2022年江苏省南京一中中考数学段考试卷（4月份）

这是一份2022年江苏省南京一中中考数学段考试卷（4月份），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省南京一中中考数学段考试卷（4月份）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）的值等于（　　）
A． B．﹣ C．± D．
2．（2分）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次．用科学记数法表示800000000是（　　）
A．8×108 B．0.8×109 C．8×109 D．0.8×1010
3．（2分）计算22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（2分）计算（﹣3x3）2的结果是（　　）
A．﹣3x5 B．9x6 C．9x5 D．﹣9x6
5．（2分）七（1）班某次数学测试成绩的平均数为a，方差为b，之后发现遗漏了一名同学的成绩，这名同学的成绩比a少5分．重新统计后，全班成绩的平均数为a′，方差为b′．下列说法正确的是（　　）
A．a′＜a，b′＜b B．a′＜a，b′＞b C．a′＞a，b′＞b D．a′＞a，b′＜b
6．（2分）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题（本大题共10小题．每小题2分，共20分，请把答案填写在相应位置上）
7．（2分）16的平方根是 　 　；16的立方根是 　 　．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
9．（2分）分解因式a（a﹣4b）+4b2的结果是 　 　．
10．（2分）计算（﹣）×sin60°的结果是 　 　．
11．（2分）若方程x2+2x﹣11＝0的两根分别为m、n，则m2n+mn2的值为 　 　．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，则∠C＝　 　°．

13．（2分）若将一个圆心角为60°，半径为4的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　 　．
14．（2分）如图，将菱形ABCD沿直线EF翻折，点C落在边AB上的点G处，若EG⊥CD，AB＝5，BG＝1，则CE的长为 　 　．

15．（2分）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 　 　．

16．（2分）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题：
①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形．
其中所有真命题的序号是 　 　．
三、解答题（本大题共11小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组．
18．（7分）化简，并直接写出a为何整数时，该代数式的值也为整数．
19．（8分）刘阿姨到超市购买大米．第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她花了140元，比第一次多购买了10kg．这种大米的原价是多少？
20．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）样本成绩的中位数落在 　 　范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？

21．（8分）一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径．
（1）如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率；
（2）如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是，也有同学认为是．你认为概率是多少？简述理由．

22．（8分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？

23．（8分）某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量m（万公斤）之间的函数表达式为，第二年大米产量n（万公斤）与第一年大米价格p（元/公斤）之间的函数表达式为n＝25（p﹣1）．
（1）若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？
（2）若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？
24．（8分）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东45°，距离为海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在B处相遇，求渔轮的航程BC和海军舰艇的航程AB．
（参考数据：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4）．

25．（8分）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
（1）求证：△ADE∽△BDF；
（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．

26．（9分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（3，2），连接AB．
（1）若一次函数y＝kx+5的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围是 　 　；
（2）若反比例函数y＝m/x的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是 　 　；
（3）已知点P是x轴上的一点且横坐标为n（n＞0），若一条抛物线经过（0，5）、（2，4）和点P，请直接写出抛物线与线段AB的公共点的个数及对应的n的取值范围．
27．（9分）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）
（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）




2022年江苏省南京一中中考数学段考试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）的值等于（　　）
A． B．﹣ C．± D．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．（2分）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次．用科学记数法表示800000000是（　　）
A．8×108 B．0.8×109 C．8×109 D．0.8×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将800000000用科学记数法表示为：8×108．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）计算22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2
＝4+2×2×（﹣3）+9
＝4﹣12+9
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
4．（2分）计算（﹣3x3）2的结果是（　　）
A．﹣3x5 B．9x6 C．9x5 D．﹣9x6
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（﹣3x3）2＝9x6．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2分）七（1）班某次数学测试成绩的平均数为a，方差为b，之后发现遗漏了一名同学的成绩，这名同学的成绩比a少5分．重新统计后，全班成绩的平均数为a′，方差为b′．下列说法正确的是（　　）
A．a′＜a，b′＜b B．a′＜a，b′＞b C．a′＞a，b′＞b D．a′＞a，b′＜b
【分析】根据算术平均数和方差的定义判断即可．
【解答】解：∵遗漏的同学的成绩比a少5分，
∴a′＜a，b′＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握平均数的定义及方差的性质．
6．（2分）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把P点的横坐标代入y＝﹣2x+4求得纵坐标，在坐标系中作出经过点P和点（3，5）的直线以及直线y＝﹣2x+4，观察图象即可判断．
【解答】解：观察图象可知，当P的横坐标为2时，P的坐标为（2，0），过点（2，0），（3，5）的直线与直线y＝﹣2x+4的夹角小于45°或大于90°，
故选：D．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题．每小题2分，共20分，请把答案填写在相应位置上）
7．（2分）16的平方根是 　±4　；16的立方根是 　　．
【分析】根据平方根和立方根的定义解答．
【解答】解：16的平方根是±4，16的立方根是．
故答案为：±4，．
【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣1　．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（2分）分解因式a（a﹣4b）+4b2的结果是 　（a﹣2b）2　．
【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
【点评】本题考查运用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
10．（2分）计算（﹣）×sin60°的结果是 　3﹣　．
【分析】根据乘法分配律，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣）×sin60°
＝（﹣）×
＝×﹣×
＝3﹣．
故答案为：3﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
11．（2分）若方程x2+2x﹣11＝0的两根分别为m、n，则m2n+mn2的值为 　22　．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得m+n、mn的值，并将其代入变形后的代数式求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣11＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣11，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣11×（﹣2）＝22．
故答案是：22．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，则∠C＝　130　°．

【分析】由条件可求得∠BEA，在△ABE中由三角形内角和定理可求得∠B，再利用平行四边形的性质可求得∠C．
【解答】解：∵四边形AEFG为正方形，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠CEF＝90°﹣13°＝77°，
∵∠B+∠BAE+∠BEA＝180°，
∴∠B＝180°﹣38°﹣77°＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝115°，
故答案为：115．

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用条件和三角形内角和定理求得∠B是解题的关键．
13．（2分）若将一个圆心角为60°，半径为4的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　　．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
14．（2分）如图，将菱形ABCD沿直线EF翻折，点C落在边AB上的点G处，若EG⊥CD，AB＝5，BG＝1，则CE的长为 　4　．

【分析】过点C作AB延长线于点H，根据菱形的性质和翻折的性质证明四边形ECHG是正方形，设EC＝GH＝EG＝CH＝x，根据勾股定理列方程即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作AB延长线于点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，DC∥AB，
∵EG⊥CD，
∴EG⊥AB，
∴∠EGH＝∠GEC＝∠ECH＝90°，
∴四边形ECHG是矩形，
∴EC＝GH，EG＝CH，
由翻折可知：EC＝EG，
∴四边形ECHG是正方形，
∴EC＝GH＝EG＝CH，
设EC＝GH＝EG＝CH＝x，
∵AB＝BC＝5，BG＝1，
∴BH＝GH﹣BG＝x﹣1，
在Rt△CBH中，根据勾股定理得：
BH2+CH2＝BC2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
解得x＝4或x＝﹣3（舍去），
∴CE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
15．（2分）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 　x＜﹣1或0＜x＜1　．

【分析】先解出方程﹣x3+x＝0，根据函数图象解答即可．
【解答】解：当y＝0时，﹣x3+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1，
由图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时，y＞0，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
16．（2分）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题：
①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形．
其中所有真命题的序号是 　③　．
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定等知识逐项判定即可．
【解答】解：①根据AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故错误，为假命题；
②根据OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故错误，为假命题；
③由AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，结合AC＝AC，可以判定AB＝CD，两组对边都相等的四边形为平行四边形，为真命题；
④根据AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故错误，为假命题；
故答案为：③．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定等知识是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共11小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣2≥3，得：x≥1，
解不等式﹣5＜1﹣，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（7分）化简，并直接写出a为何整数时，该代数式的值也为整数．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入，使得代数式的值为整数．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣2时，原式＝﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（8分）刘阿姨到超市购买大米．第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她花了140元，比第一次多购买了10kg．这种大米的原价是多少？
【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据第二次比第一次多购买了10kg列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得﹣＝10，
解得：x＝7．
经检验，x＝7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　8　，b＝　20　；
（2）样本成绩的中位数落在 　2.0≤x＜2.4　范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？

【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，由频数之和为50求出b的值；
（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；
（3）求出b的值，就可以补全频数分布直方图；
（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的占，因此估计总体1200人的是立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：

（4）1200×＝240（人），
答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解各个数量之间的关系是正确解答的关键．
21．（8分）一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径．
（1）如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率；
（2）如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是，也有同学认为是．你认为概率是多少？简述理由．

【分析】（1）由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有4种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
（2）根据给出的图和概率公式直接得出答案即可．
【解答】解：（1）∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有4种等可能路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是＝；
（2）蚂蚁获得食物的概率是×＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？

【分析】（1）只要证明AD＝CF，AD∥CF，即可解决问题；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”可以推导：AC＝BC．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）当AC＝BC时，平行四边形ADCF是矩形．
理由：在△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，
∴AE＝EC，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC＝BC，AC＝DF，
∴DC⊥AB，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
23．（8分）某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量m（万公斤）之间的函数表达式为，第二年大米产量n（万公斤）与第一年大米价格p（元/公斤）之间的函数表达式为n＝25（p﹣1）．
（1）若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？
（2）若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？
【分析】（1）将m＝100代入，求出p的值，再将p的值代入n＝25（p﹣1），求出n的值即可；
（2）设第一年大米的销售总价为w（万元），根据题意得w＝，当m取对称轴75时，w取得最大值，求出此时p的值，进一步求出n的值即可．
【解答】解：（1）当m＝100时，＝﹣12+18＝6，
当p＝6时，n＝25（p﹣1）＝25×5＝125，
∴预计第二年该地大米产量为125万公斤；
（2）设第一年大米的销售总价为w（万元），
根据题意得，w＝pm＝＝，
当m＝＝75时，w最大，
此时＝﹣9+18＝9，
∴n＝25（p﹣1）＝25×8＝200，
∴预计第二年该地大米产量为200万公斤．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的应用，理解题意并根据函数性质代入求值是解题的关键．
24．（8分）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东45°，距离为海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在B处相遇，求渔轮的航程BC和海军舰艇的航程AB．
（参考数据：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4）．

【分析】分别过点A、B、C延长方向线，根据题意可得∠DAC＝45°，∠CBF＝53°，∠ABE＝67.4°，DF＝AE，AD＝EF，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD，DC的长，从而求出EF的长，再设BC＝x海里，在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF，BF的长，从而求出DF，AE，BE的长，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，进行计算从而求出BC，AE，BE的长，最后根据勾股定理求出AB的长，即可解答．
【解答】解：分别过点A、B、C延长方向线，交点如图所示，

由题意得：
∠DAC＝45°，∠CBF＝53°，∠ABE＝67.4°，DF＝AE，AD＝EF，
在Rt△ADC中，AC＝16海里，
∴AD＝AC•cos45°＝16×＝16（海里），
CD＝AC•sin45°＝16×＝16（海里），
∴AD＝EF＝16海里，
设BC＝x海里，
在Rt△BCF中，CF＝BC•sin53°≈0.8x（海里），
BF＝BC•cos53°≈0.6x（海里），
∴BE＝EF﹣BF＝（16﹣0.6x）海里，
AE＝DF＝DC+CF＝（16+0.8x）海里，
在Rt△ABE中，tan67.4°＝＝≈2.4，
∴x＝10，
经检验：x＝10是原方程的根，
∴BC＝10海里，
AE＝16+0.8×10＝24（海里），
BE＝16﹣0.6×10＝10（海里），
∴AB＝＝＝26（海里），
∴渔轮的航程BC约为10海里，海军舰艇的航程AB约为26海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（8分）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
（1）求证：△ADE∽△BDF；
（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．

【分析】（1）先利用SAS证明△ADE≌△CDE，再根据圆周角定理得到∠DBF＝∠DCE，推出∠DAE＝∠DBF，即可得出结论；
（2）先证明BF是⊙O的直径，再证明∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠OEB＝90°，即∠OEA＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，且BD是对角线，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
∵B，E，F，C共圆，
∴∠FBE＝∠FCE，
即∠DBF＝∠DCE，
∴∠DAE＝∠DBF，
又∵∠ADE＝∠BDF＝45°，
∴△ADE∽△BDF；
（2）连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF＝∠BAD＝90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠DAE＝∠DBF，
∴∠DAE＝∠OEB，
∵BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠OEB＝90°，
即∠OEA＝90°，
又∵OE是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
26．（9分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（3，2），连接AB．
（1）若一次函数y＝kx+5的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围是 　k≤﹣1或k≥　；
（2）若反比例函数y＝m/x的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是 　﹣8≤m＜0或0＜m≤6　；
（3）已知点P是x轴上的一点且横坐标为n（n＞0），若一条抛物线经过（0，5）、（2，4）和点P，请直接写出抛物线与线段AB的公共点的个数及对应的n的取值范围．
【分析】（1）分别求出直线y＝kx﹣2过点A、点B时k的值，再结合函数图象即可求出k的取值范围；
（2）根据反比例函数的性质，结合图象求端点A、B处的m值即可；
（3）分别作出抛物线经过点A和点B时的图象，根据函数图象与线段AB的关系判断n的取值范围．
【解答】解：（1）当直线y＝kx+5过点A（﹣2，4）时，
得：﹣2k+5＝4，
解得：k＝．
当直线y＝kx+5过点B（3，2）时，
得：3k+5＝2，
解得：k＝﹣1．
如图1，若一次函数y＝kx+5与线段AB有公共点，则k的取值范围是k≤﹣1或k≥，
故答案为：k≤﹣1或k≥．
（2）当反比例函数y＝（m＜0）的图象过点A（﹣2，4）时，
得：＝4，
解得：m＝﹣8，
当反比例函数y＝（m＞0）的图象过点B（3，2）时，
得：＝2，
解得：m＝6，
如图2，若反比例函数y＝（m≠0）的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是﹣8≤m＜0或0＜m≤6，

故答案为：﹣8≤m＜0或0＜m≤6．
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，5）、（2，4）和点P（n，0），
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣x+5，
当0＜n＜2时，a＞0，b＜0，如图3，
若x＝3，则y＝9a+3b+5＝9a﹣（4a+1）+5＝3a+＞2，
∴此时，抛物线与线段AB有两个公共点；
当2＜n≤2时，a＜0，b＞0，如图4，
若x＝3，y＝2，
则9a+3b+5＝2，
由4a+2b+5＝4，得b＝（4a+1），
∴9a﹣（4a+1）+5＝2，
解得：a＝，
∴b＝，
∴此时，抛物线y＝﹣x2+x+5与线段AB有两个公共点，
令﹣n2+n+5＝0，
解得：n＝，
∵2＜n＜2，
∴n＝；
若x＝﹣2，y＝4，则4a﹣2b+5＝4，
将b＝（4a+1）代入得：4a﹣2×[（4a+1）]+5＝4，
解得：a＝﹣，b＝0，
∴此时抛物线y＝x2+5与线段AB有两个公共点，
令n2+5＝0，
解得：n＝±2，
∵2＜n＜2，
∴n＝2；
∴当2＜n≤时，抛物线与线段AB有两个公共点，当＜n≤2时，抛物线与线段AB有一个公共点；
当n＞2且n≠10时，a＜0，b＜0，如图5，抛物线与线段AB没有公共点；
综上所述，当0＜n＜2或2＜n≤时，抛物线与线段AB有两个公共点，当＜n≤2时，抛物线与线段AB有一个公共点，
当n＞2且n≠10时，抛物线与线段AB没有公共点．





【点评】此题考查了一次函数图象、反比例函数图象、二次函数图象与线段的交点，利用数形结合思想，根据函数图象判断相交情况是解题的关键．
27．（9分）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）
（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）



【分析】（1）将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，得△AOP为等边三角形，△OPC为直角三角形，从而得出答案；
（2）根据（1）中图形，可得画法：在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC，AC，则△ABC为所求三角形，
（3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交⊙A于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，可得△ABC．
【解答】解：（1）如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，

根据旋转的性质可知，AO＝AP，∠OAP＝60°，CP＝OB＝4，
∴△AOP为等边三角形，
∴OP＝OA＝3，∠APO＝60°，
∵OP2+PC2＝32+42＝52＝OC2，
∴△OPC为直角三角形，
∴∠OPC＝90°，
∴∠APC＝∠APO+∠OPC＝60°+90°＝150°，
∴∠AOB＝∠APC＝150°；
（2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC，AC，则△ABC为所求三角形，如图所示，

（3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交⊙A于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．

【点评】本题考查了复杂的尺规作图，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握基本作图，并能将解题经验进行迁移是解题的关键．