3局2胜制对甲更有利，当p＝时，两种赛制对甲的影响一样．

21. （1）解：由题意，函数，可得，

当时，令，函数在上单调递增，无极小值；

当时，令，即，解得，

当时，，此时函数上单调递减；

当时，，此时函数上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值.

（2）证明：因为，所以，

所以，

因为函数有两个不同的零点，且，

所以，，所以，

所以，

因为，设，

可得，

因为，所以在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

所以，

再考虑，

因为，

所以，

设，则，

令，

则，

所以在上为单调递减函数，所以，

即恒成立，进而，

综上可得，.

22.(1)由参数方程可得，

两式相乘得普通方程为． 

故曲线的极坐标方程为，即． 

(2)因为，所以可设，， 

故当且仅当时，的最小值为． 1

23. （1）证明：，

当且仅当时，取等号，

而，

当且仅当，即时，取等号，

所以；

（2）解：因为对，使得，

所以，

因为，，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

由（1）知，

所以，解得，

所以的取值范围为.