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所属成套资源：新人教A版高中数学必修第二册第十章概率成套PPT课件
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人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率教学演示课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率教学演示课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了必备知识生成，可能性大小，关键能力探究，核心知识，方法总结，易错提醒，核心素养，古典概型，课堂素养达标等内容，欢迎下载使用。
【情境探究】1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果?每种结果出现的机会是否相等?提示:抛掷两枚硬币有4种可能的结果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,它们都是随机事件,每个事件出现的机会是均等的,都为 .2.上述试验中,任何两种结果是什么关系?提示:由于任何两种结果都不可能同时发生,所以它们的关系是互斥关系.
3.某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,所有结果有哪些?这个试验有哪些特点?提示:该试验的基本事件有4个:红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都是 ,是等可能的.
【知识生成】1.随机事件概率的定义对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率.2.古典概型的特点(1)有限性:样本空间的样本点只有_____个.(2)等可能性:每个样本点发生的可能性_____.
3.古典概型的概率公式设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
探究点一 样本点的计数问题【典例1】(1)列出从字母a,b,c中任意取出两个字母的试验中的样本点,并指出样本点的个数(不考虑先后顺序).(2)从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.①写出这个试验的样本空间;②设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,用集合表示事件A;③把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余不变,请你回答上述两个问题.
【思维导引】根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.
【解析】(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即样本点,分别是(a,b),(a,c),(b,c)共3个.(2)①这个试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(a2,a1),(b,a1),(b,a2)}.②A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.③这个试验的所有可能结果Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
【类题通法】样本点的两个探求方法 (1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
【定向训练】 有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部样本点:(1)事件“朝下点数之和大于3”;(2)事件“朝下点数相等”;(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.
【解析】这个试验的样本点为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个样本点:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下点数相等”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个样本点:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).
探究点二 古典概型的判断【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的为______. ①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;②从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率;③向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.(2)袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.
①如果把每个球的编号看作一个样本点,建立概率模型,问该模型是否为古典概型?②若以球的颜色为样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是否为古典概型?
【思维导引】(1)从有限性和等可能性两个角度考虑.(2)根据古典概型的定义进行判断.
【解析】(1)①样本点有无限个.②样本点有10个,等可能发生.③样本点有无限个.答案:②
(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,又由于所有球的大小、形状一样,从中摸一个球,是随机选取,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.②由于9个球共三种颜色,因此共有三个样本点,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为 ,同理摸到黑球的可能性为 ,摸到红球的可能性为 = .显然三个样本点出现的可能性不等,故不是古典概型.
【类题通法】判断古典概型的方法(1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:①样本点个数有限,但非等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.
【补偿训练】 下列试验中,是古典概型的有( )A.某人射击中靶或不中靶B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C.四位同学用抽签法选一人参加会议D.运动员投篮,观察是否投中
【解析】选C.对于A,某人射击中靶与不中靶的可能性不相等,不是古典概型,A错误;对于B,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,不是古典概型,B错误;对于C,符合古典概型的定义,是古典概型,C正确;对于D,运动员投篮,投中与没有投中的可能性不等,不是古典概型,D错误.
探究点三 古典概型的概率计算【典例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.写出试验的样本空间,判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率.【思维导引】写试验的样本空间时可用树状图,判断古典概型时要紧扣其定义与特征,写出至少摸到1个黑球的样本点,用古典概型概率公式可得概率.
【解析】用树状图表示所有的结果为: 所以所有样本点是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,且在一次试验中,每个样本点出现的可能性相等,是古典概型.记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7个样本点,所以P(A)= =0.7,即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
【延伸探究】 若从甲、乙、丙、丁中任取2人参加某项活动,在列举样本点时,有人列举为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)共6个,还有人列举为(甲,乙)、(乙,甲)、(甲,丙)、(丙,甲)、(甲,丁)、(丁,甲)、(乙,丙)、(丙,乙)、(乙,丁)、(丁,乙)、(丙,丁)、(丁,丙)共12个.既然样本点总数都不相同,他们求某一事件的概率也不相同.这种说法对吗?
【解析】不对,如要求A事件:甲入选的概率时.第一种情况下A包含3个样本点,P(A)= ;第二种情况下,A包含6个样本点,P(A)= ,概率相同.求概率时,其大小与模型的选择无关,但对于此问题,我们倾向于选择第一种情况.
【类题通法】1.古典概型概率求法步骤(1)确定样本空间包含的样本点总数n.(2)确定所求事件包含样本点数k.(3)P(A)= .2.使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型.(2)事件A是什么,包含的样本点有哪些.
【定向训练】1.山东全省根据疫情情况将高三开学时间统一定为4月15号,某校筹备了大量防疫物资,若9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学,每位同学至少2个,则甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的概率为________.
【解析】把9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学,每位同学至少2个,可以有的分法是:甲2个,乙2个,丙5个;甲2个,乙3个,丙4个;甲2个,乙4个,丙3个;甲2个,乙5个,丙2个;甲3个,乙2个,丙4个;
甲3个,乙3个,丙3个;甲3个,乙4个,丙2个;甲4个,乙2个,丙3个;甲4个,乙3个,丙2个;甲5个,乙2个,丙2个.一共有10种分法,其中甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数为6,所以P= 答案:
2.某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出样本空间Ω;②求抽取的2所学校均为小学的概率.
【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,则抽取2所学校的样本空间Ω为{(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)}.②由①知n(Ω)=15.
从这6所学校中抽取的2所学校均为小学记为事件B,则B={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},n(B)=3,所以P(B)=
探究点四 较复杂的古典概型的概率计算【典例4】有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座时.(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
【思维导引】利用画树状图法求解.【解析】将A,B,C,D四位贵宾就座情况用树状图表示出来:
如图所示,共24个等可能发生的样本点,属于古典概型.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)= (2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,所以P(B)= (3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以P(C)=
【类题通法】(1)当样本点个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.(2)在求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
【定向训练】 现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.(1)求A1被选中的概率;(2)求B1和C1不全被选中的概率.
【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,这个试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.由于每一个样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等可能的.
用M表示“A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共6个样本点,因此P(M)= (2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立事件 表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于 ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},共有3个样本点,而N∪ =Ω,且N∩ =∅,故事件N包含的样本点个数为18-3=15,所以P(N)=
求样本空间的方法：（1）较简单的问题可用列举法；（2）较复杂的问题可用坐标系、表格或树状图
数学运算：体现在求概率的过程
1.下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能性相等;④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样本点,则P(A)= A.②④B.①③④C.①④D.③④【解析】选B.根据古典概型的特征与概率公式进行判断,①③④正确,②中的事件不是只有一个样本点,不正确.
2.若书架上放有中文书5本,英文书3本,日文书2本,由书架上抽出一本外文书的概率为( ) 【解析】选D.由题意知书架上共有10本书,其中外文书有3+2=5(本).所以由书架上抽出一本外文书的概率P= = ,故选D.
3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,这个试验的样本空间Ω={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共10个样本点,这10个样本点发生的可能性是相等的.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4个,故所求概率P=
4.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球,则从中随机摸出两只球,则它们的颜色不同的概率是________. 【解析】记3只白球分别为A,B,C,1只黑球为m,则从中随机摸出两只球的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中颜色不同的样本点为(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3,故所求概率为 答案:
5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.(1)共有多少个样本点?(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
【情境探究】1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果?每种结果出现的机会是否相等?提示:抛掷两枚硬币有4种可能的结果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,它们都是随机事件,每个事件出现的机会是均等的,都为 .2.上述试验中,任何两种结果是什么关系?提示:由于任何两种结果都不可能同时发生,所以它们的关系是互斥关系.
3.某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,所有结果有哪些?这个试验有哪些特点?提示:该试验的基本事件有4个:红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都是 ,是等可能的.
【知识生成】1.随机事件概率的定义对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率.2.古典概型的特点(1)有限性:样本空间的样本点只有_____个.(2)等可能性:每个样本点发生的可能性_____.
3.古典概型的概率公式设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
探究点一 样本点的计数问题【典例1】(1)列出从字母a,b,c中任意取出两个字母的试验中的样本点,并指出样本点的个数(不考虑先后顺序).(2)从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.①写出这个试验的样本空间;②设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,用集合表示事件A;③把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余不变,请你回答上述两个问题.
【思维导引】根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.
【解析】(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即样本点,分别是(a,b),(a,c),(b,c)共3个.(2)①这个试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(a2,a1),(b,a1),(b,a2)}.②A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.③这个试验的所有可能结果Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
【类题通法】样本点的两个探求方法 (1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
【定向训练】 有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部样本点:(1)事件“朝下点数之和大于3”;(2)事件“朝下点数相等”;(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.
【解析】这个试验的样本点为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个样本点:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下点数相等”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(3)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个样本点:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).
探究点二 古典概型的判断【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的为______. ①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;②从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率;③向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.(2)袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.
①如果把每个球的编号看作一个样本点,建立概率模型,问该模型是否为古典概型?②若以球的颜色为样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是否为古典概型?
【思维导引】(1)从有限性和等可能性两个角度考虑.(2)根据古典概型的定义进行判断.
【解析】(1)①样本点有无限个.②样本点有10个,等可能发生.③样本点有无限个.答案:②
(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,又由于所有球的大小、形状一样,从中摸一个球,是随机选取,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.②由于9个球共三种颜色,因此共有三个样本点,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为 ,同理摸到黑球的可能性为 ,摸到红球的可能性为 = .显然三个样本点出现的可能性不等,故不是古典概型.
【类题通法】判断古典概型的方法(1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:①样本点个数有限,但非等可能.②样本点个数无限,但等可能.③样本点个数无限,也不等可能.
【补偿训练】 下列试验中,是古典概型的有( )A.某人射击中靶或不中靶B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C.四位同学用抽签法选一人参加会议D.运动员投篮,观察是否投中
【解析】选C.对于A,某人射击中靶与不中靶的可能性不相等,不是古典概型,A错误;对于B,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,不是古典概型,B错误;对于C,符合古典概型的定义,是古典概型,C正确;对于D,运动员投篮,投中与没有投中的可能性不等,不是古典概型,D错误.
探究点三 古典概型的概率计算【典例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.写出试验的样本空间,判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率.【思维导引】写试验的样本空间时可用树状图,判断古典概型时要紧扣其定义与特征,写出至少摸到1个黑球的样本点,用古典概型概率公式可得概率.
【解析】用树状图表示所有的结果为: 所以所有样本点是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,且在一次试验中,每个样本点出现的可能性相等,是古典概型.记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7个样本点,所以P(A)= =0.7,即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
【延伸探究】 若从甲、乙、丙、丁中任取2人参加某项活动,在列举样本点时,有人列举为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)共6个,还有人列举为(甲,乙)、(乙,甲)、(甲,丙)、(丙,甲)、(甲,丁)、(丁,甲)、(乙,丙)、(丙,乙)、(乙,丁)、(丁,乙)、(丙,丁)、(丁,丙)共12个.既然样本点总数都不相同,他们求某一事件的概率也不相同.这种说法对吗?
【解析】不对,如要求A事件:甲入选的概率时.第一种情况下A包含3个样本点,P(A)= ;第二种情况下,A包含6个样本点,P(A)= ,概率相同.求概率时,其大小与模型的选择无关,但对于此问题,我们倾向于选择第一种情况.
【类题通法】1.古典概型概率求法步骤(1)确定样本空间包含的样本点总数n.(2)确定所求事件包含样本点数k.(3)P(A)= .2.使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型.(2)事件A是什么,包含的样本点有哪些.
【定向训练】1.山东全省根据疫情情况将高三开学时间统一定为4月15号,某校筹备了大量防疫物资,若9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学,每位同学至少2个,则甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的概率为________.
【解析】把9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学,每位同学至少2个,可以有的分法是:甲2个,乙2个,丙5个;甲2个,乙3个,丙4个;甲2个,乙4个,丙3个;甲2个,乙5个,丙2个;甲3个,乙2个,丙4个;
甲3个,乙3个,丙3个;甲3个,乙4个,丙2个;甲4个,乙2个,丙3个;甲4个,乙3个,丙2个;甲5个,乙2个,丙2个.一共有10种分法,其中甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数为6,所以P= 答案:
2.某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出样本空间Ω;②求抽取的2所学校均为小学的概率.
【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,则抽取2所学校的样本空间Ω为{(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)}.②由①知n(Ω)=15.
从这6所学校中抽取的2所学校均为小学记为事件B,则B={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},n(B)=3,所以P(B)=
探究点四 较复杂的古典概型的概率计算【典例4】有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座时.(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
【思维导引】利用画树状图法求解.【解析】将A,B,C,D四位贵宾就座情况用树状图表示出来:
如图所示,共24个等可能发生的样本点,属于古典概型.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)= (2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,所以P(B)= (3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以P(C)=
【类题通法】(1)当样本点个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.(2)在求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
【定向训练】 现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.(1)求A1被选中的概率;(2)求B1和C1不全被选中的概率.
【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,这个试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.由于每一个样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等可能的.
用M表示“A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共6个样本点,因此P(M)= (2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立事件 表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于 ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},共有3个样本点,而N∪ =Ω,且N∩ =∅,故事件N包含的样本点个数为18-3=15,所以P(N)=
求样本空间的方法：（1）较简单的问题可用列举法；（2）较复杂的问题可用坐标系、表格或树状图
数学运算：体现在求概率的过程
1.下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能性相等;④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样本点,则P(A)= A.②④B.①③④C.①④D.③④【解析】选B.根据古典概型的特征与概率公式进行判断,①③④正确,②中的事件不是只有一个样本点,不正确.
2.若书架上放有中文书5本,英文书3本,日文书2本,由书架上抽出一本外文书的概率为( ) 【解析】选D.由题意知书架上共有10本书,其中外文书有3+2=5(本).所以由书架上抽出一本外文书的概率P= = ,故选D.
3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,这个试验的样本空间Ω={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共10个样本点,这10个样本点发生的可能性是相等的.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4个,故所求概率P=
4.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球,则从中随机摸出两只球,则它们的颜色不同的概率是________. 【解析】记3只白球分别为A,B,C,1只黑球为m,则从中随机摸出两只球的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中颜色不同的样本点为(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3,故所求概率为 答案:
5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.(1)共有多少个样本点?(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
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