2022年浙江省杭州市余杭区中考二模数学试卷（解析版）

这是一份2022年浙江省杭州市余杭区中考二模数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年杭州市余杭区初中毕业文化监测二模模拟卷
数学
（满分 120分，时间 100分钟）
一、单选题(共10题；共30分)
1. |-2022|的倒数是（ ）
A. 2022 B. C. -2022 D. -
【答案】B
【解析】
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【详解】解：，
2022的倒数是
故选：B
【点睛】此题考查了倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2. 北京冬奥村是2022年北京冬季奥运会、冬残奥会最大的非竞赛类场馆之一，总建筑面积约38.66万平方米，其中38.66万用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：38.66万=386600=，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 若m是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则2m2﹣6m+2020的值是（　　）
A. 2018 B. 2021 C. 2022 D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的意义可得，m2﹣3m﹣1＝0，代入代数式求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】 m是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根，
则m2﹣3m﹣1＝0，

2m2﹣6m+2020
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，代数式求值，掌握一元二次方程根的意义是解题的关键．
4. 若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（　　）
A. 不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3
B. 函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点
C. 在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数
D. 方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+）2+＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.
【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，
∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，
∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，
∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；
∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，
∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，故选项B正确；
∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+）2+＞0，
∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；
∵（x﹣2）*3＝5，
∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，
解得，x＝3，故选项D错误；
故选D．
【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.
5. 已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　）
A. ﹣12 B. ﹣32 C. 38 D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．
【详解】原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8），
∵可以分解成（ax+b）（8x+c），
∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，
∴a+b+c=﹣12．
故选A．
6. 小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则(    )
A. 他身上的钱会不足95元                                        B. 他身上的钱会剩下95元
C. 他身上的钱会不足105元                                      D. 他身上的钱会剩下105元
【答案】B
【解析】
【分析】设一支签字笔x元，一个笔记本y元，小江身上有a元钱，根据题意可得方程组，对方程组进行变形即可求解．
【详解】设一支签字笔x元，一个笔记本y元，小江身上有a元钱，根据题意得：

①-②得：

∴
①-③得：
∴若小江购买17支签字笔和9本笔记本，他身上的钱会剩下95元．
故选：B
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，整体思想是解答本题的关键．
7. 将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用阴影区域的面积除以正六边形的面积即可求得答案．
【详解】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG=，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积，阴影区域的面积是a×a＝a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：B．
【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积，难度不大．
8. 已知二次函数（其中是自变量），当时.随的增大而增大，且时，的最小值为，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据解析式确定对称轴，再根据当时，随的增大而增大，判断抛物线的开口方向，利用对称轴和二次函数的增减性确定最小值时的自变量，仔细求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为x= 2，
∵当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向下即a＜0，
∵当时，的最小值为-7，
∴x=-6时，函数有最小值，
解得a= ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的开口，对称性，增减性和最值，熟练掌握二次函数的性质灵活求解是解题的关键．
9. 如图，点是反比例函数图象上的一个动点，以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，延长交圆于点，连结，则的面积是（ ）

A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数的性质可得，再求出点的坐标，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：点是反比例函数的图象上的一个动点，
，
延长交圆于点，且，
，
由圆周角定理得：，即，
，
的面积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
10. 如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0

解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得，
∵a＞0，
∴；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得，
∴，
∴综合得a的值为或．
故答案选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
二、填空题(共6题；共24分)
11. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是确定不等式组的解集，方法是：“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，小小大大无法找（无解）” ．
12. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于点O，则BD的长为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】勾股定理求得的长，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得，然后勾股定理求得的长，根据即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，AD＝6，
∴，
AB＝10， AC⊥BC，


在中，

故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13. 如图，圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 _____°．

【答案】120
【解析】
【分析】根据扇形弧长公式求解即可．
【详解】解：由题意知，圆锥底面周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形的弧长为
∵
解得
∴扇形的圆心角的度数为120°．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于找出弧长，半径的值．
14. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员10次选拔赛成绩数据信息．要根据表中的信息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的运动员是______．

甲
乙
丙
丁
平均数
562
559
562
560
方差
3.5
3.5
15.5
16.5

【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．
【详解】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，
∴S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，
∵甲的平均数是562，乙的平均数是559，
∴成绩好的应是甲，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲．
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了方差和平均数的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点A的坐标为（1，m），轴，反比例函数的图象经过点A和点B，则k的值为______．


【答案】
【解析】
【分析】如图，作于，由题意知，是等腰三角形，，在中，由勾股定理得求出的值，可知即，由均在反比例函数上可得，求解的值，得到点坐标，将点坐标代入反比例函数解析式求得值即可．
【详解】解：如图，作于


∵
∴是等腰三角形
∵轴
∴
在中，由勾股定理得
∴即
∵均在反比例函数上
∴
解得
将代入得
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数解析式等知识．解题的关键在于求解点坐标．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．则cos∠CFH的值为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，，，则有∠CDE＝30°，设，则有，然后根据勾股定理及三角函数解答即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
设，设CE=t，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∴，
中，，，
中，，
，
，
，
在中，，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查菱形的性质、勾股定理及三角函数，关键是根据菱形的性质和三角函数解答．
三、解答题(共7题；共66分)
17. 如图，某农户准备围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，养鸡场靠墙，另三边利用现有的34米长的篱笆围成，若要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？
晓华的解题过程如下：
解：设与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米．
依题意，得，
整理，得，
解得，．
当时，；
当时，．
答：这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是15米、8米或4米、30米．
请问晓华解题过程正确吗？如果不正确，请你给出正确的解题过程．

【答案】不正确，过程见解析
【解析】
【分析】设与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米，再根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积是120平方米，即可得出关于的一元二次方程，解出符合题意的即可得到答案．
【详解】解：晓华解题过程不正确；
正确的解题过程如下：
设与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米，．
依题意，得，
整理，得，
解得，．
当时，；，
当时，,不合题意，舍去．
答：这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是15米、8米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，结合题意求解是解题的关键．
18. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，井绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数．
【答案】（Ⅰ）40；25；（Ⅱ）众数为5；中位数是6；平均数是5.8；（Ⅲ）估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为360人．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据各组频数之和等于总数即可求出接受调查人数，用第三组频数除以总数得出百分比即可求出m；
（Ⅱ）根据“众数是出现次数最多数”、“数据排序后，第20和21个数的平均数”、“加权平均数计算公式”计算即可；
（Ⅲ）由扇形图得课外阅读时间大于的占比20%+10%=30%，用1200×30%即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）6+12+10+8+4=40；，∴m=25；
（Ⅱ）∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为5；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，则，
∴这组数据的中位数是6；
由条形统计图可得，
∴这组数据的平均数是5.8；
（Ⅲ）（人）
答：估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为360人．
【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．

【答案】大楼的高度CD为14米．
【解析】
【分析】过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．

∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，
∵AB=2.5米．
∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴，
∴，
∴CH=12.5（米），
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）．
答：大楼的高度CD为14米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
20. 世界上大部分国家都使用摄氏温度，但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度．两种计量之间有如下对应：
摄氏温度/℃
0
10
20
30
40
华氏温度/℉
32
50
68
86
104
（Ⅰ）如果两种计量之间的关系是一次函数，设摄氏温度为x（℃）时对应的华氏温度为y（℉），请你写出华氏温度关于摄氏温度的函数表达式；
（Ⅱ）求当华氏温度为0℉时，摄氏温度是多少℃？
（Ⅲ）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有可能相等吗？若可能，求出此值；若不可能，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）℃；（Ⅲ）可能，值为．
【解析】
【分析】（Ⅰ）用待定系数法直接计算一次函数解析式即可
（Ⅱ）令代入函数解析式计算即可
（Ⅲ）令代入函数解析式得到一元一次方程计算即可
【详解】（Ⅰ）解：设函数解析式为
将（0，,32），（10,50）代入得

∴华氏温度关于摄氏温度的函数表达式为；
（Ⅱ）令，则，解得，
∴当华氏温度为0℉时，摄氏温度是℃；
（Ⅲ）令，则，解得．
答：当华氏温度为℉时，摄氏温度为℃时，华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等．
【点睛】本题考查一次函数解析式、以及给定函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法是关键
21. 探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

【答案】（1）30° (2) ∠CDE=∠BAD (3) ∠CDE=∠BAD
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=60°，由于AD=AE，于是得到∠ADE=60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75°﹣45°=30°；
（2）设∠BAD=x，于是得到∠CAD=90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+，于是得到结论；
（3）设∠BAD=x，∠C=y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180°﹣2y，由∠BAD=x，于是得到∠DAE=y+，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED=∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE=；
∠CDE=∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+，
∴．
∠CDE=∠BAD
22. （2017浙江省湖州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段AB上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）若a=，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；
（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；
（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线L1解析式为，抛物线L2解析式为；（2）m=；（3）存在，例如：a=，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；
（3）开放性答案，用代入法即可解题.
【详解】解：（1）将A、C点代入中，可得：，
解得：，
∴抛物线L1解析式为；
同理可得：，解得：，
∴抛物线L2解析式为：；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H．

由题意得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为 ；
∴点D坐标为（，），
∴DG==，AG=；
同理可得：抛物线L2解析式为；
∴EH==，BH=．
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°．
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，
∴∠ADG=∠EBH．在△ADG和△EBH中，
∵∠ADG=∠EBH，∠AGD=∠EHB=90°，
∴△ADG～△EBH
，∴，
∴，
化简得： ，
解得：m=；
（3）存在，例如：a=，（答案不唯一）；
当a=时，代入A，C可以求得：
抛物线L1解析式为；
同理可得：抛物线L2解析式为；
∴点D坐标为（，），点E坐标为（，）；
∴直线AF斜率为，直线BF斜率为；
若要AF⊥BF，则直线AF，BF斜率乘积为﹣1，即×=﹣1，
化简得：，无解；
同理可求得亦无解．
23. 如图，与相切于点，为的弦，，与相交于点．


（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等角的余角相等，，进而证得，最后结论得证；
（2）作于，在中，求出，，，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：作于,


在中，
∵，，
∴，
∵，
∴．
在中，
∵
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，学会添加适当的辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．