新人教A版高考数学二轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数6函数的图象综合集训含解析

函数的图象

基础篇

【基础集训】

考点一　函数图象的识辨

1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同一直角坐标系下的图象大致是 (　　)

答案　B

2.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]上的图象大致为 (　　)

答案　C

3.已知函数f(x)=则函数y=f(e-x)的大致图象是 (　　)

答案　B

4.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是　　　　.(填序号) 

答案　③

考点二　函数图象的应用

5.已知函数f(x)=则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是 (　　)

A.f(x1)+f(x2)<0　　B.f(x1)+f(x2)>0

C.f(x1)-f(x2)>0　　D.f(x1)-f(x2)<0

答案　D

6.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=在上实根的个数是(　　)

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

答案　C

7.对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是 (　　)

A.0　　B.　　C.　　D.3

答案　C

[教师专用题组]

【基础集训】

考点一　函数图象的识辨

1.(2020北京怀柔适应性练习,4)函数y=|log2x|的大致图象是 (　　)

答案　D　本题考查函数图象的识辨,考查学生分析问题、解决问题的能力,渗透直观想象的核心素养,试题体现基础性.

由选项A中的图象是函数y=log2x的大致图象,易得选项D中的图象是函数y=|log2x|的大致图象,故选D.

解后反思　弄清函数y=log2x的图象,结合“保留函数y=log2x图象x轴上及x轴上方的部分并将x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方即得y=|log2x|的图象”求解.

2.(2020安徽江南十校质量检测,4)函数f(x)=在上的图象大致为 (　　)

答案　C　函数的定义域关于原点对称.f(-x)=-=-f(x),可知函数f(x)为奇函数,所以函数图象关于原点对称.当0<x<时,f(x)>0,故选C.

3.(2020天津芦台一中一模,5)函数f(x)=ln的大致图象为(　　)

答案　D　函数f(x)=ln的定义域为{x|x≠±1},f=-ln3<0,排除B和C;f(-2)=ln3>0,排除A.故选D.

4.(多选题)(2021届东北育才中学9月)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象不可能是              (　　)

答案　BD　若a>1,则对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,

二次函数y=(a-1)x2-x的图象开口向上,经过原点,对称轴:x=>0,可能为A中图象,不可能为B中图象.

若0<a<1,则对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,

二次函数y=(a-1)x2-x的图象开口向下,经过原点,对称轴:x=<0,可能为C中图象,不可能为D中图象.

故选BD.

5.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为 (　　)

答案　D　f(|x-1|)=2|x-1|.

当x=0时,y=2,可排除选项A,C.

当x=-1时,y=4,可排除选项B.故选D.

综合篇

【综合集训】

考法一　识图与辨图问题的常见类型及解题策略

1.(2020湖南长沙一中月考)函数f(x)=(3x+3-x)ln|x|的图象大致为 (　　)

答案　D

2.(2021届湖南衡阳一中第二次月考,4)已知函数f(x)=2tan(ωx)(ω>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为π,若定义max{a,b}=则函数h(x)=max{f(x),f(x)cosx}在区间内的图象是              (　　)

答案　A

考法二　函数图象的应用

3.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),且f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围为              (　　)

A.(-1,2)　　B.(1,2)　　C.(-2,-1)　　D.(-2,1)

答案　D

4.(2019河北衡水中学二调,7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是              (　　)

A.0　　B.0或-

C.-或　　D.0或-

答案　D

5.(2021届福建连城一中月考(一),8)已知定义在R上的奇函数y=f(x),∀x∈R都有f(1+x)=f(1-x),当-1≤x<0时,f(x)=log2(-x),则函数g(x)=f(x)-2在(0,8)内所有的零点之和为(　　)

A.6　　B.8　　C.10　　D.12

答案　D

6.(2021届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学9月月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则f=　　　　,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是　　　　. 

答案　;

[教师专用题组]

【综合集训】

考法一　识图与辨图问题的常见类型及解题策略

1.(2018浙江金华十校期末调研,8)函数y=的图象大致是(　　)

答案　D　首先函数f(x)=为偶函数,故排除B;

当x>0时,f(x)=xlnx;f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得极值点x=,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,故排除A、C.故选D.

2.(2018安徽黄山一模,8)已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为              (　　)

A.y=f(|x|)　　B.y=f(-|x|)　　C.y=|f(x)|　　D.y=-f(|x|)

答案　B　观察函数图象可得,②是由①保留y轴左侧图象,然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得,结合函数图象的对称变换可得函数的解析式为y=f(-|x|).选B.

3.(2020山东百师联盟自测,7)函数f(x)=2|x|cosx-e|x|在上的图象大致为 (　　)

答案　A　当x∈[0,1]时,f(x)=2xcosx-ex,f'(x)=2cosx-2xsinx-ex,f'(0)=>0,f'(1)=2cos1-2sin1-e<0,所以f(x)在[0,1]上存在极大值点,又f(0)=-∈(-1,0),所以A选项中的图象满足.故选A.

4.(2017山西临汾三模,10)已知函数f(x)=|lnx|,若f(m)=f(n)(m>n>0),则+= (　　)

A.　　B.1　　C.2　　D.4

答案　C　函数f(x)=|lnx|的图象如图所示:

由f(m)=f(n),m>n>0,可知m>1>n>0,∴lnm=-lnn,即m=,mn=1,则+===2.故选C.

由题悟法　对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合求解.

5.(2019北京海淀期中,14)已知函数f(x)=

(1)若函数f(x)的最大值为1,则a=　　　　; 

(2)若函数f(x)的图象与直线y=只有一个公共点,则a的取值范围为　　　　. 

答案　(1)e　(2)(0,e]

解析　(1)当0<x≤a时,f'(x)=>0恒成立,此时f(x)单调递增,所以f(x)max=lna.

当x>a时,f'(x)=-<0恒成立,此时f(x)单调递减,无最大值.

故f(x)max=f(a)=lna=1,∴a=e.

(2)设g(x)=lnx-,∴g'(x)=-=.

当0<x<e时,g'(x)>0,当x>e时,g'(x)<0.

∴g(x)max=g(e)=0,∴g(x)≤g(e)=0,即lnx≤.

①当a=e时,函数f(x)与y=的图象如图所示,

可知此时只有一个公共点.

②当a>e时,>,lna<,作出图象如图所示,

此时没有公共点.

③当0<a<e时,<,lna<,作出图象如图所示,

此时只有一个公共点,

综上,a的取值范围为(0,e].

考法二　函数图象的应用

1.(2016浙江镇海中学模拟(5月),8)已知函数 f(x)=的图象上恰有三对点关于原点中心对称,则a的取值范围是              (　　)

A.　　B.

C.　　D.

答案　D　易求得与函数f(x)=-3|x+a|+a(x<0)的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式是g(x)=3|x-a|-a(x>0),则问题转化为函数g(x)=3|x-a|-a(x>0)与f(x)=x2-2(x>0)的图象恰有三个公共点.作出函数f(x)=x2-2(x>0)的图象,而函数g(x)的图象可由h(x)=3|x|的图象平移得到,且点(a,-a)在直线x+y=0上运动.现考虑极端情形,当直线y=3x-4a与抛物线y=x2-2相切时,方程x2-3x+4a-2=0有唯一解,故Δ=9-4(4a-2)=0,所以a=.当点(a,-a)恰在抛物线y=x2-2上时,a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍).

所以a的取值范围是,故选D.

2.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),7)函数f(x)=的图象上关于坐标原点对称的点共有              (　　)

A.0对　　B.1对　　C.2对　　D.3对

答案　C　问题直接转化为方程f(-x)=-f(x)的非零解的个数问题.

设x<0,则方程=-(2x2+4x+1),即转化为2ex+2x2+4x+1=0在(-∞,0)上解的个数.

设g(x)=2ex+2x2+4x+1,则g'(x)=2ex+4x+4,因为g'(0)=6>0,g'=2-<0,所以存在x0∈(-2,0)使得g'(x0)=0,亦即2+4x0+4=0,所以函数g(x)在(-∞,x0)上单调递减,(x0,0)上单调递增,因为g(x0)=2+2+4x0+1=2-3<-<0,且g(0)>0,g(-2)>0,由零点存在性定理和函数的单调性知,函数g(x)在(-2,x0),(x0,0)上各存在一个零点,所以函数f(x)的图象上关于坐标原点对称的点共有2对,故选C.

3.(2019河南天一大联考阶段性测试(五),12)已知函数f(x)=若方程f(x)=kx+1有3个不同的实根,则实数k的取值范围为              (　　)

A.(-∞,0]　　B.　　C.　　D.(0,+∞)

答案　B　令y=f(x)和y=kx+1.函数y=kx+1的图象过定点(0,1).

画出函数y=f(x)的图象,如图所示.

由消去y整理得x2+x+1=0.

令Δ=-4=0,解得k=或k=(舍去).

又易知曲线y=ex在(0,1)处的切线的斜率为1.

结合图象可得:当0<k<时,y=f(x)和y=kx+1的图象有3个不同的交点,所以方程f(x)=kx+1有3个不同的实根;

当k=时,y=f(x)和y=kx+1的图象有2个不同的交点,所以方程f(x)=kx+1有2个不同的实根;

当<k<1时,y=f(x)和y=kx+1的图象有1个交点,所以方程f(x)=kx+1有1个实根;

当k≥1时,y=f(x)和y=kx+1的图象没有交点,所以方程f(x)=kx+1没有实根;

当k≤0时,y=f(x)和y=kx+1的图象有2个不同的交点,所以方程f(x)=kx+1有2个不同的实根.

综上,可得所求k的取值范围为.故选B.

4.(2019湘赣十四校联考第二次考试,15)已知函数f(x)=有且只有1个零点,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

答案　a=0或a>1

解析　当a>0时,函数y=ax-3(x>0)必有一个零点,又因为-<0,故a+2+a>0,解之可得a>1;当a=0时,f(x)=恰有一个零点;当a<0时,若x>0,则f(x)=ax-3<0,若x≤0,则f(x)=ax2+2x+a恒小于0,所以当a<0时,f(x)无零点,故答案为a=0或a>1.

5.(2020北京房山一模,15)如果方程+y|y|=1所对应的曲线与函数y=f(x)的图象完全重合,那么对于函数y=f(x)有如下结论:

①函数f(x)在R上单调递减;

②y=f(x)图象上的点到坐标原点距离的最小值为1;

③函数f(x)的值域为(-∞,2];

④函数F(x)=f(x)+x有且只有一个零点.

其中正确结论的序号是　　　　. 

答案　②④

解析　本题考查方程与函数的关系,考查学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力,渗透直观想象的核心素养.

由+y|y|=1,得+y2=1(y≥0)或-y2=1(y<0),

因而可以画出如图所示的y=f(x)的图象,f(x)在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故①中的结论错误;y=f(x)图象上的点(0,1)到原点的距离最短,为1,故②中的结论正确;f(x)的值域是(-∞,1],故③中的结论错误;y=f(x)的图象与直线y=-x只有一个交点,因而F(x)=f(x)+x有且只有一个零点,故④中的结论正确.因此正确结论的序号是②④.

思路分析　将所给方程去掉绝对值即可知道方程表示的曲线,画出函数y=f(x)的图象就可以得到正确结论的序号.