2022年福建省南平市初三一模数学卷及答案（文字版）

2021-2022学年初中毕业班教学质量第一次抽测

数学试题参考答案及评分说明

说明：

（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．

（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．

（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．

（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．A  2．A  3．C；  4．C；　5．C；  6．C；7．B； 8．B；  9．D；  10．C

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（-2，3）；　12．答案不唯一；13．2； 14．； 15．；16．④．

第16题答案解析：

【解析】问题分两种情况讨论：

（1）当MN平行EF时，以正六边形中心为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点D(2a，0)则有E（a，a），直线DE：，设点M（，

∴

              =

              =

             =

∵，

∴S随增大而减小，②正确；

矩形的周长===

∵，∴周长随的增大而减小，①③错误；

当时的值最小，④是正确．

（2）当MN不平行EF时，连接OD，OE，PM，OQ，作OG⊥DE于点G，显然PM过点O，在矩形MNPQ中OM＝OQ，易证△ODQ≌△OEM，所以∠DOQ＝∠EOM，在正六边形ABCDEF中，∠DOE=60°，所以∠MOQ＝∠DOE=60°，所以MQ＝OM=OQ，设DE=n，EM=x，则易求MQ＝OM=，PM＝2，PM＝所以矩形MNPQ周长＝（2+2），矩形MNPQ面积＝，所以矩形MNPQ的周长、面积、对角线长都有最小值，①②③错误，④正确．

综上所述，一定正确的结论为④．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17．（8分）（1）解：

，……………………………………………………………………1分

，……………………………………………………………………2分

，．……………………………………………………………………4分

（2）解：

，……………………………………………………………………1分

，……………………………………………………………………2分

；……………………………………………………………………4分

18．（8分）

解：

（1）如图1，△A1B1C1即为所作三角形；……………4分

（2）依题意，

∵A(0，1)，B(3，3)，

∴OA＝1，OB＝……………………………………6分

∴线段AB扫过的面积为：

……………………7分

………………………8分

19．（8分）

解：（1）    …………………………………………………2分

（2）记这三个项目分别为，，，画树状图为：

…………………………………………5分

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相等，其中小华和小明被分配到同一个项目组的结果有3种……………………………………………………………………… 6分

所以小华和小明被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为．………………………8分

20．（8分）解：（1）……………………………………………………………2分

……………………………………………………………3分

自变量的取值范围为：7.5≤x<20……………………………………4分

（2）根据题意，令得：

……………………………………………………………………………6分

解得x1= x2=10

答：当矩形茶园ABCD的面积为200平方米时，AB长10米．………………………………8分

21. （8分） （1）证明：连接OD，BD

∵OA＝OD，∠DAB＝30°

∴∠ODA＝∠DAB=30°

∴ ∠BOD＝∠DAB+∠ODA＝60°

∵OB＝OD

∴△OBD是等边三角形…………………………………1分

∴BD＝OB，∠OBD＝∠ODB＝∠DOB＝60°

∵OB＝BC

∴BD＝BC………………………………………………………   2分

∴ ∠OBD＝∠BDC+∠BCD＝2∠BDC＝60°

∴ ∠BDC＝30°

∴∠ODC＝∠ODB+∠BDC ＝90°

即OD⊥DC于点D………………………………………………  3分

又∵OD是⊙O的半径

∴CD是⊙O的切线．……………………………………………  4分

（2）解： ∵⊙O的半径为4

∴OB= BC= OD=4

∴OC=8

由（1）证得∠ODC＝90°，∠BOD＝60°

∴在Rt△DCO中，……………………………  5分

∴……………………………………………   6分

∴………………………………………………   7分

∴阴影部分的面积=………………………………………8分

22．（10分） 解： （1）证明：∵△ABC绕点A顺时针方向旋转α(0°<α<180°)得到△ADE

∴ AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝α，……………………3分

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS）  ………………………………5分

（2）解法一：如图

由（1）可证△AEC≌△ADB

∴∠ACE＝∠ABD…………………………………7分

∵∠FMB＝∠AMC…………………………………9分

在△AMC和△FMB中，由三角形内角和180°可知：

∠CFB=∠BAC=36°…………………………………10分

解法二：

由（1）可证△AEC≌△ADB

∴∠ACE＝∠ABD……………………………………………………………………………………7分

在△ABC中，∠BAC＝36°

∴∠ABC+∠ACB＝180°－∠BAC＝144°……………………………………………………………8分

∴∠FBC+∠FCB＝∠ABD+∠ABC+∠FCB

＝∠ACE+∠ABC +∠FCB

＝∠ABC+∠ACB＝144°…………………………………………………………9分

∴在△FBC中，∠CFB＝180°－(∠FBC+∠FCB)＝36°．………………………………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）设A（a，b）是反比例函数图象上的任意一点，则点A关于原点对称的点A′（-a，-b），

把A（a，b）代入得k =ab，····················································1分

所以当x=-a 时，，···························································3分

所以点A′（-a，-b）也在反比例函数图象上·········································4分

那么对于反比例函数图象上的任意一点，关于原点对称的点也在这个反比例函数图象上

因此反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点．······························5分

（2） ∵反比例函数图象过点A（2，m），B（m+1，3），

∴，

解得，， ·············································7分

∴点A坐标为（2，-3）·························································9分

∵点A（2，-3）在双曲线上，

∴k =2 m = -6．·····························································10分

24．(12分)解：（1）过点A作⊙O直径AE，连接CE，OC

∵BD，AE是⊙O的直径

∴，AE＝BD=4…………………………………1分

∵

∴AB＝AD

∴∠ADB＝∠ABD＝45° ………………………………………………2分

∵

∴

∵

∴

∴……………………………………………………3分

∴………………………………………4分

∴

∴ ………………………………………………5分

在Rt△ACE中，，

根据勾股定理得：······················································6分

（2）证法一：如图，过点D，B分别作DE⊥AC于点E，作BF⊥AC于点F，

由（1）得∠ADB＝∠ABD ＝45°，

∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∠ABD＝∠ACD＝45°………………………………………………   7分

∴△CED和△BFC都是等腰直角三角形

∴CD＝CE，BC＝BF，………………………………8分

∵BD是⊙O的直径，DE⊥AC于点E，

∴∠BAF+∠CAD＝90°，∠ADE+∠CAD＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，………………………………………9分

∵

∴AB＝AD…………………………………………………10分

又∵∠BFA＝∠AED＝90°

∴△ABF≌△DAE 

∴BF=AE………………………………………………………11分

∴CD+BC＝CE+BF＝CE+AE＝(CE+AE)＝ AC． ………………………12分

证法二：如图，∵＝

∴AB＝AD

由（1）得

所以将△ACD绕点A顺时针旋转至△ABC′………………………  7分

∴∠ABC′＝∠ADC，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠ADC＝180°……………………………………………………8分

∴∠ABC+∠ABC′＝180°

∴C′、B、C三点共线，……………………………………………………9分

由旋转可知，C′B＝CD，AC′＝AC，∠C′AC＝90°，

∴△C′AC是等腰直角三角形

∴CC′＝AC， ……………………………………………………………10分

∵CC′＝BC+C′B＝CD+BC…………………………………………………11分

∴CD+BC＝AC． ………………………………………………………………………12分

25．（14分）解：(1) ∵y=x2－2ax+a2+2a－3

=(x－a)2+2a－3…………………………………………………2分

           ∴抛物线的顶点坐标为(a，2a－3)…………………………………………3分

   ∵ 抛物线的顶点N(p，q)，

∴q=2p－3  …………………………………………6分

（2）解法一：如图，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M．

∵直线l与抛物线相交于点A，B，联立解析式得

………………………………7分

x2－(2a+1)x+a2+a－3=0………………………………8分

∴△

根据求根公式求得

……………9分

∴…………………………………………10分

∴…………………………………………11分

∵………………………………12分

∴……………………………………………………13分

∴△PAB的面积的最大值……………………………………14分

解法二：

如图，平移直线l得到直线l1，当直线l1与抛物线有唯一公共点时，S△PAB的值最大．

设直线l1：y=x+m，得

…………………………7分

∴x2－(2a+1)x+a2+2a－m－3=0…………………8分

△=[－(2a+1)]2－4(a2+2a－m－3)=0………………………9分

 整理得m=a

∴直线l1：y=x+a……………………………………10分

设直线l1交x轴于点C，直线l交x轴于点D，则有

C（－a+，0），D（－a，0），

∴CD＝，…………………………………………………11分

∵直线l与抛物线相交于点A，B，联立解析式得

x2－(2a+1)x+a2+a－3=0

∴|xB－xA|=＝…………………………………………12分

∵A，B在直线上

∴|yB－yA|=|xB－xA|=…………………………………………………………13分

          ∴S△PAB=·CD·|yB－yA|＝

∴△PAB的面积的最大值是．……………………………………………14分

解法三：平移直线l得到直线l1，当直线l1与抛物线有唯一公共点时，S△PAB的值最大．

     设直线l1：y=x+m，得

……………………………………………………………………………7分

∴x2－(2a+1)x+a2+2a－m－3=0……………………………………………………………………8分

△=[－(2a+1)]2－4(a2+2a－m－3)=0……………………………………………………………9分

 ∴m=a

 ∴直线l1：y=x+a……………………………………………………………………10分

设直线l1交x轴于点C，直线l交x轴于点D，则有

C（－a+，0），D（－a，0），

∴CD＝，…………………………………………………………………………………11分

∴由题意可知直线l与直线l1的距离h＝………………………………12分

由勾股定理得A，B两点间的距离为

由解法一、二可得：|yB－yA|=|xB－xA|

∴===……13分

∴…………………………………………………14分