2022届湖南省长郡中学高三考前保温卷数学试题

长郡中学2022届考前保温卷

数  学

本试卷共6页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知，则复数z=（       ）

A． B． C． D．

3．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧．四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头—字代表着季节，每—一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（       ）

A． B． C． D．

4．已知命题p：点（a，b）在圆C：x2+y2=1内，则直线ax+by=1与圆C相离；命题q：直线l⊥直线m，m∥平面，则l⊥．下列命题正确的是（       ）

A． B． C． D．

5．已知数列满足（），则（       ）

A． B． C． D．

6．若，，则“”的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

7．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则当取最大值时，（       ）

A． B． C． D．4

8．已知函数满足：对任意的，，若函数与图象的交点为（，）（i=1，2，…，n），则的值为（       ）

A．0 B． C．n D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（       ）

A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54

B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为

C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

10．正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用．已知某个声音信号的波形可表示为，则下列叙述不正确的是（       ）

A．在内有5个零点

B．的最大值为3

C．是的一个对称中心

D．当时，单调递增

11．在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（       ）

12．如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为；点（1，0）处标签为1，记为；点（1，1）处标签为2，记为；点（0，1）处标签为1，记为；点（−1，1）处标签为0，记为；…以此类推，格点（i，j）（i，）处标签为，记，则（       ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知a=（1，3），a+b=（−1，2），则________．

14．已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则________．

15．如图，已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立平面直角坐标系，（10，0），（6，8），则的中点C的坐标为________．

16．一个二元码是由0和1组成的数字串．（），其中（k=1，2，…，n）称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码，的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

 如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）已知b=3，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值．

18．（本小题满分12分）

 已知等差数列的前n项和为，又对任意的正整数m，n，都有，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

 如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．△BCD是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角E−BC−D的大小为30°，且．

（1）求t的值；

（2）对于平面ACD内的动点P总有OP∥平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得OP∥平面BEC的理由．

20．（本小题满分12分）

 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为：甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．

（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E（X）的取值范围．

21．（本小题满分12分）

 已知双曲线C：（，）的离心率为2，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，A（2，3）是双曲线C上的一个点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点B（4，0）且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为l1，l2，点P为直线l1与直线l2的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点（，）处的切线方程为的）．

22．（本小题满分12分）

 已知函数．

（1）若函数，讨论的单调性；

（2）从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分．

 ①若函数，，且，证明：．

 ②若函数，证明：．