2022年中考数学复习训练题(含解析)----锐角三角函数
展开2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数(2022年5月)
一.选择题(共10小题)
1.(2022春•杏花岭区校级月考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均是1,△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
2.(2022•文成县一模)如图,小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度,测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°,并测得C点到电线杆的距离BC为5米,则拉线AC的长度为( )
A.米 B.米 C.5sin70°米 D.5cos70°米
3.(2022春•浦东新区校级期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4.下列四个选项,正确的是( )
A.tanB= B.cotB= C.sinB= D.cosB=
4.(2022•石家庄一模)如图1为一个土堆,我们可以把它的截面看成一个等腰△ABC(如图2).其中斜坡AB和AC与水平地面BC所成锐角为20°,最高处A距离地面0.8米,则下列说法正确的是( )
A.斜坡AB的坡度是20° B.斜坡AC的坡度是tan20°
C.BC=米 D.AB=米
5.(2022•任城区一模)电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔AB建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52.5°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52.5°≈0.79,cos52.5°≈0.61,tan52.5°≈1.30)( )
A.32.5米 B.27.5米 C.30.5米 D.58.5米
6.(2022•北仑区二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点且AE=4EB,EF⊥AC于F,连结FB,则tan∠CFB=( )
A. B. C. D.
7.(2022•官渡区一模)如图,小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度,他和同学在河对岸选定一点A,再在河的这一边选定点P和点B,使BP⊥AP.利用工具测得PB=50米,∠PBA=α,根据测量数据可计算得到小河宽度PA为( )
A.50sinα米 B.50cosα米 C.50tanα米 D.米
8.(2022•深圳模拟)如图,点A到点C的距离为200米,要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上,在C点测得B在北偏东30°的方向上,则B点到河岸AD的距离为( )
A.100米 B.200米 C.米 D.100米
9.(2022•济阳区一模)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为100m,则这栋楼的高度为( )(参考数据:≈1.73,tan36°≈0.73,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,结果保留整数)
A.232m B.246m C.254m D.310m
10.(2022•德城区一模)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:
(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;
(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;
(3)连接BD,BC.
下列说法正确的个数有( )个.
①△ACB为等边三角形;②AB2+BD2=AD2;③S△ABC=△ABD;④sin2∠ABC+sin2∠DBC=1;
A.4 B.3 C.2 D.1
二.填空题(共10小题)
11.(2022春•仪征市校级月考)一山坡的的坡比为3:4,一人沿山坡向上走了25米,那么这人垂直高度上升了 米.
12.(2022•零陵区二模)如图,小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度,已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m,AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离),那么旗杆的高度是 m(结果保留一位小数,其中,).
13.(2022•钱塘区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°.若3AB=5AC,则tanA= .
14.(2022•西乡塘区一模)桔槔,亦叫“桔皋”,我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆,杠杆上竹竿一端A处系绳子,绳子另一端悬绑汲器,竹竿另一端B处绑石块等重物,用不大的力量即可将灌满水的汲器提起,桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物•水利》中的桔槔图,若竹竿A,B两处的距离为10m,当汲器伸到井口时,绳子受重力作用垂直于水平面,此时竹竿AB与绳子的夹角为53°,则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是 m.(忽略提水时竹竿产生的形变)(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)
15.(2022•南沙区一模)如图,广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m,从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°,测得树底D点俯角β为45°,则木棉树的高度CD是 .(精确到个位,参考数据:sin44°≈0.69,cos44°≈0.72,tan44°≈0.96)
16.(2022•绥化一模)如图,某山的山顶B处有一个观光塔,已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°,山高BC为100米,点E距山脚D处150米,在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60°,则观光塔AB的高度是 米.
17.(2022•梧州模拟)如图,数学活动小组为了测量学校旗杆的高度AB,小组内一成员站在距离旗杆12米的点C处,测得旗杆顶端点A的仰角为37°,已知测角仪架高CD为1.5米,则旗杆的高度为 米.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin37°≈0.602,cos37°≈0.799,tan37°≈0.754)
18.(2022•瑞安市一模)如图,草坪边上有两条相互垂直的小路m,n,垂足为O,在草坪内有一个圆形花坛,花坛边缘上有A,B,C三棵小树,为了估测圆形花坛的半径,在小路上D,E,F三点观测,发现均有两棵树与观测点在同一直线上,从观测点E沿着ED方向走5米到G点.测得∠BGD=45°,OF=18米,∠AFO=90°,tan∠BDE=tan∠BED=,则树B到小路m的距离为 米,圆形花坛的半径长为 米.
19.(2022•松北区一模)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AD=AC,若tan∠CAD=,△ABC的面积为20,则线段AB的长为 .
20.(2022•松北区一模)△ABC中,,,,则BC边的长为 .
三.解答题(共10小题)
21.(2022春•鼓楼区校级月考)某校数学兴趣小组在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度,如图,小明同学站在点D处,将含45°角三角尺的一条直角边水平放置,此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上,沿教学楼向前走8米到达点F处,将含30°角三角尺的短直角边水平放置,此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上,已知小明眼睛到地面的距离为1.65米,求教学楼AB的高度.(点D,F,B在同一水平线上,结果保留根号)
22.(2022•花都区一模)学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高.当无人机在A处时,恰好测得大树顶端C的俯角为45°,大树底端B的俯角为60°,此时无人机距离地面的高度AD=30米,求大树BC的高.
(结果保留小数点后一位.≈1.414,≈1.732)
23.(2022•滨海新区一模)如图,为测量建筑物CD的高度,在A处测得建筑物顶部D处的仰角为22°,再向建筑物CD前进30m到达B处,测得建筑物顶部D处的仰角为58°(A,B,C在同一条直线上),求建筑物CD的高度(结果取整数).
参考数据:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60.
24.(2022•海珠区一模)某地为了让山顶通电,需要从山脚点B开始接驳电线,经过中转站D,再连通到山顶点A处,测得山顶A的高度AC为300米,从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米,斜面BD的坡度i=1:2(指DF与BF的比),从点D看向点A的仰角为45°.
(1)斜面AD的坡度i= ;
(2)求电线AD+BD的长度(结果保留根号).
25.(2022•禅城区二模)春节期间,小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字,小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度:如图,小明先在A处,测得“新”字底端D的仰角为60°,再沿着坡面AB向上走到B处,测得“新”字顶端C的仰角为45°,坡面AB的坡度i=1:,AB=50m,AE=75m(假设A、B、C、D、E在同一平面内).
(1)求点B的高度BF;
(2)求“新”字的高度CD.(CD长保留一位小数,参考数据≈1.732)
26.(2022•西青区一模)某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度,他们在C处仰望建筑物顶端
A测得仰角为37°.再往建筑物的方向前进9m到达D处,测得建筑物顶端A的仰角为63°,求建筑物AB的高度(测角器的高度忽略不计,结果精确到1m).
参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8.tan37°≈0.8.sin63°≈0.9,cos63°≈0.5,tan63°≈2.0.
27.(2022•温江区模拟)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,求河流的宽度BC.(结果精确到1m;参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.30,≈1.73)
28.(2022•沙坪坝区模拟)如图,某社区公园内有A,B,C,D四个休息座椅,并建有一条从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道.经测量知,∠ABC=75°,∠A=60°,∠D=60°,步道AB长40米,步道CD长20米.(A,B,C,D在同一平面内,步道宽度忽略不计,结果保留整数,参考数据:,≈2.4)
(1)求步道BC的长;
(2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区,经调研,改建儿童活动区成本为每平方米200元.社区公园目前可用资金为18万元,计算此次改建费用是否足够?
29.(2022•新都区模拟)在课堂上,同学们已经学习了一些测量距离的方法.小刚想尝试利用无人机测量新都的母亲河——毗河某一处的宽度.如图所示,小刚站在河岸一侧的D点操控无人机,操纵器距地面距离DE=1.5米,在河对岸安放了一标志物F点,无人机在点D正上方的点A,距离地面的飞行高度AD是57.5米,匀速水平飞行4秒到达点B,此时,小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为63°,然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C,测得点F的俯角为45°(点A,B,C,D,E,F在同一平面内).
(1)求无人机飞行的速度是多少米/秒;
(2)求河宽DF的距离.
(参考数据:sin63°≈0.90,cos63°≈0.45,tan63°≈2.00)
30.(2022•黄岛区一模)图1为某机械臂3D模型,该机械臂底部AB是固定的,高度为40cm,连杆BC的长度为60cm,手臂CD的长度为50cm,机械手DE的长度为30cm.点B、C、D是转动点,且AB、BC、CD与DE始终在同一平面内.转动连杆BC,手臂CD,机械手DE使∠ABC=150°,CD∥AF,∠CDE=120°,如图2所示.求机械手端点E离地面的高度(结果精确到1cm).
2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数(2022年5月)
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2022春•杏花岭区校级月考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均是1,△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【考点】解直角三角形.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】过点C作CD⊥AB,垂足为D,用勾股定理求得AC=5,再根据三角函数定义求出sinA的值.
【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,
在Rt△ADC中,根据勾股定理得,AC===5,
∴sinA==.
故选:B.
【点评】本题考查了解直角三角形,熟练掌握勾股定理、三角函数定义是解题的关键.
2.(2022•文成县一模)如图,小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度,测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°,并测得C点到电线杆的距离BC为5米,则拉线AC的长度为( )
A.米 B.米 C.5sin70°米 D.5cos70°米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】根据余弦的定义计算,得到答案.
【解答】解:在Rt△ABC中,cosC=,
则AC==(米),
故选:B.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握余弦的定义是解题的关键.
3.(2022春•浦东新区校级期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4.下列四个选项,正确的是( )
A.tanB= B.cotB= C.sinB= D.cosB=
【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.
【分析】根据勾股定理求出BC的长,根据锐角三角函数的定义判断即可.
【解答】解:如图,根据勾股定理得:BC===3,
tanB==,
cotB==,
sinB==,
cosB==,
故选:C.
【点评】本题考查了勾股定理,锐角三角函数的定义,掌握cotB=是解题的关键.
4.(2022•石家庄一模)如图1为一个土堆,我们可以把它的截面看成一个等腰△ABC(如图2).其中斜坡AB和AC与水平地面BC所成锐角为20°,最高处A距离地面0.8米,则下列说法正确的是( )
A.斜坡AB的坡度是20° B.斜坡AC的坡度是tan20°
C.BC=米 D.AB=米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题;等腰三角形的性质.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】根据坡度的概念、正切和正弦的定义计算,判断即可.
【解答】解:A、斜坡AB的坡角是20°,而不是坡度是20°,本选项说法错误,不符合题意;
B、斜坡AC的坡度是tan20°,本选项说法正确,符合题意;
C、过点A作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD,
在Rt△ABD中,BD==,
∴BC=,本选项说法错误,不符合题意;
D、AB==,本选项说法错误,不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
5.(2022•任城区一模)电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔AB建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52.5°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52.5°≈0.79,cos52.5°≈0.61,tan52.5°≈1.30)( )
A.32.5米 B.27.5米 C.30.5米 D.58.5米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】延长AB交ED于G,过C作CF⊥DE于F,得到GF=BC=5,设DF=3k,CF=4k,解直角三角形得到结论.
【解答】解:延长AB交ED于G,过C作CF⊥DE于F,
∴GF=BC=5米,
∵山坡CD的坡度为1:0.75,
∴设DF=3k,CF=4k,
∴CD=5k=35(米),
∴k=7米,
∴DF=21米,BG=CF=28米,
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45(米),
∵∠AED=52°,
∴AG=EG•tan52.5°≈45×1.30=58.5(米),
∴AB=30.5米,
答:铁塔AB的高度约为30.5米.
故选:C.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题和解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,难度适中,通过作辅助线,构造直角三角形,利用三角函数求解是解题的关键.
6.(2022•北仑区二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点且AE=4EB,EF⊥AC于F,连结FB,则tan∠CFB=( )
A. B. C. D.
【考点】解直角三角形;含30度角的直角三角形.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;推理能力.
【分析】先根据EF⊥AC及∠C=90°得到EF∥BC,从而得到,再在Rt△ABC中,∠A=30°,设AB=2x,则BC=x,AC=,从而表示出CF,最后根据锐角三角函数的定义求出tan∠CFB.
【解答】解:∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°=∠C,
∴EF∥BC,
∴,
在Rt△ABC中,∠A=30°,
设AB=2x,则CB=x,
∴AC=,
∴CF=AC=,
∴tan∠CFB==.
故选:D.
【点评】本题主要考查解直角三角形,涉及到平行线的判定,平行线分线段成比例,勾股定理,锐角三角函数的定义等,解题关键是熟练使用相关概念进行推理.
7.(2022•官渡区一模)如图,小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度,他和同学在河对岸选定一点A,再在河的这一边选定点P和点B,使BP⊥AP.利用工具测得PB=50米,∠PBA=α,根据测量数据可计算得到小河宽度PA为( )
A.50sinα米 B.50cosα米 C.50tanα米 D.米
【考点】解直角三角形的应用.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】在Rt△ABP中,利用锐角三角函数的定义,进行计算即可解答.
【解答】解:∵BP⊥AP,
∴∠APB=90°,
在Rt△ABP中,PB=50米,∠PBA=α,
∴AP=PB•tanα=50tanα(米),
∴小河宽度PA为50tanα米,
故选:C.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
8.(2022•深圳模拟)如图,点A到点C的距离为200米,要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上,在C点测得B在北偏东30°的方向上,则B点到河岸AD的距离为( )
A.100米 B.200米 C.米 D.100米
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】过点B作BE⊥AD,垂足为E,根据题意可得∠BAD=30°,∠BCD=60°,再利用三角形的外角可得∠ABC=30°,从而可得AC=BC=200米,然后在Rt△BCE中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【解答】解:过点B作BE⊥AD,垂足为E,
由题意得:
∠BAD=90°﹣60°=30°,∠BCD=90°﹣30°=60°,
∴∠ABC=∠BCD﹣∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠BAD=30°,
∴AC=BC=200米,
在Rt△BCE中,BE=BC•sin60°=200×=100(米),
∴B点到河岸AD的距离为100米,
故选:D.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
9.(2022•济阳区一模)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为100m,则这栋楼的高度为( )(参考数据:≈1.73,tan36°≈0.73,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,结果保留整数)
A.232m B.246m C.254m D.310m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;推理能力.
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数,可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长.
【解答】解:如图,
由题意可知:AD⊥BC,AD=100m,∠BAD=36°,∠DAC=60°,
∴BD=AD•tan36°≈100×0.73=73(m),CD=AD•tan60°=100×=100≈173(m),
∴BC=BD+CD=73+173=246(m),
故选:B.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
10.(2022•德城区一模)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:
(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;
(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;
(3)连接BD,BC.
下列说法正确的个数有( )个.
①△ACB为等边三角形;②AB2+BD2=AD2;③S△ABC=△ABD;④sin2∠ABC+sin2∠DBC=1;
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】解直角三角形的应用;等边三角形的判定与性质;勾股定理.菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.
【分析】由做法直接判断①;△ABC是等边三角形,求得∠A=∠ACB=∠ABC=60°,根据等腰三角形的性质得到∠D=∠CBD,推出∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,可以判断②;由三角形的面积公式可以判断③;由直角三角形中正弦定理可以判断④.
【解答】解:由作图可知:AC=AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
故①正确;
∵CD=CB,
∴∠D=∠CBD,
∵∠ACB=∠D+∠CBD,
∴∠CBD=∠D=30°,
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,
∴AB2+BD2=AD2,
故②正确;
由做法知,AC=CD=AB,
∴C是AD的中点,
过点C作CE⊥AB,垂足为E,
∴CE∥BD,
∴CE=BD,
∴S△ABC=AB•CE=AB•,
S△ABD=AB•BD,
∴S△ABC=S△ABD,
故③错误;
∵AC=BC=CD,
∴∠ABC=∠A,∠DBC=∠D,
在Rt△ABD中,
sin2∠A=()2=,sin2∠D=()2=
∴sin2∠A+sin2∠D=+=1,
∴sin2∠ABC+sin2∠DBC=1.
故④正确.
故选:B.
【点评】本题考查直角三角形的应用,等边三角形的判定和性质,三角形的面积,熟练掌握等边三角形判定和三角形的面积是解题的关键.
二.填空题(共10小题)
11.(2022春•仪征市校级月考)一山坡的的坡比为3:4,一人沿山坡向上走了25米,那么这人垂直高度上升了 15 米.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】设出垂直高度,表示出水平宽度,利用勾股定理求解即可.
【解答】解:如图:AB=25米,tanB=3:4,
设AC=3x,BC=4x,
由勾股定理得:AB=5x=25,
解得:x=5,
则AC=3x=15(米).
故答案为:15.
【点评】本题考查了坡度和坡角,掌握坡度坡角的定义及勾股定理的运用是解题的关键.
12.(2022•零陵区二模)如图,小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度,已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m,AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离),那么旗杆的高度是 10.2 m(结果保留一位小数,其中,).
【考点】解直角三角形的应用.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】利用三角函数求出DE,然后根据CD+DE=CE即可得出旗杆的高度.
【解答】解:由题知,AD=BC=15m,
∴DE=AD•tan30°=15×=5≈8.66(m),
∴CE=DE+CD=8.66+1.5≈10.2(m),
即旗杆的高度为10.2m;
故答案为:10.2.
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用,熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
13.(2022•钱塘区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°.若3AB=5AC,则tanA= .
【考点】锐角三角函数的定义.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力;模型思想.
【分析】根据3AB=5AC,可得=,根据勾股定理求出BC,再根据锐角三角函数的定义进行计算即可.
【解答】解:∵3AB=5AC,
∴=,
在Rt△ABC中,∠C=90°.
设AC=3k,则AB=5k,由勾股定理得,
BC==4k,
∴tanA==,
故答案为:.
【点评】本题考查锐角三角函数,掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提.
14.(2022•西乡塘区一模)桔槔,亦叫“桔皋”,我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆,杠杆上竹竿一端A处系绳子,绳子另一端悬绑汲器,竹竿另一端B处绑石块等重物,用不大的力量即可将灌满水的汲器提起,桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物•水利》中的桔槔图,若竹竿A,B两处的距离为10m,当汲器伸到井口时,绳子受重力作用垂直于水平面,此时竹竿AB与绳子的夹角为53°,则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是 8 m.(忽略提水时竹竿产生的形变)(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)
【考点】解直角三角形的应用.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】过点B作悬绑汲器的绳子的垂线段BC,垂足为C,然后在Rt△ACB中,利用锐角三角函数的定义进行计算,即可解答.
【解答】解:如图:过点B作悬绑汲器的绳子的垂线段BC,垂足为C,
则∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,AB=10m,∠BAC=53°,
∴BC=AB•sin53°≈10×0.8=8(m),
∴绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是8m,
故答案为:8.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
15.(2022•南沙区一模)如图,广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m,从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°,测得树底D点俯角β为45°,则木棉树的高度CD是 24米 .(精确到个位,参考数据:sin44°≈0.69,cos44°≈0.72,tan44°≈0.96)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】延长DC,交过点A的水平线于点E,根据题意可得BD=AE=600米,然后分别在Rt△AED和Rt△AEC中,利用锐角三角函数的定义求出DE,CE的长,进行计算即可解答.
【解答】解:如图:延长DC,交过点A的水平线于点E,
则BD=AE=600米,
在Rt△AED中,∠EAD=45°,
∴DE=AE•tan45°=600×1=600(米),
在Rt△AEC中,∠EAC=44°,
∴EC=AE•tan44°≈600×0.96=576(米),
∴CD=DE﹣CE=600﹣576=24(米),
∴木棉树的高度CD是24米,
故答案为:24米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键.
16.(2022•绥化一模)如图,某山的山顶B处有一个观光塔,已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°,山高BC为100米,点E距山脚D处150米,在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60°,则观光塔AB的高度是 50 米.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;模型思想.
【分析】作EF⊥AC于F,EG⊥DC于G,根据直角三角形的性质求出EG,根据题意出去BF,根据正切的定义求出AF,计算即可.
【解答】解:作EF⊥AC于F,EG⊥DC于G,
在Rt△DEG中,EG=DE=75(米),
∴BF=BC﹣CF=BC﹣CE=100﹣75=25(米),
EF===25(米),
∵∠AEF=60°,
∴∠A=30°,
∴AF=EF=75(米),
∴AB=AF﹣BF=50(米),
答:观光塔AB的高度为50米.
故答案为:50;
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
17.(2022•梧州模拟)如图,数学活动小组为了测量学校旗杆的高度AB,小组内一成员站在距离旗杆12米的点C处,测得旗杆顶端点A的仰角为37°,已知测角仪架高CD为1.5米,则旗杆的高度为 10.6 米.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin37°≈0.602,cos37°≈0.799,tan37°≈0.754)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【专题】推理填空题;解直角三角形及其应用;推理能力.
【分析】根据题意:可得Rt△ADE,利用锐角三角函数可得AE的大小;进而根据AB=BE+AE可得旗杆AB的高.
【解答】解:根据题意可知:DE=BC=12米,
则AE=DE•tan37°≈12×0.754≈9.05(米),
故旗杆的高度为:AB=AE+BE=9.05+1.5≈10.6(米).
故答案为:10.6.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,关键是本题要求学生借助仰角构造直角三角形,并结合三角函数解直角三角形.
18.(2022•瑞安市一模)如图,草坪边上有两条相互垂直的小路m,n,垂足为O,在草坪内有一个圆形花坛,花坛边缘上有A,B,C三棵小树,为了估测圆形花坛的半径,在小路上D,E,F三点观测,发现均有两棵树与观测点在同一直线上,从观测点E沿着ED方向走5米到G点.测得∠BGD=45°,OF=18米,∠AFO=90°,tan∠BDE=tan∠BED=,则树B到小路m的距离为 15 米,圆形花坛的半径长为 米.
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【专题】等腰三角形与直角三角形;运算能力.
【分析】设圆型草坪的圆心为M,连接MB交AC于点R,延长MB交ED于点T,连接CM,先通过直角三角形BTE求出BT,利用相似三角形的性质求出CR,利用勾股定理解决问题即可.
【解答】解:设圆型草坪的圆心为M,连接MB交AC于点R,延长MB交ED于点T,连接CM,
∵A,F,O在同一条直线上,且∠AFO=90°,m⊥n,
∴AC∥ED,
∴∠BED=∠BCA,∠BDE=∠CAB,
∵tan∠BDE=tan∠BED,
∴∠BED=∠BDE,
∴∠BCA=∠BAC,
∴BA=BC,
∴=,
∴MT⊥AC,
∴MT⊥ED,
∵∠BGT=45°,
∴GT=BT,
∴在Rt△BET中,tan∠BET===,
∴4BT=3BT+3EG,
∴BT=3EG=3×5=15(米),
∴ET=EG+GT=5+15=20(米),
BR=OF﹣BT=18﹣15=3(米),
∵AB∥ED,
∴△CBR∽△EBT,
∴,
∴CR=•ET=×20=4(米),
在Rt△CRM中,CM=r,
CM2=CR2+MR2=CR2+(CM﹣BR)2,
r2=42+(r﹣3)2,
解得:r=,
故答案为:15,.
【点评】本题考查垂径定理.勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
19.(2022•松北区一模)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AD=AC,若tan∠CAD=,△ABC的面积为20,则线段AB的长为 .
【考点】解直角三角形;三角形的面积.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用.
【分析】过点C作CH⊥AD于点H,过点A作AG⊥BC于点G,根据已知条件求出AD,AH和CH的值,再根据勾股定理求出CD的长,根据三角形的面积求出AG,再根据勾股定理求AB即可.
【解答】解:过点C作CH⊥AD于点H,过点A作AG⊥BC于点G,如图所示:
则有∠AHC=∠AGD=90°,
∵tan∠CAD=,
∴CH:AH=4:3,
设CH=4x,AH=3x,
根据勾股定理得AC=5x,
∵△ABC的面积为20,且AD为BC边上的中线,
∴△ADC的面积为10,
∵AD=AC=5x,
∴=10,
解得x=1,
∴CH=4,AH=3,AD=AC=5,
∴DH=5﹣3=2,
根据勾股定理得CD=,
∵AD=AC,
∴DG=,
∴BG=3,
又∵△ADC的面积=,
∴AG=,
根据勾股定理,得AB=,
故答案为:.
【点评】本题考查了解直角三角形,涉及三角形的面积公式,勾股定理以及三角函数,三角形中线的性质等,本题综合性较强.
20.(2022•松北区一模)△ABC中,,,,则BC边的长为 1或3 .
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【专题】计算题;分类讨论;解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】过点A作AD⊥BC,利用直角三角形的边角间关系先求出AD,再利用勾股定理求出BD、CD,最后利用线段的和差关系得结论.
【解答】解:如图所示,当∠C为钝角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中,
∵AB=2,=,
∴AD=2.
∴BD==2.
在Rt△ACD中,
CD==1.
∴BC=BD﹣CD=1.
如图所示,当∠C为锐角时,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
在Rt△ABD中,
∵AB=2,=,
∴AD=2.
∴BD==2.
在Rt△ACD中,
CD==1.
∴BC=BD+CD=3.
故答案为:1或3.
【点评】本题考查了解直角三角形,掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键.解决本题注意分类讨论.
三.解答题(共10小题)
21.(2022春•鼓楼区校级月考)某校数学兴趣小组在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度,如图,小明同学站在点D处,将含45°角三角尺的一条直角边水平放置,此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上,沿教学楼向前走8米到达点F处,将含30°角三角尺的短直角边水平放置,此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上,已知小明眼睛到地面的距离为1.65米,求教学楼AB的高度.(点D,F,B在同一水平线上,结果保留根号)
【考点】解直角三角形的应用;勾股定理的应用;等腰直角三角形.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】连接CE并延长交AB于点M,∠ACM=45°,∠AEM=60°,CE=DF=8米,CD=EF=MB=1.65米,然后设AM=x米,在Rt△ACM中,利用锐角三角函数的定义求出CM的长,从而求出EM的长,进而在在Rt△AEM中,利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程,进行计算即可解答.
【解答】解:连接CE并延长交AB于点M,根据题意可得
由题意得:
∠ACM=45°,∠AEM=60°,CE=DF=8米,CD=EF=MB=1.65米,
设AM=x米,
在Rt△ACM中,CM==x(米),
∴EM=CM﹣CE=(x﹣8)米,
在Rt△AEM中,tan60°===,
∴x=12+4,
经检验,x=12+4是原方程的根,
∴AM=(12+4)米,
∴AB=AM+MB=12+4+1.65=(13.65+4)米,
∴教学楼AB的高度为(13.65+4)米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,等腰直角三角形,勾股定理的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
22.(2022•花都区一模)学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高.当无人机在A处时,恰好测得大树顶端C的俯角为45°,大树底端B的俯角为60°,此时无人机距离地面的高度AD=30米,求大树BC的高.
(结果保留小数点后一位.≈1.414,≈1.732)
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【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】延长BC,交过点A的水平线于点E,根据题意可得BE⊥AE,AD=BE=30米,先在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义求出AE的长,再在Rt△AEC中,利用锐角三角函数的定义求出EC的长,然后进行计算即可解答.
【解答】解:如图:延长BC,交过点A的水平线于点E,
则BE⊥AE,AD=BE=30米,
在Rt△ABE中,∠EAB=60°,
∴AE===10(米),
在Rt△AEC中,∠EAC=45°,
∴EC=AE•tan45°=10(米),
∴BC=BE﹣EC=30﹣10≈12.7(米),
∴大树BC的高约为12.7米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键.
23.(2022•滨海新区一模)如图,为测量建筑物CD的高度,在A处测得建筑物顶部D处的仰角为22°,再向建筑物CD前进30m到达B处,测得建筑物顶部D处的仰角为58°(A,B,C在同一条直线上),求建筑物CD的高度(结果取整数).
参考数据:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60.
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【专题】解直角三角形及其应用;应用意识.
【分析】由锐角三角函数定义得出BC≈CD,AC≈CD,再由AB=AC﹣BC得 CD﹣CD=30,求解即可.
【解答】解:由题意得:∠A=22°,∠DBC=58°,AB=30m,
在Rt△BDC中,tan∠DBC==tan58°≈1.60,
∴BC≈=CD,
在Rt△ACD中,tan∠DAC==tan22°≈0.40,
∴AC≈=CD,
∴AB=AC﹣BC≈CD﹣CD=30(m),
解得:CD=16(m),
答:建筑物CD的高度约为16m.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键.
24.(2022•海珠区一模)某地为了让山顶通电,需要从山脚点B开始接驳电线,经过中转站D,再连通到山顶点A处,测得山顶A的高度AC为300米,从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米,斜面BD的坡度i=1:2(指DF与BF的比),从点D看向点A的仰角为45°.
(1)斜面AD的坡度i= 1:1 ;
(2)求电线AD+BD的长度(结果保留根号).
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】(1)根据题意可得∠AED=90°,∠ADE=45°,然后在在Rt△ADE中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答;
(2)设AE=DE=x米,则DE=CF=x米,从而表示出DF,BF的长,再利用斜面BD的坡度i=1:2,列出关于x的方程,进行计算即可求出x的值,然后分别在Rt△BDF和Rt△ADE中,利用勾股定理求出AD,BD的长,进行计算即可解答.
【解答】解:(1)由题意得:
∠AED=90°,∠ADE=45°,
在Rt△ADE中,tan45°==1,
∴斜面AD的坡度i=1:1,
故答案为:1:1;
(2)由(1)得:AE=DE,
设AE=DE=x米,
则DE=CF=x米,
∵AC=300米,BC=500米,
∴EC=AC﹣AE=(300﹣x)米,BF=BC﹣CF=(500﹣x)米,
∴DF=EC=(300﹣x)米,
∵斜面BD的坡度i=1:2,
∴=,
∴BF=2DF,
∴500﹣x=2(300﹣x),
解得:x=100,
∴BF=400米,DF=200米,AE=DE=100米,
在Rt△BDF中,BD===200(米),
在Rt△ADE中,AD===100(米),
∴AD+BD=(100+200)米,
∴电线AD+BD的长度为(100+200)米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,坡度坡角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义,以及坡度是解题的关键.
25.(2022•禅城区二模)春节期间,小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字,小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度:如图,小明先在A处,测得“新”字底端D的仰角为60°,再沿着坡面AB向上走到B处,测得“新”字顶端C的仰角为45°,坡面AB的坡度i=1:,AB=50m,AE=75m(假设A、B、C、D、E在同一平面内).
(1)求点B的高度BF;
(2)求“新”字的高度CD.(CD长保留一位小数,参考数据≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形;解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力;应用意识.
【分析】(1)由坡度的概念求出BF即可;
(2)由勾股定理求出AF,再由锐角三角函数定义求出DE和CG,即可解决问题.
【解答】解:(1)如图,过B作BG⊥CE于G,
∵坡面AB的坡度1:,
∴tan∠BAF=1:=,
∴∠BAF=30°,
∴BF=AB=25(m);
(2)由勾股定理得,AF===25(m),
∴BG=FE=AF+AE=(25+75)(m),
在Rt△DAE中,tan∠DAE==tan60°=,
∴DE=AE=75(m),
∵∠CBG=45°,
∴△CBG是等腰直角三角形,
∴CG=BG=(25+75)m,
∵GE=BF=25m,
∴CD=CG+GE﹣DE=25+75+25﹣75=100﹣50≈13.4(m),
答:“新”字的高度CD约为13.4m.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26.(2022•西青区一模)某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度,他们在C处仰望建筑物顶端
A测得仰角为37°.再往建筑物的方向前进9m到达D处,测得建筑物顶端A的仰角为63°,求建筑物AB的高度(测角器的高度忽略不计,结果精确到1m).
参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8.tan37°≈0.8.sin63°≈0.9,cos63°≈0.5,tan63°≈2.0.
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【专题】解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力;应用意识.
【分析】设BD=xm,AB=ym,由锐角三角函数的定义构建方程组求出x、y的值,即可解决问题.
【解答】解:设BD=xm,AB=ym,
在Rt△ADB中,tan63°=≈2,
∴y≈2x,
在Rt△ACB中,tan37°=≈0.8,
即≈0.8,
∴y≈0.8(9+x),
∴
解得:,
∴AB的高度约为12m,
答:建筑物AB的高度约为12m.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题,熟练掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义是解题的关键.
27.(2022•温江区模拟)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,求河流的宽度BC.(结果精确到1m;参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.30,≈1.73)
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【专题】解直角三角形及其应用;推理能力.
【分析】根据AD⊥BC,垂足为点D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.
【解答】解:如图,AD⊥BC,垂足为点D,
在Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m,
∴tan30°=,
∴CD=≈46×1.73=79.58,
在Rt△ABD中,∠ABD=67°,AD=46m,
∴tan67°=,
∴BD===20,
∴BC=CD﹣BD=79.58﹣20≈60m.
答:河流的宽度BC约为60m.
【点评】本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、锐角三角函数解三角形的知识,属于中档题.
28.(2022•沙坪坝区模拟)如图,某社区公园内有A,B,C,D四个休息座椅,并建有一条从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道.经测量知,∠ABC=75°,∠A=60°,∠D=60°,步道AB长40米,步道CD长20米.(A,B,C,D在同一平面内,步道宽度忽略不计,结果保留整数,参考数据:,≈2.4)
(1)求步道BC的长;
(2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区,经调研,改建儿童活动区成本为每平方米200元.社区公园目前可用资金为18万元,计算此次改建费用是否足够?
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【分析】(1)过点B作BE⊥AD,垂足为E,过点C作CG⊥AD,垂足为G,过点C作CF⊥BE,垂足为F,根据题意可得∠BFC=90°,EF=CG,先在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义求出AE,BE的长,再在Rt△GCD中,利用锐角三角函数的定义求出CG,DG的长,从而求出BF的长,最后在Rt△CBF中,利用锐角三角函数的定义求出BC的长,即可解答;
(2)根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积,进行计算即可求出四边形ABCD的面积,然后再求出此次改建费用,进行比较即可解答.
【解答】解:(1)过点B作BE⊥AD,垂足为E,过点C作CG⊥AD,垂足为G,过点C作CF⊥BE,垂足为F,
则∠BFC=90°,EF=CG,
在Rt△ABE中,AB=40米,∠A=60°,
∴∠ABE=90°﹣∠A=30°,
∴AE=AB=30(米),
BE=AE=30(米),
在Rt△GCD中,CD=20米,∠D=60°,
∴∠DCG=90°﹣∠D=30°,
∴DG=CD=10(米),
CG=DG=10(米),
∴EF=CG=10米,
∴BF=BE﹣EF=10(米),
∵∠ABC=75°,
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABE=45°,
在Rt△CBF中,BC===10≈24(米),
CF=BF•tan45°=10(米),
∴步道BC的长约为24米;
(2)四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积
=AE•BE+(CG+BE)•CF+CG•DG
=×20×20+×(10+20)×10+×10×10
=450+250
≈850(平方米),
∵850×200=170000元<18万元,
∴此次改建费用足够.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
29.(2022•新都区模拟)在课堂上,同学们已经学习了一些测量距离的方法.小刚想尝试利用无人机测量新都的母亲河——毗河某一处的宽度.如图所示,小刚站在河岸一侧的D点操控无人机,操纵器距地面距离DE=1.5米,在河对岸安放了一标志物F点,无人机在点D正上方的点A,距离地面的飞行高度AD是57.5米,匀速水平飞行4秒到达点B,此时,小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为63°,然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C,测得点F的俯角为45°(点A,B,C,D,E,F在同一平面内).
(1)求无人机飞行的速度是多少米/秒;
(2)求河宽DF的距离.
(参考数据:sin63°≈0.90,cos63°≈0.45,tan63°≈2.00)
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【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】(1)根据题意可得:∠ABE=63°,AE=56米,然后在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义求出AB的长,进行计算即可解答;
(2)过点F作FH⊥AC,垂足为H,根据题意可得AH=DF,AD=HF=57.5米,然后在Rt△CHF中,利用锐角三角函数的定义求出CH的长,再(1)的结论求出AC的长,进行计算即可解答.
【解答】解:(1)由题意得:
∠ABE=63°,
∵AD=57.5米,DE=1.5米,
∴AE=AD﹣DE=56(米),
在Rt△ABE中,AB=≈=28(米),
∴28÷4=7(米/秒),
∴无人机飞行的速度是7米/秒;
(2)过点F作FH⊥AC,垂足为H,
则AH=DF,AD=HF=57.5米,
在Rt△CHF中,∠C=45°,
∴CH==57.5(米),
∵BC=12×7=84(米),AB=28米,
∴AC=AB+BC=112(米),
∴DF=AH=AC﹣CH=112﹣57.7=54.5(米),
∴河宽DF的距离为54.5米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
30.(2022•黄岛区一模)图1为某机械臂3D模型,该机械臂底部AB是固定的,高度为40cm,连杆BC的长度为60cm,手臂CD的长度为50cm,机械手DE的长度为30cm.点B、C、D是转动点,且AB、BC、CD与DE始终在同一平面内.转动连杆BC,手臂CD,机械手DE使∠ABC=150°,CD∥AF,∠CDE=120°,如图2所示.求机械手端点E离地面的高度(结果精确到1cm).
【考点】解直角三角形的应用.菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用;运算能力.
【分析】过点C作CN⊥AF,垂足为N,过点D作DH⊥AF,垂足为H,过点E作EM⊥AF,垂足为M,过点E作EG⊥DH,垂足为G,过点B作BP⊥CN,垂足为P,根据题意可得CN=DH,EM=GH,PN=AB=40米,∠ABP=90°,∠CDH=90°,从而求出∠CBP和∠EDG的度数,然后在Rt△CBP中,利用锐角三角函数的定义求出CP的长,从而求出CN,DH的长,再在Rt△DEG中,利用锐角三角函数的定义求出DG的长,然后进行计算即可解答.
【解答】解:过点C作CN⊥AF,垂足为N,过点D作DH⊥AF,垂足为H,过点E作EM⊥AF,垂足为M,过点E作EG⊥DH,垂足为G,过点B作BP⊥CN,垂足为P,
则CN=DH,EM=GH,PN=AB=40米,∠ABP=90°,∠CDH=90°,
∵∠ABC=150°,∠CDE=120°,
∴∠CBP=∠ABC﹣∠ABP=60°,∠EDG=∠CDE﹣∠CDH=30°,
在Rt△CBP中,BC=60米,
∴CP=BC•sin60°=60×=30(米),
∴DH=CN=CP+PN=(30+40)米,
在Rt△DEG中,DE=30米,
∴DG=DE•cos30°=30×=15(米),
∴EM=GH=DH﹣DG=30+40﹣15=40+15≈66(米),
∴机械手端点E离地面的高度约为66米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
考点卡片
1.三角形的面积
(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即S△=×底×高.
(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】
(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.
3.等边三角形的判定与性质
(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.
(2)等边三角形的特性如:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.
(3)等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法,一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60°的角判定.
4.含30度角的直角三角形
(1)含30度角的直角三角形的性质:
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
(2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.
(3)注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理,非直角三角形或一般直角三角形不能应用;
②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,点明斜边.
5.勾股定理
(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
(3)勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有:a=,b=及c=.
(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
6.勾股定理的应用
(1)在不规则的几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形.
(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.
(3)常见的类型:①勾股定理在几何中的应用:利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.
②由勾股定理演变的结论:分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形,以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.
③勾股定理在实际问题中的应用:运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用:利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
7.等腰直角三角形
(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.
(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质,还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即:两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高,三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边,所以两个小三角形均为等腰直角三角形,则两腰相等);
(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1,则外接圆的半径R=+1,所以r:R=1:+1.
8.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.
即sinA=∠A的对边除以斜边=.
(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
即cosA=∠A的邻边除以斜边=.
(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tanA.
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=.
(4)三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
9.解直角三角形
(1)解直角三角形的定义
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.
(2)解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系:∠A+∠B=90°;
②三边之间的关系:a2+b2=c2;
③边角之间的关系:
sinA==,cosA==,tanA==.
(a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边)
10.解直角三角形的应用
(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.
如:测不易直接测量的物体的高度、测河宽等,关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.
(2)解直角三角形的一般过程是:
①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.
11.解直角三角形的应用-坡度坡角问题
(1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:m的形式.
(2)把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=h/l=tanα.
(3)在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题.
应用领域:①测量领域;②航空领域 ③航海领域:④工程领域等.
12.解直角三角形的应用-仰角俯角问题
(1)概念:仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向下看的视线与水平线的夹角.
(2)解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.
13.解直角三角形的应用-方向角问题
(1)在辨别方向角问题中:一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.
(2)在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.
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