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【解析版】2022年甘肃省张掖六中八年级下期末数学试卷
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这是一份【解析版】2022年甘肃省张掖六中八年级下期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年甘肃省张掖六中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在式子中，分式的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列因式分解正确的是( )
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．x2+4y2=（x+2y）2
C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a） D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y）
3．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为( )
A． B．x=3 C． D．
5．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
6．如果a＞b，那么下列各式中正确的是( )
A．a﹣3＜b﹣3 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
7．图案A﹣D中能够通过平移图案得到的是( )
A． B． C． D．
8．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )
A． B．=
C． D．
9．边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是( )
A． B． C． D．2
10．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．
12．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为__________．
13．关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的分别为__________．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．
15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=__________．
16．分解因式：（a2+1）2﹣4a2=__________．
17．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=__________，另一个根是__________．
18．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=__________．
三、解答题（共88分）
19．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1=0
（2）﹣=1．
20．先化简，再从﹣2，2，﹣1，1中选取一个恰当的数作为x的值代入求值．
21．解不等式组并求它的所有的非负整数解．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
23．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
24．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
25．已知关于x，y的方程组的解是非负数，求整数m的值．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）证明：BD=CD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
28．（14分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
2022学年甘肃省张掖六中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在式子中，分式的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：分式的定义．
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答： 解：，，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：B．
点评：本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
2．下列因式分解正确的是( )
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．x2+4y2=（x+2y）2
C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a） D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y）
考点：因式分解-运用公式法．
分析：根据提取公因式法分解因式和公式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、应为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故本选项错误；
B、x2与4y2符号相同，不能进行因式分解，故本选项错误；
C、2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a），正确；
D、应为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），故本选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
3．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．
解答： 解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．
故选：B．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为( )
A． B．x=3 C． D．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：计算题．
分析：首先把5（x﹣3）从方程的右边移到方程的左边，然后利用因式分解法分解因式，提公因式x﹣3，可以得到（2x﹣5）（x﹣3）=0，最后把它分解成两个方程2x﹣5=0或x﹣3=0，可解得答案．
解答： 解：移项，得2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，
提公因式，得（2x﹣5）（x﹣3）=0，
∴2x﹣5=0或x﹣3=0，
解得x1=，x2=3．
故选C．
点评：此题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程．关键是通过移项，把等式右边化为0，左边把（x﹣3）看作整体，提取公因式．
5．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
考点：平行四边形的判定．
分析：由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出①不正确；
由平行线的性质和添加条件得出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，②正确；
由平行线得出△AOB∽△COD，得出对应边成比例，证出BO=DO，得出四边形ABCD是平行四边形，③正确；
先证出AO=BO，在证明△AOB∽△COD，得出对应边成比例得出CO=DO，因此四边形ABCD不一定是平行四边形，得出④不正确．
解答： 解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴①不正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴②正确，如图所示；
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO=BO：DO，
∵AO=CO，
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴③正确；
∵∠DBA=∠CAB，
∴AO=BO，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO=BO：DO，
∵AO=BO，
∴CO=DO，四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴④不正确；
故选：C．
点评：本题考查了平行四边形的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
6．如果a＞b，那么下列各式中正确的是( )
A．a﹣3＜b﹣3 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
考点：不等式的性质．
分析：根据不等式的基本性质判断．
解答： 解：A、如果a＞b，根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a﹣3＜b﹣3不成立；
B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，＜不成立；
C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣2a＜﹣2b成立；
D、﹣a＜﹣b．
故选C．
点评：不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注意不等号的方向是否改变．
7．图案A﹣D中能够通过平移图案得到的是( )
A． B． C． D．
考点：生活中的平移现象．
分析：根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
解答： 解：观察图形可知，B图案能通过平移图案得到．
故选：B．
点评：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
8．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )
A． B．=
C． D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
专题：应用题．
分析：本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
解答： 解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：D．
点评：这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
9．边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是( )
A． B． C． D．2
考点：旋转的性质；正方形的性质；解直角三角形．
专题：压轴题．
分析：用两个正方形面积和减去重叠部分面积即可，重叠部分可看作两个直角三角形，观察两个直角三角形的特点，再求面积．
解答： 解：设CD，C′B′交于E点，连接AE，
由旋转的性质可知△ADE≌△AB′E，
∵旋转角∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=90°﹣∠BAB′=60°，
∴∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，DE=AD•tan30°=，
S四边形ADEB′=2×S△ADE=2××1×=，
∴风筝面积为2﹣．
故选A．
点评：本题考查了旋转角的表示方法，解直角三角形，四边形面积计算的转化方法．
10．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
专题：压轴题；探究型．
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选：D．
点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=2．
考点：一元二次方程的定义．
分析：根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可．
解答： 解：∵（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0，|m|=2，
解得：m=2，
故答案为：2．
点评：本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．
12．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为10．
考点：等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
专题：压轴题．
分析：由等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
解答： 解：∵x2﹣6x+8=0，
∴（x﹣2）（x﹣4）=0，
解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10．
∴这个三角形的周长为10．
故答案为：10．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．
13．关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的分别为﹣3，3．
考点：解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：先解不等式组，求出其解集，然后根据题中已知的解集，进行比对，从而得出关于a、b的方程组，解此方程组即可求出a、b的值．
解答： 解：解不等式组得，，
因为﹣3＜x＜3，
所以，
①×2﹣②得，3a=﹣9，a=﹣3；
代入①得，﹣6+b=﹣3，b=3．
故答案为：﹣3，3．
点评：本题主要考查的是解一元一次不等式组，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的二元一次方程组，解此方程组即可求出字母a，b的值．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为±．
考点：分式方程的增根．
专题：计算题．
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解答： 解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=±．
点评：解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=9．
考点：平行四边形的性质．
分析：如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3
∴AB﹣BC=3，
又∵▱ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9．
故答案为9．
点评：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．
16．分解因式：（a2+1）2﹣4a2=（a+1）2（a﹣1）2．
考点：因式分解-运用公式法．
专题：常规题型．
分析：先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．
解答： 解：（a2+1）2﹣4a2=（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
=（a+1）2（a﹣1）2．
故答案为：（a+1）2（a﹣1）2．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式的结构是解题的关键，注意因式分解要彻底．
17．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=﹣4，另一个根是5．
考点：一元二次方程的解．
分析：把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．
解答： 解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根，
∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0，
解得b=﹣4，
即方程为x2﹣4x﹣5=0，
（x+1）（x﹣5）=0，
解得：x1=﹣1，x2=5，
即b的值是﹣4，另一个实数根式5．
故答案为：﹣4，5；
点评：本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
18．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．
考点：因式分解的应用．
分析：4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．
解答： 解：∵1+a+a2+a3=0，
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，
=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），
=0+0，
=0．
故答案是：0．
点评：此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．
三、解答题（共88分）
19．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1=0
（2）﹣=1．
考点：解一元二次方程-公式法；解分式方程．
分析：（1）根据一元二次方程的求根公式，代入计算即可，
（2）先去分母，再进行整理，求出方程的解后再检验即可．
解答： 解：（1）3x2﹣4x﹣1=0，
∵a=3，b=﹣4，c=﹣1
∴x===，
∴x1=，x2=，
（2）﹣=1，
去分母整理得：
x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
2x+1﹣4+1=0，
x=1，
检验：∴当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0，∴x=2是增根，原方程无解．
点评：此题考查了公式法解一元二次方程和解分式方程，关键是掌握一元二次方程的求根公式，解分式方程时要注意检验．
20．先化简，再从﹣2，2，﹣1，1中选取一个恰当的数作为x的值代入求值．
考点：分式的化简求值．
专题：探究型．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=（﹣）×
=×
=
取a=﹣1时，原式==．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．解不等式组并求它的所有的非负整数解．
考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
专题：计算题．
分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非负整数解即可．
解答： 解：，
由①得x＞﹣2，…
由②得x≤，…
所以，原不等式组的解集是﹣2＜x≤，…
所以，它的非负整数解为0，1，2．…
点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
解答： 解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
点评：本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．
23．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解答： 证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
24．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
考点：分式方程的应用．
专题：工程问题；压轴题．
分析：如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程．
解答： 解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
依题意得﹣=10，
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x=60．
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
点评：本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根．
25．已知关于x，y的方程组的解是非负数，求整数m的值．
考点：一元一次不等式组的整数解；解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：此题考查了解方程组与解不等式组，根据题意可以先求出方程组的解（解中含有字母m），然后根据x≥0，y≥0，组成关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
解答： 解：解方程组可得
因为x≥0，y≥0，所以
解得
所以≤m≤，
因为m为整数，故m=7，8，9，10．
点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是把字母m看做一个常数来解，还要注意题意．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）证明：BD=CD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
专题：计算题．
分析：（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB=AC，BD=CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．
解答： 解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；
（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；
（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴∠B=∠FDC，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．
（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC．…
∵∠DCE=45°，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…
∴10=4+DG，
即DG=6．
设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…
∴AB=12．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．
即梯形ABCD的面积为108．…
点评：此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
28．（14分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题；动点型；分类讨论．
分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
解答： 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
点评：本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
2022学年甘肃省张掖六中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在式子中，分式的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列因式分解正确的是( )
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．x2+4y2=（x+2y）2
C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a） D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y）
3．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为( )
A． B．x=3 C． D．
5．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
6．如果a＞b，那么下列各式中正确的是( )
A．a﹣3＜b﹣3 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
7．图案A﹣D中能够通过平移图案得到的是( )
A． B． C． D．
8．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )
A． B．=
C． D．
9．边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是( )
A． B． C． D．2
10．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．
12．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为__________．
13．关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的分别为__________．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．
15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=__________．
16．分解因式：（a2+1）2﹣4a2=__________．
17．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=__________，另一个根是__________．
18．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=__________．
三、解答题（共88分）
19．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1=0
（2）﹣=1．
20．先化简，再从﹣2，2，﹣1，1中选取一个恰当的数作为x的值代入求值．
21．解不等式组并求它的所有的非负整数解．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
23．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
24．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
25．已知关于x，y的方程组的解是非负数，求整数m的值．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）证明：BD=CD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
28．（14分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
2022学年甘肃省张掖六中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在式子中，分式的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：分式的定义．
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答： 解：，，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：B．
点评：本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
2．下列因式分解正确的是( )
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．x2+4y2=（x+2y）2
C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a） D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y）
考点：因式分解-运用公式法．
分析：根据提取公因式法分解因式和公式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、应为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故本选项错误；
B、x2与4y2符号相同，不能进行因式分解，故本选项错误；
C、2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a），正确；
D、应为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），故本选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
3．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．
解答： 解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．
故选：B．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为( )
A． B．x=3 C． D．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：计算题．
分析：首先把5（x﹣3）从方程的右边移到方程的左边，然后利用因式分解法分解因式，提公因式x﹣3，可以得到（2x﹣5）（x﹣3）=0，最后把它分解成两个方程2x﹣5=0或x﹣3=0，可解得答案．
解答： 解：移项，得2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，
提公因式，得（2x﹣5）（x﹣3）=0，
∴2x﹣5=0或x﹣3=0，
解得x1=，x2=3．
故选C．
点评：此题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程．关键是通过移项，把等式右边化为0，左边把（x﹣3）看作整体，提取公因式．
5．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
考点：平行四边形的判定．
分析：由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出①不正确；
由平行线的性质和添加条件得出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，②正确；
由平行线得出△AOB∽△COD，得出对应边成比例，证出BO=DO，得出四边形ABCD是平行四边形，③正确；
先证出AO=BO，在证明△AOB∽△COD，得出对应边成比例得出CO=DO，因此四边形ABCD不一定是平行四边形，得出④不正确．
解答： 解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴①不正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴②正确，如图所示；
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO=BO：DO，
∵AO=CO，
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴③正确；
∵∠DBA=∠CAB，
∴AO=BO，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO=BO：DO，
∵AO=BO，
∴CO=DO，四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴④不正确；
故选：C．
点评：本题考查了平行四边形的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
6．如果a＞b，那么下列各式中正确的是( )
A．a﹣3＜b﹣3 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
考点：不等式的性质．
分析：根据不等式的基本性质判断．
解答： 解：A、如果a＞b，根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a﹣3＜b﹣3不成立；
B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，＜不成立；
C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣2a＜﹣2b成立；
D、﹣a＜﹣b．
故选C．
点评：不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注意不等号的方向是否改变．
7．图案A﹣D中能够通过平移图案得到的是( )
A． B． C． D．
考点：生活中的平移现象．
分析：根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
解答： 解：观察图形可知，B图案能通过平移图案得到．
故选：B．
点评：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
8．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )
A． B．=
C． D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
专题：应用题．
分析：本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．
解答： 解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：D．
点评：这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
9．边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是( )
A． B． C． D．2
考点：旋转的性质；正方形的性质；解直角三角形．
专题：压轴题．
分析：用两个正方形面积和减去重叠部分面积即可，重叠部分可看作两个直角三角形，观察两个直角三角形的特点，再求面积．
解答： 解：设CD，C′B′交于E点，连接AE，
由旋转的性质可知△ADE≌△AB′E，
∵旋转角∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=90°﹣∠BAB′=60°，
∴∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，DE=AD•tan30°=，
S四边形ADEB′=2×S△ADE=2××1×=，
∴风筝面积为2﹣．
故选A．
点评：本题考查了旋转角的表示方法，解直角三角形，四边形面积计算的转化方法．
10．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
专题：压轴题；探究型．
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选：D．
点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=2．
考点：一元二次方程的定义．
分析：根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可．
解答： 解：∵（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0，|m|=2，
解得：m=2，
故答案为：2．
点评：本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．
12．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为10．
考点：等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
专题：压轴题．
分析：由等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
解答： 解：∵x2﹣6x+8=0，
∴（x﹣2）（x﹣4）=0，
解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10．
∴这个三角形的周长为10．
故答案为：10．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．
13．关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的分别为﹣3，3．
考点：解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：先解不等式组，求出其解集，然后根据题中已知的解集，进行比对，从而得出关于a、b的方程组，解此方程组即可求出a、b的值．
解答： 解：解不等式组得，，
因为﹣3＜x＜3，
所以，
①×2﹣②得，3a=﹣9，a=﹣3；
代入①得，﹣6+b=﹣3，b=3．
故答案为：﹣3，3．
点评：本题主要考查的是解一元一次不等式组，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的二元一次方程组，解此方程组即可求出字母a，b的值．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为±．
考点：分式方程的增根．
专题：计算题．
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解答： 解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=±．
点评：解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=9．
考点：平行四边形的性质．
分析：如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3
∴AB﹣BC=3，
又∵▱ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9．
故答案为9．
点评：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．
16．分解因式：（a2+1）2﹣4a2=（a+1）2（a﹣1）2．
考点：因式分解-运用公式法．
专题：常规题型．
分析：先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．
解答： 解：（a2+1）2﹣4a2=（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
=（a+1）2（a﹣1）2．
故答案为：（a+1）2（a﹣1）2．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式的结构是解题的关键，注意因式分解要彻底．
17．﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=﹣4，另一个根是5．
考点：一元二次方程的解．
分析：把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．
解答： 解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根，
∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0，
解得b=﹣4，
即方程为x2﹣4x﹣5=0，
（x+1）（x﹣5）=0，
解得：x1=﹣1，x2=5，
即b的值是﹣4，另一个实数根式5．
故答案为：﹣4，5；
点评：本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
18．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．
考点：因式分解的应用．
分析：4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．
解答： 解：∵1+a+a2+a3=0，
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，
=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），
=0+0，
=0．
故答案是：0．
点评：此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．
三、解答题（共88分）
19．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1=0
（2）﹣=1．
考点：解一元二次方程-公式法；解分式方程．
分析：（1）根据一元二次方程的求根公式，代入计算即可，
（2）先去分母，再进行整理，求出方程的解后再检验即可．
解答： 解：（1）3x2﹣4x﹣1=0，
∵a=3，b=﹣4，c=﹣1
∴x===，
∴x1=，x2=，
（2）﹣=1，
去分母整理得：
x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
2x+1﹣4+1=0，
x=1，
检验：∴当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0，∴x=2是增根，原方程无解．
点评：此题考查了公式法解一元二次方程和解分式方程，关键是掌握一元二次方程的求根公式，解分式方程时要注意检验．
20．先化简，再从﹣2，2，﹣1，1中选取一个恰当的数作为x的值代入求值．
考点：分式的化简求值．
专题：探究型．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=（﹣）×
=×
=
取a=﹣1时，原式==．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．解不等式组并求它的所有的非负整数解．
考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
专题：计算题．
分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非负整数解即可．
解答： 解：，
由①得x＞﹣2，…
由②得x≤，…
所以，原不等式组的解集是﹣2＜x≤，…
所以，它的非负整数解为0，1，2．…
点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
解答： 解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
点评：本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．
23．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解答： 证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
24．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
考点：分式方程的应用．
专题：工程问题；压轴题．
分析：如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程．
解答： 解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
依题意得﹣=10，
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x=60．
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
点评：本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根．
25．已知关于x，y的方程组的解是非负数，求整数m的值．
考点：一元一次不等式组的整数解；解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：此题考查了解方程组与解不等式组，根据题意可以先求出方程组的解（解中含有字母m），然后根据x≥0，y≥0，组成关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
解答： 解：解方程组可得
因为x≥0，y≥0，所以
解得
所以≤m≤，
因为m为整数，故m=7，8，9，10．
点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是把字母m看做一个常数来解，还要注意题意．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）证明：BD=CD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
专题：计算题．
分析：（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB=AC，BD=CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．
解答： 解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；
（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；
（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴∠B=∠FDC，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．
（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC．…
∵∠DCE=45°，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…
∴10=4+DG，
即DG=6．
设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…
∴AB=12．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．
即梯形ABCD的面积为108．…
点评：此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
28．（14分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题；动点型；分类讨论．
分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
解答： 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
点评：本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
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