【解析版】庄河二中2022年八年级上第一次月考数学试卷

这是一份【解析版】庄河二中2022年八年级上第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年辽宁省大连市庄河二中八年级（上）第一次月考数学试卷
　
一、选择题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
　 A． 3，4，8 B． 5，6，11 C． 1，2，3 D． 5，6，10
　
2．下列图形中有稳定性的是（　　）
　 A． 正方形 B． 长方形 C． 直角三角形 D． 平行四边形
　
3．过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
　
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）

　 A． 带①去 B． 带②去 C． 带③去 D． 带①和②去
　
5．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（　　）

　 A． 95° B． 120° C． 135° D． 无法确定
　
6．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
　
7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　）

　 A． 20° B． 30° C． 35° D． 40°
　
8．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

　 A． 30° B． 20° C． 15° D． 14°
　
　
二、填空题
9．三角形的两条边为2cm和4cm，第三边长是一个偶数，第三边的长是　　　　　　．
　
10．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　　　　　　．
　
11．如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是　　　　　　．

　
12．如图，已知AB=AD，需要条件（用图中的字母表示）　　　　　　可得△ABC≌△ADC，根据是　　　　　　．

　
13．如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　　　　　　处．

　
14．如图，AE=AD，∠B=∠C，BE=6，AD=4，则AC=　　　　　　．

　
15．如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线交于P，∠A=50°，则∠P=　　　　　　．

　
16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于　　　　　　度．

　
　
三、解答题
17．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
　
18．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

　
19．如图，AB=AC，BD=CD．求证：∠B=∠C．

　
20．如图，AD=AE，∠EAB=∠DAC，∠B=∠C．求证：AB=AC．

　
　
四、解答题
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，AB=DE．求证：FB=CE．

　
22．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．

　
23．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BF=AC，FD=CD．求证：AC⊥BE．

　
　
五、解答题
24．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD．求证：
（1）BE=CF；
（2）∠ABD+∠ACD=180°．

　
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

　
26．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

　
　

2022学年辽宁省大连市庄河二中八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
　 A． 3，4，8 B． 5，6，11 C． 1，2，3 D． 5，6，10

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的三边关系进行分析判断．
解答： 解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4=7＜8，不能组成三角形；
B中，5+6=11，不能组成三角形；
C中，1+2=3，不能够组成三角形；
D中，5+6=11＞10，能组成三角形．
故选D．
点评： 本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
　
2．下列图形中有稳定性的是（　　）
　 A． 正方形 B． 长方形 C． 直角三角形 D． 平行四边形

考点： 三角形的稳定性．
分析： 稳定性是三角形的特性．
解答： 解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：C．
点评： 稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．
　
3．过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10

考点： 多边形的对角线．
分析： 设多边形的边数是x，根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得x﹣3=6，再解方程即可．
解答： 解：设多边形的边数是x，由题意得：x﹣3=6，
解得：x=9，
故选：C．
点评： 此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．
　
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）

　 A． 带①去 B． 带②去 C． 带③去 D． 带①和②去

考点： 全等三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： 此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
解答： 解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
点评： 主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
　
5．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（　　）

　 A． 95° B． 120° C． 135° D． 无法确定

考点： 三角形内角和定理．
专题： 探究型．
分析： 先根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即可得出结论．
解答： 解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2=180°﹣80°﹣15°﹣40°=45°，
∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°．
故选C．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
　
6．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
分析： 先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB=AC正确；（3）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
解答： 解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB=AC正确；
（3）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选D．
点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性质的运用．
　
7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　）

　 A． 20° B． 30° C． 35° D． 40°

考点： 全等三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
解答： 解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选：B．
点评： 本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
　
8．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

　 A． 30° B． 20° C． 15° D． 14°

考点： 平行线的性质．
分析： 延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：如图，∠2=30°，
∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故选C．

点评： 本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
　
二、填空题
9．三角形的两条边为2cm和4cm，第三边长是一个偶数，第三边的长是　4cm　．

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的三边关系先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
解答： 解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：4﹣2＜a＜4+2．
即：2＜a＜6，
由于第三边的长为偶数，
则a可以为4cm．
故答案为：4cm．
点评： 此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　
10．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．

考点： 多边形内角与外角．
专题： 计算题．
分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解答： 解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
　
11．如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是　3　．


考点： 角平分线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据角平分线的性质可得，点P到AB的距离=PE=3．
解答： 解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，PE=3，
∴点P到AB的距离=PE=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
　
12．如图，已知AB=AD，需要条件（用图中的字母表示）　BC=DC　可得△ABC≌△ADC，根据是　SSS　．


考点： 全等三角形的判定．
分析： 添加条件BC=DC，可直接利用SSS定理判定△ABC≌△ADC．
解答： 解：添加条件BC=DC，
∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：BC=DC；SSS．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
　
13．如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　4　处．


考点： 三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系．
专题： 应用题．
分析： 由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
解答： 解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故填4．

点评： 此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
　
14．如图，AE=AD，∠B=∠C，BE=6，AD=4，则AC=　10　．


考点： 全等三角形的判定．
分析： 先根据已知证得△ABD≌△ACE，得出AB=AC．进而推出BE=DC，那么就可以求得AC=10．
解答： 解：∵AE=AD，∠B=∠C，∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE
∴AB=AC
∵AE=AD
∴BE=DC
∴AC=AD+BE=10．
故填10．
点评： 此题主要考查全等三角形的判定，常用的判定有SAS，AAS，SSS，HL等．做题时要结合图形得到答案．
　
15．如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线交于P，∠A=50°，则∠P=　115°　．


考点： 三角形内角和定理．
分析： 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°，根据角平分线定义得出∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=65°，代入∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）求出即可．
解答： 解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于P，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=×130°=65°，
∴∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=115°，
故答案为：115°．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理和角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°，题目比较好，难度适中．
　
16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于　50　度．


考点： 三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据已知求出∠ADP+∠AEP=360°﹣（∠1+∠2）=260°，根据折叠求出∠ADE+∠AED=×260°=130°，根据三角形内角和定理求出即可．
解答： 解：∵∠1+∠2=100°，
∴∠ADP+∠AEP=360°﹣（∠1+∠2）=260°，
∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，
∴∠ADE=∠ADP，∠AED=∠AEP，
∴∠ADE+∠AED=×260°=130°，
∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°，
故答案为：50．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理和折叠的性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，题目比较好，难度适中．
　
三、解答题
17．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 分类讨论．
分析： （1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
解答： 解：（1）设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x=18，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．

（2）①当4cm为底时，腰长==7cm；
当4cm为腰时，底边=18﹣4﹣4=10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
　
18．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．


考点： 三角形内角和定理．
专题： 数形结合．
分析： 根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
解答： 解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC=90°﹣∠C=18°．
点评： 此题主要是三角形内角和定理的运用．
三角形的内角和是180°．
　
19．如图，AB=AC，BD=CD．求证：∠B=∠C．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接AD，根据SSS推出△ADC≌△ADB，根据全等三角形的性质得出即可．
解答： 证明：连接AD，

∵在△ADC和△ADB中

∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴∠B=∠C．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
　
20．如图，AD=AE，∠EAB=∠DAC，∠B=∠C．求证：AB=AC．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠EAC=∠DAB，根据AAS推出△EAC≌△DAB，根据全等三角形的性质推出即可．
解答： 证明：∵∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中

∴△EAC≌△DAB（AAS），
∴AB=AC．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
　
四、解答题
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，AB=DE．求证：FB=CE．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行线的性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据AAS证出△BAC≌△EDF，推出BC=EF即可．
解答： 证明：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△BAC和△EDF中

∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴BC=EF，
∴BC﹣FC=EF﹣FC，
∴FB=CE．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
　
22．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．


考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．
解答： 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
点评： 此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．
　
23．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BF=AC，FD=CD．求证：AC⊥BE．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据HL证Rt△BDF≌Rt△ADC，推出∠FBD=∠DAC，根据∠BDF=90°求出∠DBF+∠BFD=90°，推出∠DAC+∠AFE=90°，求出∠AEF=90°即可．
解答： 证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠FBD=∠DAC，
∵∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°﹣90°=90°，
∴AC⊥BE．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
　
五、解答题
24．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD．求证：
（1）BE=CF；
（2）∠ABD+∠ACD=180°．


考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据角平分线性质可得DE=DF，可证△BDE≌△CDF，可得BE=CF；
（2）由△BDE≌△CDF可得∠ACD=∠DBE，即可求得∠ABD+∠ACD=180°．
解答： 解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在RT△BDE和RT△CDF中，
，
∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），
∴BE=CF；
（2）∵RT△BDE≌RT△CDF，
∴∠ACD=∠DBE，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°．
点评： 本题考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证RT△BDE≌RT△CDF是解题的关键．
　
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．


考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 探究型．
分析： （1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．
解答： （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）证明：在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）DE=BE﹣AD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
　
26．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？


考点： 全等三角形的判定与性质；一元一次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
解答： 解：（1）①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间s，
∴cm/s；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得x=3x+2×10，
解得．
∴点P共运动了×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．
点评： 此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．