2021南昌八一中学、洪都中学等七校高一下学期期中联考数学试题含答案

南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年度第二学期高一数学期中联考试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（   ）

A．an=n2-n+1       B．an=n2+n-1      C．an=      D．an=

2．下列命题正确的是（    ）

A．若且，则   B．若，则或；  

C．，则     D．若与是单位向量，则

3．等差数列中，已知前15项的和，则等于（    ）．

 A． B．12 C． D．6

4．若，，与的夹角为，则的值为（    ）

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　D．

5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的                    (　　)

A．北偏东10° B．北偏西10°

C．南偏东10° D．南偏西10°

6．在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则△ABC三角形的最大角与最小角的和是（    ）

  A．    B．   C．   D．

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)

A．31 B．42　

C．37 D．47

8．中，若，则的形状为（  ）

A．直角三角形       B．等腰或直角三角形    C．等边三角形    D．等腰三角形

9．知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝4，S5＝15，则数列{}的前2 017项和为(　　)

A． B．　

C． D．　　　　

10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，则向量2a－b与a的夹角为         (    )

A．135°      B．60°　   C．45° D．30°

11．已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则数列{an}的前n项和为Sn，则(s10-s8):(s8-s6)=                             （    ）

A.      B.       C.      D.

12．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)

A．－2　　　 B.－2

C．－1   D．1－

二、填空题（本大题共4个小题. 每小题5分，共20分）

13.已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的垂直，则实数λ=_____．

14.在△ABC中,A、B、C成等差数列,且b=2,则外接圆的半径R=          .

15.在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，则·＝_____

16.各项不全为0的等差数列{an}，前n项和为Sn.若s100=s104,sk=s106,k+s204=________

三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）已知向量，满足，与的夹角为，求:

(Ⅰ) 及          (Ⅱ) 向量+与的夹角

18.(本小题满分12分)已知△的内角所对的边分别为且.

（Ⅰ）若, 求的值;       (Ⅱ) 若△的面积 求的值.

19．(本小题满分12分)某公司今年年初用36万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为16万元。该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。

（1）设n年纯收入与年数n的关系为f(n),求f(n)的最大值

（2）引进这种设备后，试求有哪几年该公司开始获利；

20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c(acosB－b)＝a2－b2.    

(1)求角A；          (2)若a＝，求△ABC周长l的取值范围．

21.(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项.   （1）求数列的通项公式；  

（2）若，，求使成立的正整数 的最小值.

22．（本小题满分12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若＝x，＝y．（1）把y用x表示出来（即求y＝f(x)的解析式）；　　（2）设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足：Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，求数列{an}通项公式．

高一下学期期中联考数学试题参考答案

 1.C   2.C  3.D  4.B  5B  6.B   7.D  8. D．9.C　

10.　.C　11.c  12.　D   13.-5/3   14.    15.－7.   16.   98 

 [解析]5.　由题可知∠ABC＝50°，A、B、C位置如图，故选7.　解法一：∵a1＝2，an＋1＝Sn＋1  ∴a2＝S1＋1＝a1＋1＝3，a3＝S2＋1＝6，

a4＝S3＋1＝12，a5＝S4＋1＝24，∴S5＝47.

解法二：∵an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S5＋1＝3×24，解得S5＝47.故选D．

解法三：∵an＋1＝Sn＋1，∴an＋2＝Sn＋1＋1，

两式作差得an＋2－an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋1

∴an＋2＝2an＋1(n∈N)

又a1＝2，a2＝S1＋1＝3，∴数列{an}从第二项起构成首项是3公比为2的等比数列∴S5＝2＋＝47.故选D．(9)∵S5＝＝ 5a3＝15，∴a3＝3，又a4＝4.

∴d＝a4－a3＝1，∴an＝a3＋(n－3)＝n.∴＝＝－

∴数列{}的前2 017项的和S2 017＝＋＋…＋

＝(1－)＋(－)＋…＋(－)

＝1－＝，故选C．10.　(1)∵a＝(2,1)，b＝(1,3)

∴|a|＝＝，2a－b＝(3，－1)从而|2a－b|＝＝，

且(2a－b)·a＝(3，－1)·(2,1)＝5记2a－b与a的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝，故选C．

12.解析　依题意，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(sinθ，cosθ)，则a－c＝(1－sinθ，－cosθ)，b－c＝(－sinθ，1－cosθ)，(a－c)·(b－c)＝－sinθ·(1－sinθ)－cosθ(1－cosθ)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－sin(θ＋)，则其最小值是1－.

 17、解：（1）,  6分（2）与的夹角为 10分

18.【解析】（Ⅰ）∵, 且,  ∴ .    1分                                 

   由正弦定理得.   3分    ∴.  6分                                   

  (Ⅱ)∵      ∴. 8分    ∴ .   9分                                              

   余弦定理          10分

得   12分

19.解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：

      2分  

设纯收入与年数n的关系为f(n),则：

  5分

当n=7或8时取得f(n)最大值20万元      7分

（2）由f(n)>0得n2-15n+36<0   解得     10分

又因为n,所以n=4,……11.即从第4年该公司开始获利   12分

20.[解析]　(1)∵c(acosB－b)＝a2－b2

∴a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，   2分    a2＝b2＋c2－bc    3分

∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝. 5分  又0<A<π，∴A＝.  6分

(2)由正弦定理得b＝＝＝2sinB，c＝＝＝2sinC. 8分

∴b＋c＝2sinB＋2sinC＝2sinB＋2sin(A＋B)

＝2sinB＋2sinAcosB＋2cosAsinB＝3sinB＋cosB＝2sin(B＋)   10分

∵B∈(0，)，∴B＋∈(，)．

sin(B＋)∈(，1]，所以b＋c∈(，2]．△ABC周长l=a+b+c∈(2，3]．12分

21.解：（1）设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，    可得，1分，2分

解之得 或又数列单调递增，所以，，4分数列的通项公式为 6分

（2），7分

，

    ，8分

两式相减，得

即，即 10分

易知：当时，，当时，

使成立的正整数的最小值为5.    12分

22．解：（1）＝＝－，1分

　　则＝－＝x－y，2分

　＝－＝(－)－x＝－(1＋x)＋4分

又∥，有x－y(1＋x)＝0，即y＝ (x＞0)；…6分

（2）当n≥2时，由Sn＝f(Sn－1)＝，

则＝＝＋1…8分

　　又S1＝a1＝1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，

　　则＝1＋(n－1)＝n，即Sn＝，……………………10分

故an＝＝．………………12分