北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念第1课时习题

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指数函数的概念 数函数的图象和性质

新课程标准解读
核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质并会运用
直观想象、数学运算

第1课时　指数函数的概念、图象与性质


将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数
对应层数
对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝
x＝3
y＝8＝23
S＝＝
……
……
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N＋)，对折后的面积S＝(x∈N＋)．
[问题]　实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　指数函数的概念
1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
2．性质：(1)定义域是，函数值大于0；
(2)图象过定点(0，1)．

对指数函数概念的再理解
　　　　

1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a0，且a≠1.
2．指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.

1．给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝2－x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：选B　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝2－x＝是以为底的指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－20，且a≠1)，由f＝a－＝＝2－，得a＝2，所以f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8.
答案：8
知识点二　指数函数的图象和性质

a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域：
值域：(0，＋∞)
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝
当x＜0时，＜y＜；当x＞0时，y＞
当x＜0时，y＞；当x＞0时，＜y＜
在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0
在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大


指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．

直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有00，a≠1，所以a＝8，
所以f(x)＝8x，f＝8＝2.
(2)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝a2＝9，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
[答案]　(1)D　(2)3x

1．求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
2．求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．　　　　
[跟踪训练]
已知函数f(x)为指数函数，且f＝，求f(－2)的值．
解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f＝得，a－＝，
所以a＝3，
所以f(x)＝3x，
所以f(－2)＝3－2＝.

指数函数的定义域和值域
[例3]　(链接教科书第86页例4)求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝ ；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[解]　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝ 的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以00，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2.
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
[母题探究]
1．(变条件)若将本例(1)的函数换为“y＝ ”，求其定义域．
解：由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．(变条件)若将本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
解：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1，4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1，4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]．

函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合；
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．　　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝＋ 的定义域是(　　)
A．[2，4) B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(2，4)∪(4，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选B　依题意有解得x∈[2，4)∪(4，＋∞)．
2．函数y＝－1的值域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(－1，1)
C．[－1，＋∞) D．[－1，1)
解析：选D　∵2x>0，∴4－2x1.
答案：(1，＋∞)

指数函数的图象及应用
[例4]　(1)(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)

(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0