2021葫芦岛八中高一下学期期中考试数学试卷含答案

葫芦岛八中2020–2021学年度下学期高一期中考试数学试卷

答题时间：120分钟  总分数：150分

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在①160°；②480°；③－960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　)

A．①　　　　　　　 B．①②

C．①②③  D．①②③④

2．将转化为弧度为（    ）

A． B． C． D．

3．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(    )

A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米

4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于(　　)

A．1　         B．　　　       C．－　         D．－1

5．若，则 (   )

  A．1 B． C． D．

6．cosα，α∈（，π），sinβ，β是第三象限角，则cos（β﹣α）＝（　　）

A． B． C． D．

7．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－4b|2＝(　　)

A．2  　        B．2　          C．6           　D．12

8．函数y＝2sin的图像(　　)

A．关于原点成中心对称             B．关于y轴成轴对称

C．关于点成中心对称         D．关于直线x＝成轴对称

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　)

A．tan α＝     B．cos α＝     C．sin α＋cos α＝    D．sin α－cos α＝－

10．已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是(　　)

A．a与b的夹角是直角                 B．|a＋b|为2

C．a＋b与a－b的夹角是直角

D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量

11．已知函数f(x)=cos2x-sin2x+1,则(　　)

A.f(x)的对称轴为x=(k∈Z)       B.f(x)的对称轴为x=(k∈Z)

C.f(x)的最小正周期为π,最大值为2     D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1

12．将函数f(x)的图像向右平移个单位，再将所得函数图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像．已知函数g(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)(　　)

A．最小正周期为π，最大值为2

B．最小正周期为π，图像关于点中心对称

C．最小正周期为π，图像关于直线x＝对称

D．最小正周期为π，在区间上单调递减

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．函数y＝tan的定义域为________．

14．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝________.

15．已知向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，则a与b夹角的大小为________．

16．已知4sin（α）+4cos（α）＝3，则cos（2α）＝　   　．

四、解答题(本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f(α)＝

.

(1)化简f(α)；

(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值．

18．(本小题满分12分)已知函数f（x）＝2sin．

（1）求f（x）最小正周期及单调递增区间；

（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．

  19．(本小题满分12分) 已知向量|a|＝1，|b|＝2.

(1)若a与b的夹角为，求|a＋2b|；

(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角．

20．(本小题满分12分)设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．

21．(本小题满分12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R.

(1)求λ为何值时， |c|最小？此时b与c的位置关系如何？

(2)求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？

22．(本小题满分12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R

的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的值域．

数学答案

1．C  2．D  3.  B  4.  A   5.  A   6.  A  7.  D   8.  C 

9.  AB  10. CD  11. BC  12.  ACD

13. {x≠＋ ，k∈Z}
14. ±
15. 　
17. (1)f(α)＝＝－cos α..............................................4分

(2)由已知得tan α＝2，＝2，sin α＝2cos α，sin2α＝4cos2α，

1－cos2α＝4cos2α，cos2α＝.............................7分

因为α是第三象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－，所以f(α)＝－cos α＝..................................................................................................................10分

18 .（1）由于函数sincos2sin（）....3分

可得周期T4π．...................................................................................................4分

令 2kπ2kπ，k∈z，求得 4kπx≤4kπ，k∈z，

可得函数的增区间为[4kπ，4kπ]，k∈z．.........................................................6分

（2）当时，，.................................................................8分

故当时，f（x）＝2sin（） 取得最小值为，.................10分

当 时，f（x）＝2sin（） 取得最大值为2．......................12分

19 .(1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2....................................................2分

＝1＋4×1×2×cos ＋4×4

＝1＋4＋16＝21，

所以|a＋2b|＝...............................................4分

(2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3，

所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3，

所以6a2－a·b－b2＝3，.............................................................................8分

所以6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3，

所以cos〈a，b〉＝－................................................................................10分

因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝..........................................12分

20 .因为a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，

所以c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，

d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，.................................4分

所以c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m

又|c|＝1，|d|＝，c与d的夹角为45°，

所以2－3m＝1×cos 45°，......................................8分

即＝(2－3m)，

等价于

解得m＝..........................................................................................................12分

21 .(1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得

c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，................................................................2分

|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2

＝25＋4，

当λ＝－时，|c|最小，此时c＝，

b·c＝0，所以b⊥c.......................................................................................6分

(2)设向量a与c的夹角为θ，则

cos θ＝＝＝，.........................8分

要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，

于θ∈[0, π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，

解得λ＝0，c＝(1,2)．

所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c...............................................12分

22 .(1)由最低点为M得A＝2............................................................1分

由x轴上相邻两个交点之间的距离为，

得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2..................................................3分

由点M在图像上得2sin＝－2，

即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

所以φ＝2kπ－(k∈Z)．

又φ∈，所以φ＝，故f(x)＝2sin.....................................6分

(2)因为x∈，所以2x＋∈，..........................................8分

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，.....................................10分

故f(x)的值域为[－1,2]．....................................................................................12分