2022年新高考数学模拟卷（二）

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  本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，若在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再令其实部小于，虚部大于即可求解.【详解】因为，因为在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以实数a的取值范围为，故选：A.2．已知实数集， 集合， 则 （    ）A．  B． 或   C．  D． 或 【答案】B【详解】因为集合所以，而，所以 或 ，故选：B3．设、分别是抛物线的顶点和焦点，点在抛物线上，若，则A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】设，由，求出点的坐标，最后求【详解】解：，设，，因为，，，故选：B【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题.4．若正三棱台的各顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则正三棱台的高为（    ）A． B．4 C．或3 D．3或4【答案】D【分析】由外接球的表面积可得，分别求出正三棱台的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质分别求出球心到上下两个面的距离，再分三棱台的上下底面在球心的同侧和异侧两种情况求解即可.【详解】解析：设点，分别是正，的中心，球的半径为，则，即，且，，三点共线，正三棱台的高为，在等边中，由，由正弦定理可得： ，得在等边中，由，由正弦定理可得： ，得在中，，即，得，在中，，即，得，如果三棱台的上下底面在球心的两侧，则正三棱台的高为，如果三棱台的上下底面在球心的同侧，则正三棱台的高为，所以正三棱台的高为或4，故选：D．5．医用口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，，，，．则　　A．      B．          C． D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则【解析】解：对于，，故选项正确；对于，因为，又，所以，显然，故选项错误；对于，，故选项正确；对于，，则，由，故选项正确．故选：．6．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为，故总曲率为．故选：B.7．已知，则当时，与的大小关系是（       ）A．    B．    C．    D．不确定【答案】B【详解】解：由函数，得函数在上递增，在上递减，在上递增，作出函数和的图像，如图所示，令，得或，结合图像可知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，当时，.故选：B.8．已知函数，现有下列四个命题：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于(，0)对称；④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④【答案】C【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】因为与的最小正周期均为π，所以f(x)的最小正周期是π.因为，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.因为，所以f(x)的图象关于(，0)对称.因为，所以f(x)的图象关于(π，0)对称.所以①②③④均正确，故选：C二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个表述中，正确的是（    ）A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；C．具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；D．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．【答案】AD【解析】A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变，正确；B．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，错误；C．设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于1，，之间的线性相关程度越高，错误；D．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．故选：AD10．如图，点为边长为1的正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（    ）A．直线、是异面直线                     B．C．直线与平面所成角的正弦值为       D．三棱锥的体积为【答案】BD【详解】对于A选项，连接，则点为的中点，、平面，平面，同理可知平面，所以，与不是异面直线，A选项错误；对于C选项，四边形是边长为的正方形，，平面平面，交线为，平面，平面，所以，直线与平面所成角为，为的中点，且是边长为的正三角形，则，，，C选项错误；对于B选项，取的中点，连接、，则且，，平面，平面，平面，，，，B选项正确；对于D选项，平面，的面积为，所以三棱锥的体积为，D选项正确.11．已知圆，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（    ）A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2C．直线AB过定点 D．存在点N使为定值【答案】ACD【详解】如图示：设 ，则，所以四边形PAMB周长为 ，当P点位于原点时，t 取值最小2，故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值，故A正确；由 可得： ，则 ，而 ，则 ,故B错误；设 ，则 方程为： ，的方程为，而在切线，上，故，，故AB的直线方程为，当时，，即AB过定点 ，故C正确；由圆的切线性质可知 ,设AB过定点为D,则D点位于以MD为直径的圆上，设MD的中点为N，则 ,则为定值，即D正确，故选：ACD.12．对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（       ）A．      B．数列为等比数列C．数列单调递增    D．数列的前项和恒小于4【答案】ABD【详解】因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故A正确；因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故B正确；因为，，，所以数列不是单调递增数列，故C错误；因为，所以.设，则，所以，所以，从而数列的前项和为，故D正确. 故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.【答案】    (答案不唯一)    【分析】通过得出，即可求出的最小正周期；通过得出函数关于点对称，然后列举一个满足关于点对称以及最小正周期为的方程即可.【详解】因为，所以，的最小正周期为.因为，所以函数关于点对称，满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.故答案为：；（答案不唯一）.14．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（    ）【答案】【解析】由题意得，故，如图所示，      则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为，∴，即，当且仅当时，等号成立，而到渐近线的距离，又，故，∴，即面积的最大值为.15．已知为单位向量，平面向量满足则的最小值为_______．【答案】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】不妨设，则，即，所以在圆上  设圆的参数方程为（为参数）则令， 所以当时，，所以， 故答案为：【点睛】运用平面向量数量积的运算性质及换元思想是解题的关键.16．已知的图象在点A处的切线为的图象在点B处的切线为若，则直线AB的斜率为_________【答案】【分析】分别对求导，确定，再由得出，进一步确定的值域，从而确定，最后求出的坐标，再求斜率.【详解】解：易知的斜率均存在，设直线的斜率分别为，当且仅当时等号成立，则因为，所以，所以令则，令，则，递增，令，则，递减，易知在处取得最大值，所以.因为，所以，当时，即，则，即，当，，则，即，所以可得A(0，0)，，所以故答案为：.【点睛】考查曲线在某一点的切线斜率就是该点的导数，本题的难点在于确定导函数的值域，从而确定出切线斜率的具体值；难题.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①；②；③且为锐角.在中，内角，，的对边分别为，，，面积为，若， ______，.(1)求角；(2)求的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.【解析】(1)选条件① ∵，∴，又，∴，故选条件②（1）∵，由正弦定理得：，又，∴，即，又，故.选条件③（1）∵且，∴，即，又为锐角，故.(2)根据（1）的结果可得：  ∵且，∴由正弦定理得：，①又由余弦定理有：，即，∴，②由①②解得：，故的周长.18．已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）由已知有： 所以，，其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列.所以，得.（2）由（1）知：，，所以.19．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.(1)求证：；(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点E为线段中点【分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.(1)证明：连接交于点，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以.三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故. (2)由(1).平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，且设， ，得所以， 设平面的一个法向量，由，得： ，取,由(1)知平面，所以平面的一个法向量,所以，解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.20．某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次. 假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.参考数据：，，，，.【解析】（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，从而，i＝0，1，2，3．随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的均值为．                （2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，且，，∴，又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．设，则，所以时，，时，，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，故k的取值范围为且k∈N*21．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸 (如下图)步骤 1： 设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤 2： 把纸片折叠， 使圆周正好通过点；步骤 3： 把纸片展开， 并留下一道折痕；步骤 4： 不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为的圆形纸片， 设定点到圆心 的距离为，按上述方法折纸．（1）以点 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）直线过椭圆的右焦点，交该椭圆于，两点，中点为，射线 为坐标原点)交椭圆于，若，求直线的方程．【答案】（1）（2）【分析】（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，根据椭圆的定义求出的值，根据求出的值，再由求出的值即可得椭圆的方程；（2）由已知可得，当斜率不存在时，，不合题意；当 斜率存在时，设，，直线方程为，利用点差法求出，可得直线的方程为：分别与椭圆、联立求出点，横坐标，再结合列方程求出的值即可求解.（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系 设为椭圆上一点，由题意可知，所以点轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，                因为，，所以，，则，所以椭圆的标准方程为；（2）因为，所以，当斜率不存在时，，不合题意；                                当斜率存在时，设直线方程为，点，，则，两式作差得：，即，                             故直线的方程为：，联立，解得，       联立，解得，因为，所以，                           即，则，解得：， 所以直线的方程为．即.22．设函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)若为函数的两个不等于1的极值点，设，记直线的斜率为，求证：.【答案】(1)  (2)证明见解析【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，依题意在上有两个不等于的正根，即可得到韦达定理，不妨设，所以，根据两点斜率公式得到，即证，根据对数平均不等式可得，只需证明，令，依题意即证，，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：因为，所以，，所以，所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为(2)解：因为因为为函数的两个不等于1的极值点，所以在上有两个不等于的正根，所以，所以，不妨设，所以，所以要证即证，即，令，则，所以当时，，所以函数在上单调递增，故，即，所以在上恒成立，因为，所以，所以，即，即，所以，下面只需证明，令，因为，所以，所以，所以，即证，，即证，，令，，，所以在上单调递减，所以，得证